湖南省百校大联考2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题

湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至4．3．1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={xx−>20}，B={1,2,3,4}，则AB∩=（）A．{3,4}B．{2,3,4}C．{4}D．{1,2}2．复数z满足(2i−−+=)z7i0，则z=（）A．−−3iB．−+3iC．3−iD．3+i23．已知A为抛物线C：x=2py（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为9，到x轴的距离为6，则p=（）A．3B．4C．6D．84．若直线l：ax−+=y10与直线l：(a+2)xay−−=10平行，则a=（）12A．−1B．2C．−1或2D．1或−25．有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）3121A．B．C．D．105523π6．已知函数fxA()=sin(x+ϕ)（A>0，ω>0）的部分图象如图所示，则f=（）4学科网（北京）股份有限公司 A．1B．−1C．2D．−27．已知等差数列{a}的前n项和为S，且S>0，S<0，则当S取得最大值时，n=（）nn3637nA．37B．36C．18D．1922xy78．已知F是双曲线E：−=1（a>0，b>0）的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为的直22ab3线与E的右支交于点M，MN=3NF，MF⊥ON，则E的离心率为（）A．3B．2C．3D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．n9．甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为am=2+，根据甲同学n得到的通项公式，下列结论正确的是（）A．m=1B．m=2C．该数列为递增数列D．a=65610．某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（单位：厘米）的平均值为170，身高的方差为24，女生身高的平均值为160，身高的方差为19，则（）A．该班全体学生身高的平均值为165B．该班全体学生身高的平均值为166C．该班全体学生身高的方差为46D．该班全体学生身高的方差为44222xy2y11．已知椭圆C：+=1（a>0，b>0）与双曲线D：x−=1有相同的焦点F，F，且它们的2212ab3离心率互为倒数，P是C与D的一个公共点，则（）1A．PF−=PFFFB．PF+=PF2FF121212122C．△PFF为直角三角形D．C上存在一点Q，使得QF⊥QF121212．数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》．已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角（其中M对应钟上数字3，N对应钟上数字9）．设MN的中点为O，MN=43已知长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针OC（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是学科网（北京）股份有限公司 A．若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则OA⊥BCB．若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则NA∥平面OBC14C．若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为7103D．若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为π3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量mx=(2,)，nx=−+(4,2)，若mn⊥，则x=______．214．已知fx()是定义在R上的奇函数，且当x<0时，fx()=ln(x+2)，则ff(021)+=()______．15．某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过______年．PA16．若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足=k（k>0且k≠1），则点P的轨迹是一个圆，这个PB轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点A(1,0)，C(4,0)，D(4,9)，PA1动点P满足=，则2PD−PC的最大值为______．PC2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在正项等比数列{a}中，a=4，aaa=+2．n1432（1）求{a}的通项公式；n（2）若ba=log，证明{b}是等差数列并求{b}的前n项和S．nn2nnn18．（12分）22已知圆C：xyx+−−=450与圆C关于直线l：xy−+=10对称．12（1）求C的标准方程；2（2）记C与C的公共点为A，B，求四边形ACBC的面积．1212学科网（北京）股份有限公司 19．（12分）222△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c，a，3b成等差数列．sinA（1）若(ac−=−)cosBb(cosAcosC)，求sinB（2）若c=1，当cosB取得最小值时，求△ABC的面积20．（12分）2已知正项数列{a}的前n项和为S，且82Sa=(+)．nnnn（1）求{a}的通项公式；n1（2）若b=，求数列{b}的前n项和T．nnnaann+121．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，∠=ABC∠=°BAD90，BC=2AD=22，△PAB与△PAD均为正三角形．（1）证明：AD∥平面PBC．（2）证明：PB⊥平面PCD．（3）设平面PAB∩平面PCD=l，平面PAD∩平面PBC=l，若直线l与l确定的平面为平面α，线段1212AC的中点为N，求点N到平面α的距离．22．（12分）22xy已知双曲线C：−=1（a>0，b>0）的焦距为27，点M(4,3)在C上．22ab（1）求C的方程；（2）F，F分别为C的左、右焦点，过C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B，若直线PA，PB12互相垂直，求△PFF周长的最大值．12高二数学试卷参考答案1．A因为A={xx>2}，所以AB∩={3,4}．学科网（北京）股份有限公司 7i−+(7i2i−+)()155i2．Dz====+3i．2i−55p3．C因为点A到C的焦点的距离为9，到x轴的距离为6，所以=3，则p=6．224．B因为ll∥，所以−++=aa20，解得a=−1或a=2．当a=−1时，l与l重合，不符合题1212意．当a=2时，ll∥，符合题意．125．A记3克的砝码为A，A，1克的砝码为C，C，2克的砝码为B，从中随机选取两个砝码，样本空1212间Ω={(AA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)(AB)(AC)(AC)(AB)(AC)(AC)(BC)(BC)(CC)}，共有1012111122212212123个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为．10313πππ32π6．B由函数fxA()=sin(ωϕx+)的图像可知A=2，T=−=，则ω==2．41234T13ππ135π由f=2sin2×+=ϕ2，解得ϕπ=−+2k，121235π3π35ππ则fx()=2sin2x−，故f=2sin2×−=−1．344336(aa1+36)37(aa1+37)7．CS36==+=18(aa136)18(aa18+>19)0，Sa37==3719<0，22则a>0，a<0，从而当n=18时，S取得最大值．1819n8．B记E的右焦点为F，MF的中点为P，连接MF，PF（图略），因为MN=3NF，O为FF的中11117点，所以ON∥PF，则MF⊥PF，从而MF=FF=2c．又tan∠=MFF，所以111113MF3cos∠==MFF，则MF=3c，MF−MF=−==32ccc2a，故E的离心率为2．1124FF116nn−−11n9．ACD由am=+=23，得m=1，则a=+=2165．由aa−=−=>2220，得该数列16nn−1为递增数列．3210．BC由题可知，该班全体学生身高的平均值为×+×=170160166，该班全体学生身高的方差为55322224+−++−=(170166)19(160166)46．55学科网（北京）股份有限公司 111．BC由题可知，F(−2,0)，F(2,0)，D的离心率为2，则C的离心率为，则a=4，b=23，1221PF−=PFFF，PF+=PF2FF．A不正确，B正确．根据对称性，不妨设P在第一象限，121212122+=PF12PF8,=PF15,222则解得则PF1=PF2+FF12，所以△PFF12为直角三角形．C正确．设PF−=PF2,PF=3,12222222QF=x，则QF=−8x，若QF⊥QF，则QF+=QFFF，即xx+−=(8)16，方程无12121212解．D不正确．12．ACD如图，以O为坐标原点，OM，OB所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,−3,0)，B(0,0,3)，M(0,23,0)，N(0,23,0−)．若秒针OC指向了钟上数字5，333333则C,,0，OA=(1,−3,0)，BC=,,3−，OB=(0,0,3)，则OABC⋅=0，2222OAOB⋅=0，所以OA⊥BC，OA⊥OB，故OA是平面OBC的一个法向量．因为NA=(1,3,0)，所以OANA⋅=−≠20，所以OA与NA不垂直，从而NA与平面OBC不平行．A正确，B不正确．333333若秒针OC指向了钟上数字4，则C,,0，AM=−(1,33,0)，BC=,,3−，2222AMBC⋅1214153cosAMBC,===．由AC=,,0，得AC=19．AMBC2732×722AC19因为∠=AOC120°，所以△OAC外接圆的半径r==，2sin∠AOC3292103则四面体OABC的外接球的半径Rr=+，则R=，4122103故四面体OABC的外接球的表面积为4ππR=．C，D正确．313．2或−4因为mn⊥，所以24×−+()xx(+=20)，解得x=2或−4．学科网（北京）股份有限公司 14．−2ln3因为fx()是定义在R上的奇函数，所以f(00)=，ff(1)=−−=−(1)ln3，则ff(0)+=2(1)−2ln3．nn15．4设经过n年后，该商品年产量超过20000件，则100001.2×>20000，即1.2>2．因为341.2=1.728<2，1.2=2.0736>2，所以至少需要经过4年．22PA(xy−+1)1222216．610设Pxy(,)，则==，整理得xy+=4，则P是圆C：xy+=422PC(xy−+4)2上一点，故2PD−=PC2(PD−≤=PA)2AD610，当且仅当A，D，P三点共线，且A在DP之间时取得最大值．217．解：（1）设{a}的公比为q，由aaa=+2，得qq−−=20，n432解得q=2或q=−1（舍去），nn−+11因为a=4，所以aaq=⋅=2．1n1n+1（2）由（1）可知，ba=log=log2=+n1，则bbn−=+−+=2(n11)．nn22nn+1因为b=2，所以{b}是以2为首项，1为公差的等差数列，1n2nn(−1)dnn+3故S=nb+=．n1222218．解：（1）将C的方程转化为(xy−+=29)，知C的圆心为(2,0)，半径为3．11设C的圆心为(ab,)，半径为r，因为C与C关于直线l：xy−+=10对称，2122+ab−+=10,22a=−1,b−0所以=−1,，解得b=3,a−2r=3,r=3,22故C的标准方程为(xy++−=1)(39)．222（2）CC=++−=(21)(03)32，12CC1232根据对称性可知C到直线AB的距离d==，122学科网（北京）股份有限公司 2则AB=−=29d32，1则四边形ACBC的面积S=ABCC=9．1212219．解：（1）因为(ac−=−)cosBb(cosAcosC)，所以(sinACB−=sin)cos(cosACB−cos)sin，则sinABCBcos−=−sincoscossinABCBcossin，则sinABcos−=−cossinABCBCBsincoscossin，则sin(AB−=)sin(CB−),所以ABCB−=−，即AC=或ABCB−+−=π（舍去）．222222因为c，a，3b成等差数列，所以cba+=32．22sinAa由AC=，得ac=，则ab=3，即ab=3，则==3．sinBb22222221（2）由cba+=32，得bac=−，33222122222acac+−+acb+−33ac2ac22则cosB===+≥2⋅=，2ac2ac63ca633ca25当且仅当ac=22=时，等号成立，此时sinBB=1cos−=，315所以△ABC的面积S=acsinB=．23220．解：（1）当n=1时，8Sa=+=(28)a，解得a=2．111122当n≥2时，由82Sa=(+)，得82Sa=(+)，nnnn−−1122则844aaaa=+−−a，则(aaaa+)(−−=40)．nnnn−−11nnn−−11nn因为a>0，所以aa−=4，所以{a}是以2为首项，4为公差的等差数列，nnn−1n则aandn=+−=−(142)．n111111（2）由（1）可知b===−，naann+1(424244242n−+)(n)n−+n111111111则T=−+−+⋅⋅⋅+−n426461044242nn−+学科网（北京）股份有限公司 111n=−=．424284nn++21．（1）证明：因为∠=ABC∠=BAD90°，所以AB⊥BC，AB⊥AD，所以AD∥BC，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．（2）证明：取BC的中点E，连接DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连接OA，OB，OD，OE．由△PAB和△PAD均为正三角形，得PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，则OE⊥BD，因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OE，又BD∩=POO，所以OE⊥平面PBD，所以OE⊥PB，因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD，因此PB⊥CD．22222因为BD=+=+ABADPBPD，所以PB⊥PD，又CD∩=PDD，所以PB⊥平面PCD．（3）解：设AB∩=CDQ，连接PQ，则直线l为直线PQ，1因为AD∥BC，平面PAD∩平面PBC=l，所以BC∥l．22由（1）知，OE，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间11直角坐标系，则B(0,1,0)，C(2,1,0−)，A(−1,0,0)，P(0,0,1)，Q(−−2,1,0)，N,−,0．22PQ=−−−(2,1,1)，BC=(2,2,0−)，设平面α的法向量为n=(xyz,,)，则n⊥BC，n⊥PQ，−−−=2xyz0,所以，取y=1，得n=(1,1,3−)．2xy−=20,11PNn⋅3311又PN=−−,,1，所以点N到平面α的距离d===．22n1111学科网（北京）股份有限公司 2c=27,169a=2,22．解：（1）由题可知，−=1,，解得22abb=3,222cab=+22xy故C的方程为−=1．43（2）由题可知，直线PA，PB的斜率均存在，设Pmn(,)，过P且与C相切的直线l：y=kxt+，联立22xy−=1,222方程组43整理得(34−k)x−−−=8ktx4t120，y=kxt+,2222222则∆=−(8kt)−434(−k)(−4t−12)=48t+144192−k=0，整理得tk=43−．222从而(m−4)k−2mnk++=n30．2n+322因为切线PA，PB互相垂直，所以kk==−1，即mn+=1．122m−42222PF1=+(m7)+=+n827m，PF2=−(m7)+=−n827m，22则(PF+=PF)1626428+−≤m32，则PF+≤PF42，1212当且仅当m=0时，等号成立．因为FF=27，所以△PFF周长的最大值为4227+．1212学科网（北京）股份有限公司