湖南天壹名校联盟2024年高二3月大联考数学试题 答案

机密★启用前2024年上学期高二3月大联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无放.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21.已知集合Axx={∣∣−12,}Byy=−+>{3y0}，则AB∩=（）A.∅B.(0,3)C.(0,5]D.[1,3)2.已知z(2i5+=)，则z=（）A.2B.5C.3D.43.过ABC(1,2,)(3,2,)(1,6−)三点圆的标准方程为（）2222A.(xy+++=2)(2)9B.(xy−++=1)(2)172222C.(xy−++=1)(1)9D.(xy−++=2)(2)174.某次公益教育活动中有三个班级的授课任务，现有甲､乙､丙､丁4名老师报名参加，每个班级仅需要1名老师，每名老师最多在一个班级授课，若甲不能到第一个班级授课，则不同的安排方法共有（）A.18种B.32种C.22种D.36种5.已知正项等比数列{an}的前n项和为San,3=+=1,aa456，则S6=（）616363A.B.14C.D.2426.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，其分布规律如图所示，记图中第i行第j列的元素为aij,，则a10,6的值为（）学科网（北京）股份有限公司 A.210B.84C.126D.1067.近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度y（单位：3米）与其存活时间x（单位：年）近似满足函数模型：yx=(∈N).当该种果树的根茎长度大于−+x112+2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养料从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（）A.4B.5C.6D.7π8.棱长为2的正方体，以上下底面中心的连线为对称轴旋转αα∈0,角度后与原正方体公共区域的220体积为，则sinαα+=cos（）3791736+A.B.C.D.55133二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.139.已知函数fx()=a−+sinxcos(xa>0)的最大值为3，则（）22A.a=3ππB.fx()在区间−,上单调递增335πC.yfx=()的图象关于点,0对称6πD.曲线yfx=()的对称轴方程为x=+∈kkπ,Z4n310.已知−x的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（）xA.n=7B.所有项的系数和为128学科网（北京）股份有限公司 C.常数项为945D.5x的系数为2111.对于对称轴不为坐标轴的圆锥曲线，我们可以通过线性换元法来判断它的形状，如曲线xuv=+Cx:122++=xyy，我们令C转化为221，可以将131uv+=，进而得知曲线C1的形状是椭yuv=−xu=+1Cy:(−=−1)24x1，我们令C转化为2圆；再如2()，可以将2vu=4，进而得知曲线C2的形状yv=+1是抛物线.根据以上信息，下列说法正确的是（）22A.曲线Ex:(−−=1)y1的形状是双曲线122B.曲线E:2x−xy+−−=yxy0的形状是椭圆222C.曲线E:3x+++−=3y2xy2x2y1的形状是椭圆322D.若曲线E:1x++++=axyyxy的形状是双曲线，则a的取值范围是(−−∪+∞∞,2)(2,)4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.样本数据5,12,7,11,23的40%分位数为__________.32(1+x)13.函数fx()=,x∈+(0,∞)的最大值为__________.23(1+x)14.某省要求高考考场内最多安排30个座位，某地考点拟每个考场采用7788的行列分布座位（如图），则考生甲与考生乙既不前后相邻，也不左右相邻的坐法共有__________种.讲台前门1161730215182931419284132027512212661122257102324后门89学科网（北京）股份有限公司 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.π15.（13分）已知ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，且sinA−=cos(BC+).6（1）求A；（2）若b=23,ca=19，求asinC.SnSn116.（15分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列和是公差分别为1和的等差数nan+12列.（1）求{an}的通项公式；1111（2）证明：+++<.(a1++33)Sa12()S2(ann+3)S217.（15分）如图所示多面体是由长方体ABCD−ABCD1111和圆柱的一部分组成，其中CDCD,11分别是以2π点GH,为圆心，圆心角为的圆弧的一部分，GH,分别是ABAB,11的中点，CD=23，BC=1,E3为CD的中点.（1）证明：CE1∥平面AGF1；（2）若BB1=2，求平面AGF1与平面ABCD夹角的余弦值.18.（17分）已知偶函数fx()和奇函数gx()均为幂函数，hx()=lnkx，且fgfg(2332)()>()().1（1）若ux()=fxgx()+()，证明：u−>0；2（2）若ux()=fxhxf()−=(),24()，且ux()0，求k的取值范围.219.（17分）已知抛物线Ey:=2pxp(>0)的准线方程为x=−1，过点Pt(,1)作两条不重合的直线l1和ll,与E交于AB,两点，l与E交于CD,两点，且BP=3,3APCP=DP.设AB中点为MCD,中212学科网（北京）股份有限公司 点为NMN,中点为Q.（1）求E的方程；（2）证明：Q在定直线上，且MN的斜率为定值.2024年上学期高二3月大联考·数学参考答案､提示及评分细则1.【答案】D【解析】由题意可得AxxByy={∣∣15,}={0<<3}，故AB∩=[1,3)，故选D.2.【答案】B552i(−)【解析】由题意可得z===−2i，故z=−=2i222+−(1)=5，故选B.2i2i2i++−()()3.【答案】D【解析】解法一：易知ABC是直角三角形，∴外接圆的圆心为斜边BC的中点(2,2−)，半径2222r=−++=∴(12)(22)17,其标准方程为(xy−++=2)(2)17，故选D.2222解法二：设圆的方程为x++++=yDxEyF0(D+−>E40F)，14++++=DEF2022则943++++=∴=−DEF20,D4,E=4,F=−∴+−+−=9,xyxy4490,136++−+=DEF6022其标准方程为(xy−++=2)(2)17，故选D.4.【答案】A22【解析】若甲老师去第一个班级授课，则不同的安排方法有CA=6种，若对甲老师授课班级不限制，3233则不同的安排的方法有CA=24种，故安排方法共有24618−=种，故选A.435.【答案】C学科网（北京）股份有限公司 211aq=1a=a=111【解析】记等比数列{an}的公比为qq(≠0)，由题可知34，解得4或9（舍aq+=aq611q=2q=−316(12−)去），所以463，故选C.S==612−46.【答案】Cj−1(i−1!)【解析】由已知可得aaij,==Ci−1,∴=10,6126，故选C.(ijj−−)!(1!)7.【答案】C3【解析】易知yx=(∈N)在[0,+∞)上单调递增，−+x112+348332ff(5)==<=2.9,(6)=>2.9，即ff(5)<<2.9(6)，所以至少需要6年才能−−4512++171211进入“稳定期”.故选C.8.【答案】A【解析】以正方体一面中心为原点建立如图所示坐标系，旋转后公共部分为棱柱，底面积为两个正方形公共部分的面积（图中阴影部分为例），由对称性知SS底=4ABCDO，由图可知直线l倾斜角为π−α，设ly:=−+>tanαxmm,0，则点O到l的距离为d=|m|111cos−−αα1sin=∴=1,m,∴=−ly:(tan)αx+,∴B,1,∴C1,1tan+2αcosαcosααsincosα11cos−αsinαααsin+−cos1∴SABCDO=11−−1−=，2sinαcosαsincosααsinαα+−cos120sinαα+−cos15∴=×VS24=⋅8=∴,=.共ABCDOsincosαα3sincosαα61221(t−)257令sinαα+=cost，则sincosαα=(tt−∴1,)2==⇒=，故选A.2tt−+1165学科网（北京）股份有限公司 9.【答案】BC2213【解析】因为fx()的最大值为3，所以a−+=3，解得a=2，故A错误；2233ππππππfx()=sinx+cosx=3sinx+,x∈−,时，x+∈−,，是yx=sin的增区间，226336625πππ故B正确；f=3sinπ=0，故C正确；令x+=+kkπ,∈Z，可得曲线yfx=()的对称轴方662π程为x=+∈kkπ,Z，故D错误.310.【答案】ABD34【解析】因为第4项与第5项的二项式系数相等，所以CCnn=解得n=7，故A正确；773令x=1，可得展开式中所有项的系数和为2=128，故B正确；在−x中，第r+1项x7−rrr7−1rrr7−−rr27r=7∉NT=C3⋅−()xx=C3⋅−⋅(1)，取270r−=，即，所以不存在常数项，r+177x2T=C3(1)61⋅−⋅=6xx5215，所以5故C错误；取275r−=，即r=6，所以77x的系数为21，故D正确，故选ABD.11.【答案】ACxu=+1xuv=+【解析】令，则E转化为uv22−=1，其形状为双曲线，故A正确；令，则E转化12yv=yuv=−uxuv=+(2v+1)22E转化为2为v=，其形状为抛物线，故B错误；令，则341u+=，再令2yuv=−2um=xuv=+1，则曲线E转化为421mn22+=，其形状为椭圆，故C正确；令，则E转化为34vn=−yuv=−22132+a(22+au)++−(av)=，当22++aa1mu=+223+aa=−2或a=2时均不符合题意，再令2+a，则E4转化为(22+am)+−(an)=，若nv=2+a22a=−3，则50nm−=不为双曲线；若a≠−3，则(220+aa)(−<)，则有a>2或a<−2，综上a学科网（北京）股份有限公司 的取值范围是(−−∪−−∪+∞∞,3)(3,2)(2,)，故D错误，故选AC.12.【答案】9【解析】将样本数据从小到大排列为5,7,11,12,23.因为其中540%×=2，所以40%分位数为从小到大排711+列的第2个数和第3个数的平均数，即为=9，故答案为9.213.【答案】22261xx(+)⋅−(1x)【解析】由题意可得fx′()=,0x>.33(1+x)令fx′()>0，解得x∈(0,1)；令fx′()<0，解得x∈+(1,∞)，故fx()在区间(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以fx()max=f(12)=，故答案为2.14.【答案】774【解析】本题考查学生在具体情景下对排列组合多情况分类讨论以及计算能力，根据给出的考场排布图可以看出位置与位置之间具有共性，是可以等效的，所以分三种情况：①1308924､､､､位置等效，有1111CC=135种情况.②位于边界但不处于①中位置的位置等效，有CC=364种情况.527142611③不位于①②所说位置的位置等效，有CC1125=275种情况，全部相加得到答案为774种.ππ15.【解析】（1）由已知得sinAA−=cos(π−)，即sinAA−=−cos，66ππ35π即sincosAAA−=cossin−cos，即tanA=−，因为A∈(0,π)，所以A=.66362222bca+−13c−193（2）由余弦定理得，cosA===−，解得c=1，222bc43c11由正弦定理得，aCcAsin=sin=×=1.22aaa+112+=112a1=116.【解析】（1）由题意知，解得.a1+=1aa12+a2=3aa++12112学科网（北京）股份有限公司 Sn2故=+−11(n)，所以SnaSSn==−=−,nnn−1212nn()，又a1=1也满足，故ann=21−.n注：如果考生只代入n=1,2的特殊情况得出答案，最多得4分.11111（2）由（1）得=×=，(aSnn+3)211nn(++)nn111111累加可得得+++=−1<.(a1++33)Sa12()S2(ann+3)S2n+1217.【解析】（1）证明：连接DHHCDEECAH,,,,11，设AH与AG1交于点I.易知四边形DECH1为平行四边形；因为在四边形AGHA1中，AH与AG1交点I为AH中点，F为AD中点，所以IF为ADH的中位线，所以EC1∥DH∥IF；因为IF⊂平面AGFCE11,⊄平面AGF1，所以CE1∥平面AGF1.（2）以H为原点，BC方向为x轴，AB方向为y轴，AA方向为z轴，建立如图所示的空间直角坐标111系.1则GA(0,0,2,)1(0,−−3,0,)F,3,2，21GF=,−=3,0,AG1(0,3,2;)2设平面AGF1的法向量n=(xyz,,)，学科网（北京）股份有限公司 1nGF⋅=−=x30y则2⇒.令y=2，得xz=43,=−3，所以n=(43,2,−3)；nAG⋅=+=320yz1易知平面ABCD的一个法向量m=(0,0,1)，mn⋅165设平面AGF1与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ==，mn55165所以平面AGF1与平面ABCD夹角的余弦值为.55αβ18.【解析】（1）证明：由题意，设fxxgxx()=,()=.由fgfg(2332)()>()()，得2332αβαβ⋅>⋅.方法一：αβx222则>，因为函数y=单调递减，所以αβ<.333方法二：则23αβ−−αβ=αβ−的性质可知，αβ−<0，所以αβ<.>，由幂函数yxux()=fxgx()+().因为fx()为偶函数，gx()为奇函数，所以1111f−=fg,−=−g，2222αβαβ11111111则ufg−=−=−.因为αβ<，所以>，因此u−>0.22222222α2（2）因为f(224)==，所以α==−=−2,ux()fx()hx()xlnkx.显然k≠0.2kx121−2当k>0时，ux()的定义域为(0,+=∞),ux′()2x−=−=2x，令ux′()=0解得x=kxxx2（负根舍222去）.当0<<x时，ux′()<0；当x>时，ux′()>0.所以ux()在0,单调递减，在2222212k,+∞单调递增，故ux()的最小值为u=−ln.222212k因为ux()0，所以−ln0，解得k2e，所以0<k2e符合题意.22学科网（北京）股份有限公司 2kx121−2当k<0时，ux()的定义域为(−=∞,0,)ux′()2x−=−=2x，令ux′()=0解得x=−kxxx2222（正根舍去）.当x<−时，ux′()<0；当−<xux0,′()0.所以ux()在−−∞,单调递减，2222212k在−,0单调递增，故ux()的最小值为u−=−−ln.因为ux()0，所以222212k−−ln0，解得k−2e，所以−<2ek0符合题意.综上所述，k的取值范围为22−∪2e,0)(0,2e.219.【解析】（1）因为准线方程为x=−1，所以p=2，所以E的方程为yx=4.（2）设BxyAxyyy(11,,,,)(221)<2，由BP=3AP可得131−=yy12(−)，所以yy12+=34，22设lxmynlxmyn1:=1+=12,:2+2，联立yx=4和xmyn=11+，得y−−=440my11n.yym+=4121，所以ymy1=412−，yy=−4n121ym=6−2,11又因为yy12+=34，所以4m1+=2y24,,yy12=−=−4n1(22m1)(6m1−2)，ym=−22,212又由ntm11=−，可化简得−3mmt11+3+−=10，−3mmt2+3+−=10，所以m和m是方程2同理可得2212−3mmt++−=310的两个根，1−t2所以m+=m1,mm=,x+=xmy(++−=−+y)2t2m4m2m2t，121212112111322xM=−+2mmt11，同理得xN=−+=2mmty22,MN2,my1=2m2，所以yyMN+=+=22(mm12)，所以yQ=1，点Q在定直线y=1上.yy−22mm−2MN12kMN==22==2，xxMN−2221mmtmmt11−+−22+−(mm12+)−所以直线MN的斜率为定值2.学科网（北京）股份有限公司