湖南省天壹名校联盟2024届高三数学上学期9月大联考试题（Word版附解析）

天壹名校联盟·2024届高三9月大联考数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．2．已知向量，则（）A．B．C．D．3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A．B．C．D．34．为研究变量的相关关系，收集得到下面五个样本点：56.5788.598643若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本点是（）A．B．C．D．5．已知，则（）A．B．C．D．6．如图，在正方体中，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（） A．有且仅有1条B．有且仅有2条C．有且仅有3条D．有无数条7．若等比数列的公比，前项和为，则“”是“成等比数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件8．已知，则（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．图①是某市某条公共汽车线路收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）关于乘客人数x（万人）的函数图象，营运初期该条公共汽车线路为亏损状态，为了实现扭亏为盈，公共汽车采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（）图①图②图③A．图①中点A的实际意义表示该条公共汽车线路投入的成本费用为1万元B．图①中点B的实际意义表示当乘客人数为1.5万人时，该条公共汽车线路的收支恰好平衡C．图②该条公共汽车线路实行的措施是降低门票的售价D．图③该条公共汽车线路实行的措施是减少投入的成本费用10．已知是定义在上不恒为0的奇函数，是的导函数，则（）A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数D．为偶函数11．已知数据成公差大于0的等差数列，若去掉数据，则（） A．极差不变B．第25百分位数变大C．平均数不变D．方差变小12．已知函数，则下列说法中正确的是（）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．若在上单调递增，则D．当时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数满足，则的值为__________．14．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要将共5名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱至少要安排2人，问天实验舱与梦天实验舱都至少要安排1人，则不同的安排方案共有__________种．（用数字作答）15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具．如图为一个正四棱台型米斗，高为，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的体积为__________．16．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分） 在中，角的对边分别为，且．（1）求的大小；（2）若，角的平分线交于，求的长．18．（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形均为正方形，为的中点，过点的平面交于点．（1）证明：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．19．（本小题满分12分）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求证：．20．（本小题满分12分）某中学为了解学生课外玩网络游戏（俗称“网游”）的情况，使调查结果尽量真实可靠，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：一个袋子中装有6个大小相同的小球，其中2个黑球，4个红球，所有学生从袋子中有放回地随机摸球两次，每次摸出一球，约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷”。方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“√”，否则画“×”；方式②：若你课外玩网游，则在问卷中画“√”，否则画“×”．当所有学生完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例，用频率估计概率．（1）若高一某班有45名学生，用X表示其中按方式①回答问卷的人数，求X的数学期望；（2）若所有调查问卷中，画“√”与画“×”的比例为1∶2，试用所学概率知识求该中学高一年级学生课外玩网游的估计值．（估计值） 21．（本小题满分12分）已知函数．（1）求证：；（2）求函数的极值．22．（本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为2，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知正方形有三个顶点在曲线上，求该正方形面积的最小值． 天壹名校联盟·2024届高三9月大联考·数学参考答案、提示及评分细则1．【答案】C【解析】依题意，全集，而，所以，故选C．2．【答案】D【解析】由．对于A，，故A错误；对于B，若，由，故B错误；对于C，若，由，故C错误；对于D，若，则，符合，故D正确，故选D．3．【答案】A【解析】由题设知，，解得，故选A．4．【答案】C【解析】由题意可知，，所以回归方程的样本中心点为，故残差为0的样本点是，故选C．5．【答案】A【解析】因为，又，所以．故选A．6．【答案】D【解析】正方体中，分别是棱和线段上的动点，过点作垂直于的平面，交于点，则．因为是上的动点，所以过点与垂直的平面有无数个，所以满足条件的 点也有无数个，所以有无数个满足条件的直线，即满足与垂直的直线有无数条．故选D．7．【答案】C【解析】若，则，，同理，因此对任意的构成等比数列，公比为．再证明：若对任意的构成等比数列，则．若，则为偶数时，，此时不能构成等比数列，与已知矛盾，故成立，故选C．8．【答案】B【解析】因为，所以，即，故，所以，故选B．9．【答案】ABD【解析】对于A：图①中点A的实际意义表示该条公共汽车线路投入成本为1万元，正确；对于B：图①中点B的实际意义表示当乘客人数为1.5万人时，该条公共汽车线路的收支恰好平衡，正确；对于C：图②该条公共汽车线路实行的措施是提高门票的售价，错误；对于D：图③该条公共汽车线路实行的措施是减少投入的成本费用，正确．故选ABD．10．【答案】ABD【解析】根据题意，可得，因为为奇函数，可得，可得 ，即，即，所以为偶函数．由，即为奇函数，所以A正确；由，即为偶函数，所以B正确；由，所以为偶函数，所以C错误；由，所以为偶函数，所以D正确．故选ABD．11．【答案】AC【解析】对于A，原数据的极差为，去掉后的极差为，即极差不变，故A正确；对于B，原数据的第25百分位数为，去掉后的第25百分位数为，即第25百分位数变小，故B错误；对于C，原数据的平均数为，去掉后的平均数为，即平均数不变，故C正确；对于D，则原数据的方差为，去掉后的方差为，故，即方差变大，故D错误，故选AC．12．【答案】BC【解析】对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，．当时，在上恒成立；当时，在上恒成立，可得，从而有，即； 当时，在上恒成立，可得，从而有，即，综上知，，故C正确；对于D，当时，，当时，，当时，所以，故D错误，故选BC．13．【答案】【解析】因为，所以．14．【答案】80【解析】由题意可先分两类，第一类核心舱安排3人，其他两实验舱各安排1人，则有种安排方案；第二类核心舱安排2人，其他两实验舱一个2人，一个1人，则有种安排方案，故不同的安排方案共有80种．15．【答案】【解析】由题意，作正四棱台的对角面，如图，为正四棱台上底面正方形对角线，为正四棱台下底面正方形对角线，为外接球球心，为线段中点，则，过点作，垂足为．因为，所以，所以正四棱台的的体积． 16．【答案】【解析】因为，所以，即，所以，所以．设，则，所以，由得，所以，所以，在中，由，得，所以．17．解：（1）因为，所以，因为，所以，因为，所以，又，所以；（2）在中，由余弦定理得，即， 所以，所以．因为的平分线交于，所以，所以，在中，由正弦定理得，解得．解法二：由易求得．18．（1）证明：，四边形为平行四边形，．又平面平面平面，平面，平面平面；（2）解：由（1）知，，∴F为的中点．以为坐标原点，分别为轴、轴和轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设，则．所以．设平面的一个法向量为，由得可取， 则．同理可求得平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，故所求夹角的余弦值为．19．（1）解：当时，，即，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此．当时，，所以数列是首项为1、公差为2的等差数列，因此．故数列的通项公式为（2）证明：由（1）知，，记．则①,②，①－②得，化简得．故． 20．解：（1）每次摸到黑球的概率，摸到红球的概率，每名学生两次摸到的球的颜色不同的概率．由题意知，高一某班45名学生按方式①回答问卷的人数，所以的数学期望；（2）记事件为“按方式①回答问卷”，事件为“按方式②回答问卷”，事件为“在问卷中画‘√’号”．由（1）知，，，．由全概率公式，得，所以，所以．故由调查问卷估计，该中学高一年级学生课外玩网游的估计值是．21．解：（1）令．由基本不等式，得，当且仅当时等号成立．又，所以，故；（2）．当时，，所以．设，其中，则，所以在上单调递减．当时，且．又，则． 当时，．当时，且．又，则．综上，在上恒大于0，在上恒小于0．因此是在的唯一极大值点，且的极大值为．22．解：（1）设圆心．依题意可得，化简得，故曲线的方程为；（2）正方形有三个顶点在抛物线上，且．设抛物线上的三点为，由题设知直线的斜率均存在且不为0，又由抛物线的对称性不妨设直线的斜率大于0，结合图形可知．由及可得，，即①，由可得：， 即，化简得②．联立①②解得．则该正方形面积．令，则，所以，所以在上单调递增，故当，即时，该正方形的面积的最小值为8．