江苏省南京师范大学附属中学等四校2023-2024学年高二下学期六月份联考数学试卷（解析版）

2025届高二年级六月份数学学科测试试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）2A=−<≤{x∣∣1x2},B={xx≤4,xx∈N}1.已知集合，则AB=（）A.[0,2]B.(0,2]C.{0,1,2}D.{1,2}【答案】C【解析】【分析】根据题意先求集合B，再根据交集运算求解.2【详解】由题意可得：B={xx∣∣≤∈=≤≤∈=4,xxNN}{x0x4,x}{0,1,2,3,4}，所以AB={0,1,2}.故选：C.z−122.已知复数z满足=，则z=（）12i+iA.52i+B.52i−C.42i+D.42i−【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算可得z=−52i，再根据共轭复数的概念分析判断.z−12【详解】因为==−2i，则z=−12i12i(+=−+=−)12i452i，12i+i所以z=52i+.故选：A.aa−9103.在等比数列{an}中，若a3=2,aa46=16，则=（）aa−56A.4B.8C.10D.16【答案】A【解析】4【分析】根据题意结合等比数列通项公式可得q=4，再结合等比数列性质分析求解.【详解】设等比数列{an}的公比为q，第1页/共21页学科网（北京）股份有限公司 2a=aq=2314由题意可得：，可得q=4，28aa=aq=164614aa9−10qaa(56−)4所以==q=4.aa−−aa5656故选：A.22xy14.与双曲线−=1有公共焦点，且离心率为的椭圆的方程是（）54222222222xyxyxyxyA.+=1B.+=1C.+=1D.+=1433436272736【答案】C【解析】2a=36【分析】分析可知焦点为(−3,0,3,0)()，结合离心率列式可得，即可得方程.2b=2722xy【详解】由双曲线−=1可知c=+=543，且焦点在x轴上，则焦点为(−3,0,3,0)()，5422xy设椭圆的方程是+=>>10(ab)，22abc=32c1a=36则e==，解得，2a2b=27222abc=+22xy所以椭圆的方程是+=1.3627故选：C.5.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（）A.6种B.12种C.18种D.36种【答案】B【解析】【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，第2页/共21页学科网（北京）股份有限公司 4A4定序问题用倍缩法，共有=12种不同的排列方式.2A2故选：B.6.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且13MN=ONAP,=AN，设向量OP=++xOAyOBzOC，则xyz++=（）241135A.B.1C.D.1246【答案】C【解析】【分析】写出OP的表达式即可求出xyz++的值.【详解】由题意，在四面体OABC中，13MN=ONAP,,=ANM是四面体OABC的棱BC的中点,2422111∴ON==OM×+=+()OBOCOBOC,332333333∴OP=+=+=+OAAPOAANOA()ON−=+−OAOAONOA44441311111=+OAOB+=++OCOAOBOC4433444∵OP=++xOAyOBzOC，1∴xyz===，43∴xyz++=，4故选：C.第3页/共21页学科网（北京）股份有限公司 exfx()fx()127.已知函数fx()=−ax，x∈(0,+∞)，当xx12<时，不等式<恒成立，则实数a的取值xxx21范围为（）eeA.0,B.(2,e)C.−∞,D.(−∞,e)32【答案】C【解析】【分析】命题等价于gx()=xfx()在(0,+∞)上单调递增，然后使用导数工具分类讨论gx()的单调性即可.【详解】原条件即为xfxxfx1122()<()对xx12<恒成立，从而条件等价于xfx()在(0,+∞)上单调递增.x2x设gx()=xfx()=e−ax，则gx′()=e2−ax.一方面，若gx()=xfx()在(0,+∞)上单调递增，则gx′()≥0对x>0恒成立.e所以g′(10)≥，即e20−≥a，得a≤；2xxee(x−1e)另一方面，若a≤，设hx()=，则hx′()=.22xx从而当01<<x时hx′()<0，当x>1时hx′()>0.故hx()在(0,1]上递减，在[1,+∞)上递增.xe所以当01<<x或x>1时，有hxh()>(1)，即>e，进一步可得xxxegx′()=−=⋅−e2axx2e2ee0ax>−xax≥−xx=.x这表明gx()=xfx()在(0,1]和[1,+∞)上递增，故在(0,+∞)上递增.e综上，a的取值范围是−∞,.2故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数分类讨论函数的单调性，属于较为常规的题目.8.已知A细胞有0.4的概率会变异成B细胞，0.6的概率死亡；B细胞有0.5的概率变异成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（）A.一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75B.一个细胞为A细胞，其死亡前是B细胞的概率为0.2C.一个细胞为B细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35第4页/共21页学科网（北京）股份有限公司 D.一个细胞为B细胞，其死亡前是B细胞的概率为0.7【答案】A【解析】1【分析】设n次为X（A或B）细胞的概率为Pn，可知n+2次为X细胞概率P..Pnn+2=×=0504，设n531次为A细胞的概率为an，为B细胞的概率为bn，则n次细胞死亡的概率abnn+，对于AB：可知522a=100,a=,b=,b=，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解；对于CD：可知121n51a=0,a=,b=10,b=，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解.121n2【详解】设n次为X（A或B）细胞的概率为Pn，则一次变异不为X细胞，两次变异为X细胞，1可知n+2次为X细胞概率Pn+2=×=0.50.4PPnn，531设n次为A细胞的概率为an，为B细胞的概率为bn，则n次细胞死亡的概率abnn+，52对选项AB：若一个细胞为A细胞，可知奇数次为A细胞，偶数次为B细胞，2则a121=100,a=,b=,bn=，5n−10,n为奇数12=,n为奇数n可得an5，bn=212−1，,n为偶数0,n为偶数552+∞3313+∞∑ai=×=11b=×=51则A细胞死亡的概率为i=1551−14，B细胞死亡的概率为∑22i14，i=11−5531可得细胞死亡的概率为+=1，4431所以其死亡前是A细胞的概率为4，其死亡前是B细胞的概率为4，=075.=025.11故A正确，B错误；对选项CD：若一个细胞为B细胞，可知奇数次为B细胞，偶数次为A细胞，1则a121=0,a=,b=10,bn=，2n−10,n为奇数12n=,n为奇数可得an=112−1，bn5，,n为偶数250,n为偶数第5页/共21页学科网（北京）股份有限公司 1+∞+∞111533a=×=23∑bi=×=则A细胞死亡的概率为∑55i18，B细胞死亡的概率为i=12218，i=11−1−5535可得细胞死亡的概率为+=1，8835所以其死亡前是A细胞的概率为8，其死亡前是B细胞的概率为8，=0375.=0625.11故CD错误；故选：A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.关于概率统计，下列说法中正确的是（）A.两个变量xy,的线性相关系数为r，若r越小，则x与y之间的线性相关性越弱B.某人解答10个问题，答对题数为X，若XB~(10,0.6)，则EX()=6C.若一组样本数据(xyiii,)(=1,2,3,,n)的样本点都在直线yx=0.6+5上，则这组数据的相关系数r为1D.已知ξ∼N(2,9)，若P(ξ>=1)0.7，则P(2≤≤=ξ3)0.2【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据相关系数的几何意义分析判断，对于B，根据二项分布的期望公式分析判断，对于C，根据线性相关的定义分析判断，对于D，根据正态分布的对称性判断.【详解】对于A，两个变量xy,的线性相关系数为r，r越小，则x与y之间的线性相关性越弱，所以A错误，对于B，因为XB~(10,0.6)，所以EX()100.6=×=6，所以B正确，对于C，由题意可知yx=06．+5就是回归方程，因为0.6>0，所以为正相关，所以r>0，因为样本点都在直线yx=06．+5上，所以r=1，所以C正确，对于D，因为ξ∼N(2,9)，P(ξ>=1)07．，第6页/共21页学科网（北京）股份有限公司 所以P(2≤≤=≤≤=ξ3)P(1ξξξ2)PP(≥−1)(≥=−=2)0.70.50.2，所以D正确，故选：BCD10.已知AB,分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（）A.PAPA()()1+=B.若PABPAPB()=()()，则A，B独立C.若A，B独立，则PAB()=PB()D.PABPAB()()1+=【答案】ABD【解析】【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条件概率等知识确定正确答案.【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知PAPA()()1+=，A选项正确.B选项，根据独立事件的知识可知，PABPAPB()=()()，则AB,相互独立，B选项正确.PAB()PAPB()()C选项，若AB,独立，则PAB()===PA()，C选项错误.PB()PB()D选项，PAB()表示在B事件发生的情况下A事件发生的概率，PAB()表示在B事件发生的情况下A事件发生的概率，所以PABPAB()()1+=，所以D选项正确.故选：ABD11.如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD−ABCD1111的侧面ADDA11上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是（）13A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B.若保持PM=2，则点M在侧面ADDA11内运2π动路径的长度为3第7页/共21页学科网（北京）股份有限公司 1C.三棱锥BCMD−1的体积最大值为D.若点M在AD1上运动，则D1到直线PM的距离62的最小值为3【答案】ABD【解析】【分析】对于A，分析点M沿正方体的表面从点A到点P的各种情况即可判断；对于B，取DD1中点E，连EM并求出EM=1即可计算判断；对于C，利用等体积法转化为求三棱锥A11−CBD的体积即可判断；对于D，建立空间直角坐标系，借助空间向量建立函数关系求其最值即可判断作答.【详解】对于A，点M沿正方体的表面从点A到点P的最短路程，则点M应在点A与点P所在的两个相邻平面内从点A到点P，由对称性知，点M从点A越过棱DD1与越过棱BB1到点P的最短路程相等，点M从点A越过棱DC与越过棱BC到点P的最短路程相等，把正方形ABB1A1与正方形BCC1B1放在同一平面内，如图，连接AP，AP长是点M从点A越过棱BB1到2217点P的最短路程，AP=+=ACCP，2把正方形ABCD与正方形BCC1B1放在同一平面内，如图，连接AP，AP长是点M从点A越过棱BC到2213点P的最短路程，AP=+=ADDP，2131713而<，于是得点M沿正方体的表面从点A到点P最短路程为，A正确；222对于B，取DD1中点E，连EM，PE，如图，因P是正方体ABCD−ABCD1111的棱CC1中点，第8页/共21页学科网（北京）股份有限公司 则PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，则有PE⊥平面ADD1A1，EM⊂平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由222PM=+=PEEM2，PE=1得，EM=1，因此，点M在侧面ADDA11内运动路径是以E为圆心，ππ1为半径的圆在正方形ADDA11内的圆弧，如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为，B正确；33对于C，因VVBCMD−−11=MCDB，而CBD1面积是定值，要三棱锥M−CBD1的体积最大，当且仅当点M到平面C1BD距离最大，如图，点A1是正方形ADD1A1内到平面C1BD距离最大的点，()VVBCMD−−11max=ACBD1121=−14V=−×××=141，C不正确；A1−ABD3231对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，则ADP(1,0,1),(0,0,1),(0,1,)，112第9页/共21页学科网（北京）股份有限公司 11令DM=tDA1=(,0,)(0tt≤≤t1)，则PM=−−(,1,tt)，又PD1=(0,1,)−，2213t+PMPD⋅124直线PD1与直线PM夹角为θ，cosθ=cos〈PMPD,1〉==|PMPD||1|552×2tt−+2423t+=，25845×tt−+x1cosθ==令2tx+=∈3[3,5]，则5×−+2xx2142911，25×29()−⋅+142xx1729429当且仅当=，即x，t=时，cosθ取最大值，而sin22θθ+=cos1，x297735455此时，sinθ取得最小值，又PD=，点D1到直线PM的距离d=PDsinθθ=sin，于是得113522542d=×=，min23352所以D1到直线PM的距离的最小值为，D正确.3故选：ABD【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）222212.CCC+++⋅⋅⋅+C=__________.（用数字作答）23410【答案】165第10页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【解析】mmm−1【分析】由组合数的性质CCC=+即得.n+1nn2222CCC+++⋅⋅⋅+C234103222=CCC+++⋅⋅⋅+C334103222=CCCC++⋅⋅⋅+44510322【详解】=CC++⋅⋅⋅+C551032=CC+⋅⋅⋅+61032=CC+10103=C=16511故答案为:16513.某公司于2021年1月推出了一款产品A，现对产品上市时间x（单位：月）和市场占有率y进行统计分析，得到如下表数据：x12345y0.0020.0050.0100.0150.018由表中数据求得线性回归方程为yˆ=0.0042xa+ˆ，则当x=10时，市场占有率y约为______.【答案】0.0394【解析】【分析】由给定的数据求出样本点的中心，进而求出aˆ即可作答.12345++++0.0020.0050.0100.0150.018++++【详解】依题意：xy==3,==0.01，55回归直线yˆ=0.0042xa+ˆ过样本点的中心(3,0.01)，由此得aˆ=−0.0026，即线性回归方程为yxˆ=0.0042−0.0026，当x=10时，yˆ=0.0042100.0026×−=0.0394，所以当x=10时，市场占有率y约为0.0394.故答案为：0.039414.作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前n个内切球的半径和为______．1【答案】31−n3【解析】第11页/共21页学科网（北京）股份有限公司 11【分析】根据正四面体的结构特征分析可知rRh==，设第n个内切球的半径为rn，可知{rn}是以首341项r1=2，公比q=的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解.3【详解】对于边长为a的正四面体P−ABC，设正四面体的外接圆半径为R，内切圆半径为r，高为h，令G为正三角形ABC的中心，O为正四面体P−ABC的中心，则O∈PG，且PG⊥平面ABC，3622可知AG=aPG,=−=PAAGa，33222因为OA=OP=R，OG=r，且OA=+−AG(PGOA)，2223666即OA=+−aaOA，解得OA=a，OG=a3341211可知rRh==，34设第n个内切球的半径为rn，第n个外接球的半径为Rn，11则r1=2，Rrnn=，可得rRrn+1=nn=，331可知{rn}是以首项r1=2，公比q=的等比数列，3n121−31所以前n个内切球的半径和为=31−.13n1−31故答案为：31−.n3四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）n2115.在2x+的展开式中，______．x第12页/共21页学科网（北京）股份有限公司 现在有以下三个条件：条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为12:1；条件②：只有第6项的二项式系数最大：条件③：其前三项的二项式系数的和等于56．请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）展开式中所有二项式系数的和；（2）展开式中的系数最大项．【答案】（1）102425（2）15360x2【解析】31【分析】（1）选条件①得到C:C=12:1求解；选条件②得到n=10求解；选条件③得到nn012CCC5++=6求解；nnn1021（2）由（1）得到二项式为2x+，再利用通项公式列式求解即可.x【小问1详解】解：选条件①：因为第4项和第2项的二项式系数之比为12:1；31nn(−−1)(n2)所以C:C=12:1，即:n=12:1，nn321××2.即nn−−=3700，解得n=−7（舍）或n=10的10所以展开式中所有二项式系数和2=1024；选条件②：因为只有第6项的二项式系数最大；n所以n为偶数，且=5，解得n=10.210所以展开式中所有二项式系数的和2=1024；选条件③：因为其前三项的二项式系数的和等于56，012所以CCC5++=6，nnnnn(−1)即1++n=56，即2nn+−=1100，解得n=−11（舍）或n=10.2第13页/共21页学科网（北京）股份有限公司 10所以展开式中所有二项式系数的和2=1024；【小问2详解】1021由（1）二项式为2x+，xr5rr2110−r10−r20−2r其通项公式为：T=C(2x)⋅=C⋅2⋅xr,=0,1,2,⋅⋅⋅,10，r+11010xr10−r可知第r+1项的系数为C2⋅，10rrr10−+−19rC210⋅≥⋅C210811令，解得≤≤r，即r=3，rrr10−−−111rC2⋅≥⋅C23310102525所以第4项的系数最大，最大项为T=C23⋅7⋅=x215360x2，41016.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCDPA,,1⊥=ABPAAB=，M为棱PD的中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求平面ACM与平面PAB夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解6（2）3【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】因为平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，且平面PAB∩平面ABCD=ABPA,⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD．第14页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【小问2详解】由题意和（1）知，ABADAP,,两两垂直，以A为原点，ABADAP,,所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则PABDC(0,0,1,)(0,0,0,)(1,0,0,)(0,1,0,)(1,1,0)．1111可得M0,,,AC=(1,1,0),AM=0,,．2222易知平面PAB的一个法向量为AD=(0,1,0)．nAC·=+=xy0设平面ACM的法向量为n=(,,)xyz，则11，nAM·=+=yz022令y=−1，则xz=1,=1，可得n=(1,1,1)−．π设平面ACM与平面PAB的夹角为θ∈0,，2nAD⋅13则cosθ=cosnAD,===，nAD·3326可得sinθθ=1cos−=36所以平面ACM与平面PAB的夹角的正弦值为．33217.已知函数fx()=−+++2316x(a)xaxb，其中ab,为实数.（1）若函数fx()的图像与x轴相切于点(2,0)，求ab,的值；（2）若a1，且fx()在区间(−2,2)上取到最大值，求a的取值范围.第15页/共21页学科网（北京）股份有限公司 5【答案】（1）ab=2,=−4.；（2）,+∞.3【解析】【分析】（1）由f(2)0=,()0fx′=得出ab,的值；（2）讨论aa2,=<<1,1a2三种情况，确定fx()的单调性，结合fx()在区间(−2,2)上取到最大值，求a的取值范围.2【详解】（1）fx′()=−++=−−661661x(axa)(x)(xa)因为函数fx()的图像与x轴相切于点(2,0)，于是ff(20)=,20′()=即2−=a0,1612−(a+++=1)12ab0，解得ab=2,=−4.（2）当a2时，fx()在(−2,1)上单调递增，在1,2上单调递减，则f(1)为fx()在(−2,2)上的最大值；当a=1时，fx′()0恒成立，故fx()在(−2,2)上单调递增，故fx()在(−2,2)上没有最大值；当12<<a时，fx()在(−2,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减，在(a,2)上单调递增55若fx()在(−2,2)上取到最大值，则必有ff(12)()，即a，又12<<a，于是a<2;335综上，a的取值范围,+∞.318.2024年道达尔能源—汤姆斯杯暨尤伯杯决赛中，中国队3∶0击败印度尼西亚队，夺得冠军．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲，乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据，得到如下待完善的22×列联表：甲得分乙得分总计甲发球90乙发球120总计120300（1）完成22×列联表，并判断是否有99.9%的把握认为比赛得分与接，发球有关；第16页/共21页学科网（北京）股份有限公司 （2）羽毛球，篮球，网球这三种运动项目深受大学生的喜欢．小明同学每周的星期六，星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在这3种运动项目中选择一种．已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如1果星期六选择羽毛球，则星期天选择羽毛球的概率为：如果星期六选择篮球，则星期天选择羽毛球的概341率为；如果星期六选择网球，则星期天选择羽毛球的概率为．已知小明星期天选择羽毛球，求他星期52六也选择羽毛球的概率．（3）以22×列联表中甲，乙各自接，发球的得分频率分别作为每一回合中甲，乙各自接，发球的得分概率．已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PX(i=1)=−1PX(ii=0)=qi,=1,2,⋅⋅⋅,n，则nnEX∑∑ii=q．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行150回合比赛后，甲的总得分期望．ii=11=附：α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828a22nad(−bc)参考公式：χ=，其中nabcd=+++．(abcdacbd++++)()()()【答案】（1）列联表见详解，有99.9%的把握认为“比赛得分与接､发球有关”10（2）4915042（3）50+−195【解析】【分析】（1）根据题意列联表，然后卡方计算，分析有99.9%的把握认为“比赛得分与接､发球有关”（2）设相应事件，利用全概率公式可得PB()，进而求条件概率；（3）分析第i回合(i≥2)是甲发球要分两种情况：第i−1回合是甲发球且甲得分，或第i−1回合是乙发球且甲得分，然后根据等比数列的定义判断数列为等比数列，根据两点分布的特征,然后根据EX(ii)=p+1结合等比数列的求和公式求解即可；【小问1详解】由题，得完整列联表如下：第17页/共21页学科网（北京）股份有限公司 甲得分乙得分M计甲发球9060150乙发球30120150总计120180300零假设H0：比赛得分与接､发球无关，22300××−×(901203060)经计算χ==5010.828>=x，0.001120180150150×××根据故根据小概率值α=0.001的独立性检验，可得零假设H0不成立，所以有99.9%的把握认为“比赛得分与接､发球有关”.【小问2详解】记星期六选择羽毛球，篮球，网球分别为事件AAA123,,，“星期天选择羽毛球”为事件B，1141则PA(123)=PA()=PA()=,|PBA(1)=,|PBA(2)=,|PBA(3)=，335249可得PBPBAPA()=++=(|||11)()PBAPA(22)()PBAPA(33)()，901且PABPBAPA(1)=(|11)()=，9PAB(1)10所以PAB(1|)==.PB()49【小问3详解】90332由题已知：在甲发球的情况下，甲得分的概率为=，乙得分的概率为1−=；150555120441在乙发球的情况下，乙得分的概率为=，甲得分的概率为1−−.150555设第i回合甲发球的概率为pi，则p1=1，第i回合(i≥2)是甲发球要分两种情况：第i−1回合是甲发球且甲得分，或第i−1回合是乙发球且甲得分，312112112则ppii=×+−−−−111(1pi)×=pi+，整理得ppii−=−1−，且pp11=1,−=≠0，555535333第18页/共21页学科网（北京）股份有限公司 i−1i−1122122122可知pi−是以为首项，为公比的等比数列，则pi−=×，可得pi=+×，335335335记“第i回合甲得分为Xi”，则显然Xi服从两点分布，且事件“Xi=1”等价于“第i1回合是甲发球”，故PX(ii=1)=p+1.又甲､乙共连续进行150回合比赛后，甲的得分为XXX=+++12X150，150222×−1150150150150122i35542故EX()=∑∑∑EX()=p=+×=+50=+−501，ii+1335295i=1ii=11=1−515042所以甲的总得分期望为50+−1.95x219.已知函数fx()=−−∈eax2,aaR．（1）若a=1，求曲线yfx=()在x=0处的切线方程；（2）若函数fx()有两个极值点，求a的取值范围：x（3）已知函数Fx()=e1⋅+fx()，若Fx()≥0，求a的取值范围．【答案】（1）yx=−1e（2）,+∞2（3）(−∞,1]【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切点和斜率，即可得切线方程；（2）令gx()=fx′()，由题意可知：gx()有两个变号零点，分类讨论gx()的单调性，结合零点分析求解；（3）根据题意取特值可得a≤1，检验若a≤1，可得xx−2ee+−−≥ax20a，构建xx−2hx()=ee+−ax−2a，利用导数分析可知hx()≥0，即可得结果.【小问1详解】x2x若a=1，则fx()=e2−−x，fx′()=e2−x，可得f(01)=−，f′(01)=，第19页/共21页学科网（北京）股份有限公司 可知切点坐标为(0,1−)，斜率k=1，所以曲线yfx=()在x=0处的切线方程为yx=−1.【小问2详解】x因为f′(x)=e2−ax，令gx()=fx′()，由题意可知：gx()有两个变号零点，x又因为gx′()=e2−a，若a≤0，则gx′()>0，可知gx()在R内单调递增，所以gx()在R内至多有一个零点，不合题意；若a>0，令gx′()>0，解得xa>ln2；令gx′()<0，解得xa<ln2；可知gx()在(−∞,ln2a)内单调递减，在(ln2,a+∞)内单调递增，且当x趋近于−∞时，gx()趋近于+∞，x趋近于+∞时，gx()趋近于+∞，e则gaaaa(ln2)=2−<2ln20，解得a>；2e综上所述：a的取值范围为,+∞.2【小问3详解】xxx2由题意可知：Fx()=⋅efx()+=1ee(−ax−21a)+，若Fx()≥0，则Fa(0220)=−≥，解得a≤1，若a≤1，可得xx−2ee+−−≥ax20a，xx−2xx−构建hx()=ee+−ax−2a，则hx′()=ee2−−ax，xx−−xx令ϕ(xhx)=′()，则ϕ′(x)=ee+−≥2a2ee⋅−=2aa21(−)≥0，xx−当且仅当ee=，即x=0时，等号成立，可知ϕ(x)在R上单调递增，且ϕ(00)=，当x<0时，ϕ(x)<0；当x>0时，ϕ(x)>0；即当x<0时，hx′()<0；当x>0时，hx′()>0；第20页/共21页学科网（北京）股份有限公司 可知hx()在(−∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增，则hxh()≥=−≥(0220)a，符合题意；综上所述：a的取值范围为(−∞,1].第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司