陕西省西安中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

西安中学2022-2023学年度第二学期期末考试高二数学（理科）（时间：120分钟满分100分）一、选择题：（本题共12小题，每小题3.5分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意解一元二次不等式、分式方程并结合交集的概念即可得解.【详解】由题意，或，所以.故选：D.2.已知，则的大小关系正确的为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.详解】解：，，指数函数在上单调递减，，即， 又幂函数在上单调递增，，即，，故选：B.3.甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制如图所示）．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学成绩的极差是18；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A.③④B.①④C.②④D.②③【答案】A【解析】【分析】由茎叶图数据，求出甲同学的极差，甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．【详解】解：根据茎叶图数据知，①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，甲的中位数小于乙的中位数；②甲同学的平均分是，乙同学的平均分是，乙的平均分高；③甲同学的极差为；④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．正确的说法是③④．故选：A．4.若，，，且，则下列结论正确的是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、D，利用作差法判断C.【详解】对于A：当时，故A错误；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，则，所以，所以，故C错误；对于D：因为，所以，，所以，故D正确；故选：D5.某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，再用系统抽样的方法随机抽取50位同学了解他们的学习状况，若编号为213的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是（）A.83B.343C.253D.763【答案】C【解析】【分析】先计算间隔为20，再由题意得到第一组抽取的编号，进而得到每一组抽到编号的通项公式，依次检验选项是否符合通项即得结果.【详解】根据系统抽样特征，1000名学生中抽取50位同学，间隔为为20，故若编号为213的同学被抽到，则第一组抽取编号为13的同学，即第i组抽取同学的编号为，.选项A中，令，则无满足题意的解，选项B中，令，则无满足题意的解，选项C中，令，解为，有满足题意的解，选项D中，令，则无满足题意的解.故选：C.6.在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出点的直角坐标，根据题意得到所求直线方程的直角坐标方程，再化为极坐标方程，即可得出结果.【详解】因为点的直角坐标为，即，所以过点，且与极轴垂直的直线方程为：，因此其极坐标方程为：.故选：B.【点睛】本题主要考查求满足题意的直线的极坐标方程，属于基础题型.7.若关于x的不等式在上无解，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】关于x的不等式在上无解，则，再根据绝对值三角不等式求出即可.【详解】关于x的不等式在上无解，则，而，当时，等号成立，所以，所以.故选：D.8.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是（） A.2B.C.3D.4【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可求得答案.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示（阴影部分），解方程组，得，故，解，可得，故，表示的是可行域内的点与原点连线的斜率，,根据的几何意义可知的最大值为2，的最大值为.故选：C.9.2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控及时､措施得当，很多企业的生产所受影响甚微.我国某电子公司于2020年6月底推出了一款领先于世界的5G电子产品，现调查得到该5G产品上市时间x和市场占有率y(单位：%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2020年8月，2代表2020年9月……，5代表2020年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，则该产品市场占有率最早何时能超过0.5%(精确到月)（） A.2021年5月B.2021年6月C.2021年7月D.2021年8月【答案】D【解析】【分析】先算平均值，确定线性回归方程，再利用回归方程可得解.【详解】根据表中数据，计算，代入回归方程得，解得.所以线性回归方程为：，由解得，预计上市13月时，即最早在2021年8月，市场占有率能超过.故选:D10.关于的不等式的解集为，且，则实数（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】由已知得出与为方程的两个根，根据韦达定理得出，，即可由，化简代入，即可解出的值，再根据不等式的运算验证即可得出答案.【详解】不等式的解集为， 与为方程两个根，，，，，，，，则，即，解得，，，当时，，即，，则，满足条件，当时，，即，，则，不满足条件，综上，，故选：B.11.已知实数满足则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件把转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而可转化为即可看到圆上的点到直线距离的最小值. 【详解】，，即圆心，半径，，可看到圆上的点到直线距离，圆上的点到直线距离的最小值为圆心到直线距离减去半径即，，圆上的点到直线距离的最小值为，的最小值为故选：A【点睛】本题考查了圆上的点到定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题.12.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据平均数为，方差为.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：（本题共4小题，每题3.5分，共14分）13.若不等式的解集为，则实数的值为________．【答案】【解析】【详解】因为不等式的解集（舍），,，故答案为.14.已知x，y满足约束条件，则最大值为______．【答案】24【解析】【分析】根据题意作出可行域，结合目标函数的几何意义求最大值.【详解】画出可行域如图阴影部分（含边界）所示，表示斜率为，纵截距为的直线， 平移直线，当表示的直线经过点A时，z取得最大值，联立方程组，解得，即，所以．故答案为：24.15.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则曲线上的点到曲线：为参数上的点的最短距离为______.【答案】##【解析】【分析】把曲线和曲线的方程化为直角坐标方程，求圆心到直线的距离，可得圆上点到直线的最短距离为．【详解】曲线化为，配方为，则圆心为，圆的半径为，曲线：为参数，消去化为，圆心到直线的距离．∴圆上的点到直线的最短距离为， 故答案为：．16.已知，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式中“”的代换即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：三、解答题：（本题共5小题，17题8分，18，19，20，21每题9分，共44分）17.已知函数，． （1）在直角坐标系中画出和的图象；（2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】（1）将表示为分段函数的形式，进而画出图象.（2）通过平移的图象来求得的取值范围.【小问1详解】函数，，画出和的图象如图；【小问2详解】，说明把函数的图象向上或向下平移单位以后， 的图象在的上方，由图象观察可得：，所以的取值范围为．18.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【答案】（1）l：，C方程为；（2）＝【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】(1)曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，则转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，， 所以＝．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”．30名女生成绩频数分布表：成绩频数101064（1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计（2）设男生和女生样本平均数分别为和，样本的中位数分别为和，求（精确到0.01）．附： 0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；（2），，，.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图及频数分布表完善列联表，再计算的观测值并与临界值表比对作答.（2）利用频率分布直方图、频数分布表求出平均数、中位数作答.【小问1详解】由频率分布直方图，可得30名男生中成绩大于等于80分的频率为，因此30名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为12人，由频数分布表，可得30名女生中“防疫标兵”人数为10人，“非防疫标兵”人数为20人，于是列联表为：男生女生合计防疫标兵181028非防疫标兵122032合计303060则的观测值为，所以有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关．【小问2详解】由频率分布直方图知，，由频数分布表知，，由频率分布直方图知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此，则由，解得， 由频数分布表知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此，则由，解得，所以，，，.20.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.（1）探究直线l与曲线C2的位置关系，并说明理由；（2）若曲线C3的极坐标方程为，且曲线C3与曲线C1、C2分别交于M、N两点，求|OM|2•|ON|2的取值范围.【答案】（1）相离，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）将直线和曲线都化成直角坐标方程后，用圆心到直线的距离与半径比较大小可得；（2）用曲线和的极坐标方程联立，用极径的几何意义可求解．【详解】(1)由题意得ρ2＝2ρsinθ，令y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0，即x2+(y﹣1)2＝1，由直线l：ρcos(θ)＝2得ρcosθ﹣ρsinθ＝4，所以直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0，因为圆心(0，1)到直线l的距离为1，所以直线l与曲线C2相离.(2)由题意得曲线C1的普通方程为2＝1，故其极坐标方程为ρ2sin2θ＝1， 则|OM|2，|ON|2＝4sin2α，即|OM|2|OB|2，因为0<α，所以0<sinα<1，所以|OM|2•|ON|2∈(0，4)，即|OM|2•|ON|2的取值范围是(0，4)【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．21.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；（2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.小问1详解】当时，，当，，；当，，；当，，；∴当时，的最小值为2．【小问2详解】，，当时，可化为，令，，，∴ ∴，当且仅当时取得等号；又当时，，故.