陕西省西安中学2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版有解析）

2022-2023学年度高二第一学期期中检测2024届数学试题一､单选题（共40分）1.已知，命题P：，，则（）A.P是假命题，B.P是假命题，C.P是真命题，D.P是真命题，【答案】D【解析】【分析】求导分析的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可详解】∵，∴∴是定义域上的减函数，∴∴命题P：，，是真命题；∴该命题的否定是.故选：D.2.（） A.B.8C.D.【答案】D【解析】【分析】将定积分分成三个部分，第一个部分可以根据对应函数曲线和坐标轴围成的面积来算，第二部分直接用公式求解，第三部分是奇函数，在对称区间的积分值为，即可得到答案【详解】解：，而意为半圆，半圆面积为，故，，而是奇函数在对称区间上的积分，显然为，于是故选：D．3.对于实数，且，，且，“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】对于实数且，，且，由不等式，可得或，故时不一定有，由也不能推出一定是，故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．4.若函数在点处的切线与直线垂直，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合导数的几何意义可得，从而可求出的值.【详解】由，得，因为函数在点处的切线与直线垂直，所以，解得，故选：A5.函数图像可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答.【详解】因为定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，， 于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足，故选：D6.已知定义在上的函数的导函数，且，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D7.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为， ，，（），则，解之得又则则，则则，则（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：B8.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，又，，且，，所以；故选：B 9.已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到的取值范围.【详解】由已知：，故，设切点为所以切线斜率为，切线方程为,将点坐标代入切线方程可得化简可得即函数与函数有三个不同的交点.故，当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减且时，,，且时，所以的取值范围为故选：D10.已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】令，由题意可得为定义域上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；分与两类讨论，将不等式等价转化为与，分别解之即可．【详解】令，当时，，当时，，在上单调递减；又为的奇函数，，即为偶函数，在上单调递增；又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：．故选：D．二､填空题（共20分） 11.设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.【答案】【解析】【分析】由构造法和与关系求解【详解】由题意得，而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.，，当时，，也满足此式，综上，故答案为：12.计算:______.【答案】【解析】【分析】把积分式拆分成两个，利用奇函数的性质，以及定积分的意义求解【详解】因为为奇函数,所以表示半径为1的半圆的面积,所以所以 故答案为：13.已知，，若，，都有，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】先利用导数求出函数，的最大值，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用二次求导确定该函数的单调性和最值问题.【详解】因为，，所以，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以；在恒成立，即在恒成立，令，则，令，则恒成立，所以在单调递增，，， 故存在，使得，，，，即，解得，所以，所以，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：在处理不等式恒成立问题时，往往转化为求函数的最值问题，如：（1）对于函数、，若，，都有；（2）对于函数、，若，，都有.14.已知函数满足，若方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】令，则方程转化为，原问题等价于有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令，则方程转化为，作出函数的图象如下图所示， 由题意，方程有五个不相等的实数根，即有一个根，一个根或有一个根，一个根令，当有一个根，一个根则解得：，当有一个根，一个根则解得：，综上，实数m的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出 函数的图象，利用数形结合的方法求解三､解答题（共60分）15.在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若，求，的值．【答案】（1）（2），或，【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式化简即可求解，（2）根据余弦定理以及面积公式联立方程即可求解.【小问1详解】∵由正弦定理有∴【小问2详解】∵∴余弦定理∵，又，∴∴或或2则，或， 16.设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）令可得的值，当时，与已知条件两式相减可得，由等比数列的定义可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列的通项公式，设的公差为，将整理成关于的方程，解出的值，即可得到的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．【小问1详解】解：在中，令得，，当时，，，即，，数列是首项为，公比为的等比数列，，设的公差为，由题意可得，即，整理得， 解得或舍去，．【小问2详解】解：由题意可得，．17.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调性；（3）求函数在上的最小值．【答案】（1）.（2）当时，单调递减；当时，单调递增.（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，利用导数的正负即可得到单调性；（3）按的取值情况，再借助单调性讨论求解即可.【小问1详解】当时，，则，所以，， 所以曲线在处切线方程为.【小问2详解】由题意得，因为恒成立，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.【小问3详解】由（2）得，①当时，在上单调递减，；②当时，在单调递减，在单调递增，；③当时，在上单调递增，.18.已知函数．（1）若时，试讨论的单调性；（2）若有两个零点时，求a的取值范围．【答案】（1）具体见解析（2）或【解析】【分析】（1）由题意，明确函数解析式，求导，根据二次函数的性质，讨论导数零点的取值范围，可得答案；（2）先研究时，函数的零点个数，再根据零点的定义，验证不是零点，整理函数，化简研究存在两个不同的零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.【小问1详解】，，，若，则令，解得，，解得， 故在上单调递增，在上单调递减；若，令，得，①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；③当，即时，恒成立，故在单调递减．综上所述，当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】.当时，，，令，则，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.由且，当时，，，故恒成立， ，由在上单调递增，则只有一个零点；当时，，此时不是的零点，时，，令，由题意可知，有两个零点等价于在且时有两个零点，，若，则，单调递增，最多有一个零点，不符合题意；若，令，解得或，当或时，，单调递增；当或时，，单调递减，而，，当时，此时，而，故有且只有一个零点，不合题意；当即，此时在上无零点，故在上需有两个不同的零点，故，即，此时当时， ，故当时，．而当时，，，故．由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．当，即，此时，故在上不存在零点．此时当时，，当时，，由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．综上，或．19.已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.（1）求椭圆与圆的方程；（2）若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【答案】（1）椭圆C：，圆O： （2）为定值，且该定值为0【解析】【分析】（1）根据已知建立a，b，c的等量关系式，解得a2与b2，即可得方程；（2）设出A，B点坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求即可确定其为定值0.【小问1详解】设椭圆C的半焦距为c，根据题意得又∵经过点，∴，解得∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.【小问2详解】设联立l与椭圆方程，化简整理得则∵∴ 综上所述，为定值，且该定值为0.20.已知函数，．（1）若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若，存在两个极值点，，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：，满足，，不妨设，则，则，所以只需证成立，构造函数，利用求出其出其最大值小于零即可.【小问1详解】∵，又区间上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立， ∴在上恒成立；设，则，当时，，∴单调递增，∴，∴，即实数a的取值范围是．【小问2详解】由（1）知：，满足．∴，不妨设，则．∴，则要证，即证，即证，也即证成立．设函数，则，∴在单调递减，又．∴当时，，∴，即.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证成立，构造函数，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题. 21.已知函数（1）若f（x）的图象在处的切线恰好也是g（x）图象的切线，求实数a的值：（2）当时，求证：对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数，，都有成立.【答案】（1）1（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线方程，与抛物线方程联立，根据两曲线有一个交点得到关于a的方程，解方程得到a的值；（2）根据函数的单调性等价转化题中的不等式，构造新函数，利用分离变量法确定a的取值范围，从而证明结论.【小问1详解】，则，且切点为（1，a），则切线方程为，即，联立，消去y可得，解得.【小问2详解】证明：不妨设，则，则可化为，则，设，即，∴F（x）在[1，2]上单调递减，∴在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立， ∵，∴，从而当时，命题成立.