2024届高考3月模拟考压轴题汇编--解答题篇(学生版)

2024届高考3月模拟考压轴题汇编-解答题篇2y2x11(2024·广东韶关·二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4，A,B是其左、右a2b22顶点，F是其右焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设Px0,y0y0>0是椭圆C上一点，∠PFB的角平分线与直线AP交于点T．①求点T的轨迹方程；9②若△TPF面积为，求x0．41 2(2024·广东广州·一模)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n(n≥3,n*∈N)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上31场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，42且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若n=3，用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；(2)记A团队第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为p，集合k∈N*p<3中元kk128素的最小值为k0，规定团队人数n=k0+1，求n.2 k3(2024·广东佛山·二模)已知以下事实：反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条x渐近线．1(1)(ⅰ)直接写出函数y=的图象C0的实轴长；2xπ(ⅱ)将曲线C0绕原点顺时针转，得到曲线C，直接写出曲线C的方程．4222(2)已知点A是曲线C的左顶点．圆E：x-1+y-1=r(r>0)与直线l：x=1交于P、Q两点，直线AP、AQ分别与双曲线C交于M、N两点．试问：点A到直线MN的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时r的值；若不存在，说明理由．3 4(2024·广东·一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量22和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x+y.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2nnn21，其模可由向量模拓展为A=∑∑a2(其中a为矩阵中第i行第j列的数，∑为求ijija31a32a33⋯a3ni=1j=1⋮⋮⋮⋮a11a1224和符号)，记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵A22==，其矩a21a2235nn1222222阵模AF=∑∑aij=2+4+3+5=36.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.i=1j=1100⋯0020⋯0*(1)∀n∈N，n≥3，矩阵Bnn=003⋯0，求使BF>35的n的最小值.⋮⋮⋮⋮000⋯n*(2)∀n∈N，n≥3，，矩阵Cnn=1cosθcosθcosθ⋯cosθcosθ0-sinθ-sinθcosθ-sinθcosθ⋯-sinθcosθ-sinθcosθ222200sinθsinθcosθ⋯sinθcosθsinθcosθ求CF.⋮⋮⋮⋮⋮⋮n-2n-2n-2n-20000⋯(-1)sinθ(-1)sinθcosθn-1n-10000⋯0(-1)sinθlnn+200⋅⋅⋅0n+122lnn+12lnn+120⋅⋅⋅0nn(3)矩阵D=⋮，证明：∀n∈N*，n≥3，D>n.mnF3n+9n-1n-1n-14n-14n-14n-1ln3ln3ln3⋅⋅⋅0nnnnln3nln3nln3n⋅⋅⋅ln3n22224 5(2024·山东济南·一模)在空间直角坐标系O-xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz222+D=0，其中A,B,C,D∈R，A+B+C≠0，且n=A,B,C为该平面的法向量.已知集合P=x,y,zx≤1,y≤1,z≤1，Q=x,y,zx+y+z≤2，T=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,z+x≤2.(1)设集合M=x,y,zz=0，记P∩M中所有点构成的图形的面积为S1，Q∩M中所有点构成的图形的面积为S2，求S1和S2的值；(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V2，求V1和V2的值：(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.①求W的体积V3的值；②求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.5 6(2024·山东青岛·一模)记集合S=an|无穷数列an中存在有限项不为零，n∈N*，对任意an∈n-1S，设变换fan=a1+a2x+⋯+anx+⋯，x∈R．定义运算⊗：若an,bn∈S，则an⊗bn∈S，fan⊗bn=fan⋅fbn．(1)若an⊗bn=mn，用a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4表示m4；(2)证明：an⊗bn⊗cn=an⊗bn⊗cn；2n+1+11203-nnn+1,1≤n≤1002,1≤n≤5001(3)若an=，bn=，dn=an⊗bn，证明：d200<．0,n>1000,n>50026 7(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.7 8(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆A沿着x轴正向无滑动地滚动，点M为圆A上一个定点，其初始位置为原点O,t为AM绕点A转过的角度(单位：弧度，t≥0).(1)用t表示点M的横坐标x和纵坐标y；1+cos2θ(2)设点M的轨迹在点M0(x0,y0)(y0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：为定值；y0(3)若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为(x(t),y(t)),t∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F(β)-22F(α)，其中函数F(t)满足F(t)=[x(t)]+[y(t)].当点M自点O滚动到点E时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE的长度.8 1219(2024·山东济宁·一模)已知函数fx=lnx-ax+a∈R．22(1)讨论函数fx的单调性；fx2-fx1(2)若0<x1<x2，证明：对任意a∈0,+∞，存在唯一的实数ξ∈x1,x2，使得f(ξ)=成立；x2-x12n+1*(3)设an=2，n∈N，数列an的前n项和为Sn．证明：Sn>2ln(n+1)．n10(2024·山东淄博·一模)在平面直角坐标系xOy中，点.F5,0，点Px,y是平面内的动点.若以PF22为直径的圆与圆D:x+y=1相切，记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设点A(1,0),M(0,t),N(0,4-t)(t≠2)，直线AM，AN分别与曲线C交于点S，T(S，T异于A)，过点A作AH⊥ST，垂足为H，求|OH|的最大值.9 11(2024·山东泰安·一模)已知各项均不为0的递增数列an的前n项和为Sn，且a1=2,a2=4,anan+1=*2SnSn+1+Sn-1-2Sn(n∈N，且n≥2)．(1)求数列1的前n项和T；nSn(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”．证明：*①对任意k≤5且k∈N，存在“G-数列”bn，使得bk≤ak≤bk+1成立；*②当k≥6且k∈N时，不存在“G-数列”cn，使得cm≤am≤cm+1对任意正整数m≤k成立．12(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．ma0+a1x+⋯+amx给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=，且满n1+b1x+⋯+bnx(m+n)(m+n)足：f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，⋯，f(0)=R(0)．(注：f(x)=f(x)，f(x)=f(x)(4)(5)(4)(n)(n-1)，f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，⋯；f(x)为f(x)的导数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的ax1,1阶帕德近似为R(x)=．1+bx(1)求实数a，b的值；(2)比较fx与R(x)的大小；f(x)1(3)若h(x)=--mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．R(x)210 *13(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当fx在x=0处的nn∈N3nf0f0f023n阶导数都存在时，fx=f0+f0x+x+x+⋯+x+⋯．注：fx表示fx的22!3!n!n阶导数，即为fx的导数，fxn≥3表示fx的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．1(1)根据该公式估算sin的值，精确到小数点后两位；22462xxxx(2)由该公式可得：cosx=1-+-+⋯．当x≥0时，试比较cosx与1-的大小，并给出证明；2!4!6!2n*11(3)设n∈N，证明：>n-．14n+2k=1(n+k)tann+k11 xe-114(2024·湖北武汉·模拟预测)已知函数fx=．x(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；(2)证明：fx是其定义域上的增函数；x(3)若fx>a，其中a>0且a≠1，求实数a的值．15(2024·福建·模拟预测)对于函数f(x)，若实数x0满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点.已知a≥0，12且f(x)=lnx+ax+1-a的不动点的集合为A.以minM和maxM分别表示集合M中的最小元素和最大2元素.(1)若a=0，求A的元素个数及maxA；(2)当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B.(i)求B；nf(an)4**(ii)若a=minB，数列{an}满足a1=2，an+1=，集合Cn=ak-1,，n∈N.求证：∀n∈N，ank=134maxCn=.312 16(2024·福建泉州·模拟预测)已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6．(1)求E的方程；(2)若面积为3的△ABC的三个顶点均在E上，边BC过F，边AB过原点，求直线BC的方程：1(3)已知M1,0，过点T,2的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足TP222⋅SQ=PS⋅TQ，且SM+SF=13？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．x17(2024·福建莆田·二模)已知函数fx=e-mx,x∈0,+∞．(1)证明：当m≤e时，fx≥0；(2)若函数gx=fx-xlnx-1有两个零点x1,x2．①求m的取值范围；2②证明：x1+lnx2<m-．213 18(2024·福建漳州·模拟预测)“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．12他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙233在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单411车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复．43(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)求丙在3月份第nn=1,2,⋅⋅⋅,31天选择“共享单车”的概率Pn，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．14 19(23-24高三上·湖北·期中)小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中X1次，第二组投篮2次，投中X2次，求EX1-X2；(3)记Pi表示小明投篮ii=2,3,⋅⋅⋅次，恰有2次投中的概率，记XX=2,3,⋅⋅⋅,n表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数(当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再n+2继续投)，证明：EX≥2Pi.i=22220(2024·福建龙岩·一模)已知双曲线C:x-y=4,A是双曲线C的左顶点，直线l:x=my+tm≠±1.(1)设直线l过定点B1,0，且交双曲线C于E,F两点，求证：直线AE与AF的斜率之积为定值；(2)设直线l与双曲线C有唯一的公共点M.(i)已知直线l与双曲线C的两条渐近线相交于两点R,S，求证：MR=MS；(ii)过点M且与l垂直的直线分别交x轴､y轴于Px,0,Q0,y两点，当点M运动时，求点Nx,y的轨迹方程.15 221(2024·福建福州·模拟预测)已知函数fx=xlnx-x-1．(1)讨论fx的单调性；-x12(2)求证：fx<e+--1；x2x(3)若p>0,q>0且pq>1，求证：fp+fq<-4．16