相似三角形的八大经典模型（学生版）

相似三角形的八大经典模型【题型1A字型】【题型2“8”字形】【题型3AX字型】【题型4子母型】【题型5双垂直型】【题型6一线三等角型】【题型7手拉手型】【题型8三角形内接矩形型】【基本模型1-A字型】ADAE①如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE⎳BC，则△ADE∽△ABC，==ABACDE．BC②模型拓展1：斜交A字型条件：∠C=∠ADE，图2结论：△ADE~△ACB；ADACCD③模型拓展2：如图，∠ACD=∠B⇔△ADC∽△ACB⇔==．ACABBC【题型1A字型】1 1(2023·安徽滁州·校考一模)如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM-EF值为()71232A.B.C.D.55551(2023春·四川成都·九年级校考开学考试)如图，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC．已知△ABC的面积为9，则阴影部分的面积为．2(2023·安徽滁州·校考一模)在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动S△DEF点，且BF=BD=EC=2，连接FE，=；S△ABC3(2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习)如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AF交BC边于点H，则CH长为．【基本模型2-“8”字形】ABOAOB①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔==；CDOCODABOAOB②如图2，∠A=∠D⇔△AOB∽△DOC⇔==．CDODOC2 ABJAJB③模型拓展：如图，∠A=∠C⇔△AJB∽△CJD⇔==．CDJCJD【题型2“8”字形】1(2023·安徽·九年级专题练习)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BEBG交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为()GF2113A.B.C.D.32341(2023春·广东深圳·九年级校考开学考试)如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC=6，则AE=．2(2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG∥BC，交CD于点G．求FG的长．3 3(2023春·安徽·九年级专题练习)如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，则BD=()105A.B.5C.D.633【基本模型3-AX字型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3AX字型】1(2023春·山东烟台·九年级统考期末)如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．(1)图中相似三角形有对；2(2)若AD=AC⋅CM,∠BMA=72°，求∠BCD的度数．1(2023春·河南许昌·九年级统考期末)如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE:S△CDE=2:3，则S△DOE:S△AOC=．2(2023春·重庆巴南·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于E点，交AB于F4 点，连接AE.若F是AB中点，且BC=8，则AE的长为．13(2023春·浙江杭州·九年级校考期中)如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=AB，ED和AC3相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．(1)求FG:AE的值．(2)若AB:AC=3:2，①求证：∠AEF=∠ACB．2②求证：DF=DG⋅DA．【基本模型4-子母型】AEADDE如图为斜“A”字型基本图形．当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，则有==．AE⋅AC=AD⋅ABACBCAB．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．ACADCD当∠ACD=∠B时，△ABC∽△ACD，则有==．ABACBC【题型4子母型】AB1(2023春·安徽滁州·九年级统考期中)如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且=ACAD，∠BAD=∠ECA．CE5 2(1)求证：AC=BC•CD；CE(2)若AD是△ABC的中线，求的值．AC1(2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中)如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD=4，BD=2，求证：△ACD∽△BCA．2(2023春·安徽合肥·九年级校考期中)△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，过F点作FH⊥AC于点H．(1)求证：△ADE∽△CDB；(2)求证：AE=2EF；(3)若FH=3，求BC的长．3(2023·安徽合肥·统考一模)如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．(1)求证：△ABE≌△CAD；6 (2)求证：AC∥FB；AB(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求的值．(温馨提示：请用简洁的方式表示角)BC【基本模型5-双垂直型】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常222见的结论有：CA=AD·AB，BC=BD·BA，CD=DA·DB.②拓展：(1)正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在Rt△ABE和Rt△BCF内均有射影定理模型．(2)如图，在圆中也会出现射影定理模型．【题型5双垂直型】1(2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边BC上，CE=2，若点P、Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP+QE的最小值为．1(2023春·福建莆田·九年级校考期末)【问题情境】(1)古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比7 例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD222⊥AB，垂足为D，则：(1)AC=AB·AD；(2)BC=AB·BD；(3)CD=AD·BD；请你证明定理中的结论(1)2AC=AB·AD．【结论运用】(2)如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若BE=10，求OF的长．2如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD=3，BC=5，则EF的长是()A.15B.215C.17D.2173(2023·河南南阳·统考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系．(2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由．8 (3)拓展应用如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为，点G的运动轨迹的长为．(直接写出答案不必说明理由)【基本模型6一线三等角型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形【题型6一线三等角型】1(2023春·山东潍坊·九年级统考期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD，△ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求两矩形的相似比的是()9 ABBDCDCEA.B.C.D.ACCDCHEH1(2023春·山东日照·九年级校考期中)已知等边三角形ABC的边长为4．(1)如图，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD=60°，求证：△ABP∽△PCD；(2)如图，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD=120°，当PC=2时，求AD的长；(3)在(2)的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D，求△DAP的面积．2(2023·全国·九年级专题练习)如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；10 (2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．3(2023春·重庆万州·九年级统考期末)如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF<FC，且AF⊥FE．对角线AC与EF交于点G，则GC的长为．【基本模型7-手拉手型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延长线与AD相交于点P，则△ABD∽△CBE，且相似比为1:2，AD与CE的夹角为45°．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．2222③如图所示，Rt△AOB∽Rt△COD，则△AOC∽△BOD，AC⊥BD，且AD+BC=CD+AB．【题型7手拉手型】1(2023·山东济宁·统考三模)背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC，AE=AD，如果11 把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．学习小组继续探究：(1)如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并连接BE，CD，证明BE=CD；(2)小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB>AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度(如图3)，连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．学以致用：3(3)如图4，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，tanα=，CD=5，AD=12．请在图4中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．1(2023春·安徽六安·九年级校考阶段练习)[问题发现](1)如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，已知ΔACF∽ΔBCE．请直接写出线段BE与AF的数量关系；[实验研究](2)在(1)的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；[结论运用](3)在(1)(2)的条件下，若ΔABC的面积为8，当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请求出线段AF的长．2(2023·河南洛阳·统考模拟预测)综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．12 (1)操作判断已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α0°<a<360°，连接BD，AE，如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，请完成如下判断：①线段BD与线段AE的数量关系是；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是；(2)迁移探究如图2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他条件不变，则(1)中的结论是否都成立？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=42，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．3(2023春·安徽合肥·九年级统考期末)在ΔABC，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．(1)观察猜想°BD如图1，当α=60时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．CP(2)类比探究°BD如图2，当α=90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明CP理由．(3)解决问题°当α=90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上AD时的值．CP【基本模型8-三角形内接矩形型】由之前的基本模型(A型或AX型)推导出来的。13 GFAH结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，=BCAM【题型8三角形内接矩形型】1(2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中)如图，△ABC中，点PQ分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD:BC=2:3，连接MQ，若△ABC的面积等于75，则MQ的最小值为．1(2023春·陕西西安·九年级校考期中)如图，在△ABC中，∠A=90°，正方形DEFG的边长是6，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE=3．(1)求证：△BDG∽△FEC；(2)求S△BDG:S△FEC的值．2(2023春·山东东营·九年级统考期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.点M1，N1，P1分别在AC、BC、AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1、BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，⋯，点Mn，Nn，Pn分别在Pn-1Nn-1，BNn-1，BPn-1上，且四边形MnNn-1NnPn是正方形，则线段M2023P2023的长度是．14 3(2023春·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．则MN的长为15