5.7 三角函数的应用-2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第一册)

5.7三角函数的应用 三角函数的应用现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么我们就可以考虑借助三角函数来描述.地球自转引起的昼夜交替变化、地球公转引起的四季交替变化、月亮圆缺、潮汐变化、物体做匀速圆周运动时的位置变化、物体做简谐运动时的位移变化、交变电流变化等，都可用三角函数刻画。 三角函数在物理中的应用——简谐运动t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1－10.1－17.8－20.0问题1.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t(单位s)与位移y(单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．振子的振动具有循环往复的特点，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画．根据已知数据作出散点图如右： 三角函数在物理中的应用——简谐运动由数据表和散点图可知y＝Asin(ωt＋φ)中，振子振动时位移的最大值为20mm，∴A＝20；振子振动的周期为0.6s，即＝0.6，解得ω＝；再由初始状态(t＝0)振子的位移为-20，可得sinφ＝-1，∴φ＝－．∴振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)．现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． 三角函数在物理中的应用——简谐运动简谐运动：物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)，x∈[0,＋∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的振幅、周期和频率等物理量都与这个解析式中的常数有关：A是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；T＝是简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；f＝＝是简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 巩固：三角函数在物理中的应用——简谐运动P244-1．某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）写出这个简谐运动的函数解析式．析：（1）振幅A＝3(cm)．周期T＝4(s)，频率f＝(Hz)．（2）由（1）可得y＝3sin．由点(1.2，0)在图象上可得φ＝＋2kπ(k∈Z)．取φ＝，则函数解析式为y＝3sin．y/cmx/sO3.21.2BC－33 巩固：三角函数在物理中的应用——匀速圆周运动动点A(x，y)在单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12]D．[0，1]和[7，12]D 三角函数在物理中的应用——交变电流问题2.图①是某次实验测得的交变电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图②．(1)求电流i随时间t变化的函数解析式；析：电流i随时间t的变化规律可用i＝Asin(ωt＋φ)刻画。由图②可知，电流最大值为5A，∴A＝5；电流变化的周期为s，频率为50Hz，即＝50，解得ω＝100π；由初始状态(t＝0)的电流约为4.33A，可得sinφ＝0.866，∴φ约为．∴电流i随时间t变化的函数解析式是i＝5sin，t∈[0,+∞)． 三角函数在物理中的应用——交变电流问题2.图①是某次实验测得的交变电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图②．(1)求电流i随时间t变化的函数解析式；i＝5sin，t∈[0,+∞)．（2）当t＝0，，，，时，求电流i．当t＝0时，i＝；当t＝时，i＝5；当t＝时，i＝0；当t＝时，i＝－5；当t＝时，i＝0． 三角函数在物理中的应用——交变电流一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位：V）关于时间t（单位：s）的函数解析式．UtO0.020.04－311311析：周期为0.02s，频率为50Hz，电压的最大值为311V．电压和时间的函数解析式为U＝311sin100πt，t∈[0，＋∞)． 三角函数在生活中的应用——气温变化例1.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．x/h86101214y/℃O102030解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20℃．(2)由图可知，6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b①的半个周期的图象，∴A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20．∵×＝14－6，∴ω＝．将A＝10，b＝20，ω＝，x＝6，y＝10代入①式，可得φ＝．综上，所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14]． 三角函数在生活中的应用——潮汐变化例2.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报．（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）．yxO2463.16.29.312.415.518.621.724根据上表数据画散点图，从其形状可判断，港口的水深与时间的关系可用形如y＝Asin(ωt＋φ)＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可得A=2.5，h=5，T=12.4=，得ω=，φ=0．∴可用y＝2.5sint＋5近似描述. 巩固：三角函数在生活中的应用——油价变化例3国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋)＋60(美元)，其中A>0，ω>0．先采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150天时达到最低油价，则ω的最小值为______________. 小结：三角函数的应用1.三角函数y=Asin(wx+φ)+b可描述现实世界中周期变化的一种数学模型，可用于刻画周期性规律；2.用函数模型解决实际问题的一般步骤：收集数据—→作散点图—→选择函数模型—→求解函数模型—→检验及预测 Thanks好学数学数学好学学好数学hàohǎohǎo