5.1 任意角和弧度制(含2课时)-2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第一册)

第五章《三角函数》5.1.1任意角 对比：初高中“角”的概念角(高中)：射线OA绕着端点O从起始位置OA按一定方向旋转到终止位置OB，形成∠AOB.始边终边角(初中)：有公共端点的两条射线构成的几何图形. 思考1：如何刻画圆周运动中的动点位置？圆周运动是一种常见的周期性变化现象.PAO圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的圆周运动;1.如何刻画点P的位置变化？是什么引起点P的变化？始边OA旋转角α的度数旋转方向(逆时针)终边OPP为射线OP与圆的交点α 思考2：如何刻画圆周运动？圆周运动是一种常见的周期性变化现象.圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的圆周运动;1.如何刻画点P的位置变化？是什么引起点P的变化？始边OA旋转角α的度数旋转方向(逆时针)终边OPP为射线OP与圆的交点2.如何描述点P逆时针旋转了一周半？射线OP逆时针旋转了540°扩大角的范围任意角 生活中的任意角时钟慢了1小时10分钟，校准时分针要___时针旋转____°顺420体操运动员单手侧空翻转体540°体操运动员前空翻转体720°主动轮逆时针旋转80°被动轮顺时针旋转80°旋转的方向旋转的度数 新知1：任意角的定义正角：负角：一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.如：α=﹣540º，α=﹣120º.一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.如：α=60º，α=425º.零角：一条射线没作任何旋转.(零角的始边与终边重合)任意角已知一条射线的起始位置OA：[注]①在不引起混淆的情况下，“角”或“∠”可以简写成“”;②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，…;③角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺”(与﹣互为相反角);④角的加法：规定，把角α的终边旋转角β，此时终边对应的角是α+β.⑤角的减法：α－β=α+(﹣β) 巩固：任意角的定义①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.()②终边与始边重合的角是零角.()③小于90°的角是锐角.()[练习1]判断正误：顺时针旋转30°，即为﹣30°始边终边重合的角可为0°,360°,720°,-360°等，即k·360°小于90°的角可为45°，-120°，0°等；锐角是大于0°小于90°的角. 新知2：象限角的定义我们通常在直角坐标系内讨论角。使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就说该角是第几象限角。如：α=﹣130°的终边在第三象限，则α是第三象限角.锐角是第一象限角，钝角是第二象限角.角的终边在坐标轴上，则认为此角不属于任何一个象限.[练习2]已知A={第一象限的角},B={锐角},C={小于90º的角},则下列正确的是()A.A=B=CB.B∪C=AC.A∩C=BD.B∪C=CD 新知3：终边相同的角思考：在直角坐标系中，给定一个角，则该角对应的终边唯一确定；反之，若给定终边位置OB，则该终边对应的角唯一吗？与45°终边相同的角为____________________45°+k·360°(k∈Z)yxo45°与角α终边相同的所有角组成的集合： 巩固：终边相同的角判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且在0°~360°内的角，再判断终边所在象限. 巩固：终边相同的角例2.写出终边在y轴上的角的集合.①终边在y轴正半轴的角的集合:②终边在y轴负半轴的角的集合:则终边在y轴上的角的集合:[变式1]写出终边在x轴上的角的集合.[变式2]写出终边在直线y=x上的角的集合. 巩固：象限角与终边相同的角第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：[练习3]若角α的终边在如图所示的阴影部分(包括边界)，请指出角α的取值范围. 巩固：象限角与终边相同的角DCyx 巩固：象限角与终边相同的角二等分逆时针标1-4三等分 第五章《三角函数》5.1.2弧度制 新知引入：多样的单位制度量长度：米、英尺、码等单位制度量重量：千克、磅等单位制度量角：角度、……角的度量是否也能用不同的单位制？能否用十进制的实数来度量角？度/分/秒的换算：六十进制1度=60分1分=60秒角度制角度(°)实数换算 探究：角度与弧长的关系如图，对于同一圆心角α=60°，若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.半径rr=1r=2r=3r=4圆弧长l 探究：角度与弧长的关系如图，对于同一圆心角α=45°，若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.半径rr=1r=2r=3r=4圆弧长l 探究：角度与弧长的关系结论:同一圆心角α所对的圆弧长l与半径r之比为同一常数.α的角度数确定的常数l/r称为“α的弧度数” 新知1：弧度制的定义规定:长度等于半径的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad表示，读作1弧度。②今后用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”可略去不写，如：α=1，β=2π即：对于圆心角α，若l=r，则|α|=l/r=1rad.l=3r|α|=l/r=3radl=2πr|α|=l/r=2πrad正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是0 新知1：弧度制的定义规定:长度等于半径的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad表示，读作1弧度。即：对于圆心角α，若l=r，则|α|=l/r=1rad.弧度与角度的换算 新知2：弧度与角度的换算P174角度(°)弧度(rad)0 巩固：弧度与角度的换算P174(3)与α终边相同的角的集合(4)终边在直线y=x上的角的集合注：角度和弧度不能混用 巩固：判断角的终边所在象限二三二 课外知识——度量角的单位制军事上还常用“密位制”密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线“－”。如：7密位：0－07（读作零，零七）312密位：3－123000密位：30－00007是风靡全球的一系列谍战电影。007不仅是影片的名称，更是主人公特工詹姆斯·邦德的代号。在故事里，邦德是英国情报机构军情六处的间谍，代号007，被授予可以除去任何妨碍行动的人的权力。 新知3：扇形计算公式的推导 新知3：扇形计算公式的推导扇形的弧长：扇形的面积： 新知3：扇形计算公式的运用 新知3：扇形计算公式的运用已知一个扇形的周长为20cm，(1)若扇形面积为9cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是多少？(2)当圆心角α的弧度数是多少时，该扇形面积最大？ 新知3：扇形计算公式的运用P176-12已知相互啮(niè)合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.(1)当大轮转动1周时，小轮转动的角是____rad.(2)如果大轮的转速为180r/min(转/分)，小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是______cm.大轮的转速为3r/s(转/秒)151.2π151.2π 新知3：扇形计算公式的运用 谢谢