2023版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数第二讲平面向量的基本定理及坐标表示课件

第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示 课标要求考情分析1.理解平面向量基本定理及其意义.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.3.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件1.本讲主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.2.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题 1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 3.共线向量及其坐标表示(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线. 【名师点睛】(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.(2)若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 题组一走出误区1.(多选题)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对平面内的任一向量a，下列结论中错误的是()A.存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B.若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2C.若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点OD.若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)答案：BCD 题组二走进教材2.(教材改编题)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则)B.(5,9)D.(3,9)2a－b＝(A.(5,7)C.(3,7)答案：A 3.(教材改编题)下列各组向量中，可以作为基底的是()答案：B 题组三真题展现4.(2021年全国甲)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.5.(2020年全国Ⅰ)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝________.答案：5 考点一平面向量基本定理的应用图5-2-1 【题后反思】应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.(3)强化共线向量定理的应用. 【变式训练】 图D24 考点二平面向量的坐标运算答案：C 示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝((2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图5-2-2所)A.1B.2C.3D.4图5-2-2 解析：以向量a和b的交点为原点建立如图5-2-3所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，图5-2-3则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)， 答案：D 【题后反思】(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. 【变式训练】1.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且答案：(4,7) 图5-2-4 解析：建立如图D25所示的平面直角坐标系，则D(0,0).图D25不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)， 答案：B 考点三平面向量共线的坐标表示考向1利用向量共线求向量或点的坐标[例3]已知点O(0,0)，A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________. 答案：(3,3) 考向2利用向量共线求参数[例4](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________. 【题后反思】(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. 【考法全练】 答案：A 2.(考向2)(2021年宣城期末)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b与2a－nb共线，则mn＝()A.1B.－1C.2D.－2解析：根据题意，a＝(1，－1)，b＝(2,0)，则ma＋b＝(m＋2，－m)，2a－nb＝(2－2n，－2)，若向量ma＋b与2a－nb共线，则有(－m)(2－2n)＝(－2)(m＋2)，变形可得mn＝－2.故选D.答案：D ⊙利用方程的思想求解平面向量问题 【策略指导】(1)易错点：找不到问题的切入口，即想不到利用待定系数法求解.(2)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视M，P，C共线和B，P，N共线这两个几何特征. 【高分训练】1.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中 图D26 答案：B 2.如图5-2-5，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线.图5-2-5