备考2024届高考数学一轮复习分层练习第六章平面向量复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1.[2024山东菏泽模拟]设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（　C　）A.e1＋e2和e1－e2B.4e1＋2e2和2e2－4e1C.2e1＋e2和e1＋12e2D.e1－2e2和4e2＋2e1解析　平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，选项C中，2e1＋e2＝2（e1＋12e2），即2e1＋e2和e1＋12e2为共线向量，所以它们不能作为基底，故选C.2.[2024河南商丘期末]已知点A（8，－1），B（1，－3），若点C（2m－1，m＋2）与A，B共线，则实数m＝（　C　）A.－12B.13C.－13D.12解析　因为点C与A，B共线，且AB＝（－7，－2），AC＝（2m－9，m＋3），故2m－9－7＝m+3－2，所以m＝－13.故选C.3.[2023山东省实验中学开学考试]已知向量a＝（2，－3），b＝（m，1），若｜a＋2b｜＝｜a－2b｜，则m＝（　A　）A.32B.－32C.23D.－23解析　由a＝（2，－3），b＝（m，1），可得a＋2b＝（2＋2m，－1），a－2b＝（2－2m，－5），又｜a＋2b｜＝｜a－2b｜，所以｜a＋2b｜2＝｜a－2b｜2，即（2＋2m）2＋1＝（2－2m）2＋25，解得m＝32，故选A.4.[2023河北石家庄质检]△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且AD＝45AM，AN＝λAB，则λ＝（　A　）A.23B.34C.45D.56解析　如图，因为点M是BC的中点，所以AD＝45AM＝45×12（AB＋AC）＝25（AB＋AC）.因为N，D，C三点共线，所以AD＝μAC＋（1－μ）AN，又AN＝λAB，所以25（AB＋AC）＝μAC＋（1－μ）λAB，由平面向量基本定理可知25＝μ，25＝（1－μ）λ，解得μ＝25，λ＝23，故选A.5.在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第二象限内，∠AOC＝5π6，且｜OC｜＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ，μ的值分别是（　D　）A.3，1B.1，3C.－1，3D.－3，1 解析　设C（x，y），∵点C在第二象限，且∠AOC＝5π6，｜OC｜＝2，∴x＝｜OC｜·cos5π6＝－3，y＝｜OC｜·sin5π6＝1，∴C（－3，1），∴OC＝（－3，1）.又∵OC＝λOA＋μOB，∴（－3，1）＝λ（1，0）＋μ（0，1），即（－3，1）＝（λ，μ），∴λ＝－3，μ＝1.6.[多选]已知等边三角形ABC内接于☉O，D为线段OA的中点，E为BC的中点，则BD＝（　AC　）A.23BA＋16BCB.43BA－16BCC.BA＋13AED.23BA＋13AE解析　BD＝BA＋AD＝BA＋13AE＝BA＋13（AB＋BE）＝BA－13BA＋13×12BC＝23BA＋16BC.故选AC.7.[多选]已知向量OA＝（1，－3），OB＝（2，－1），OC＝（m，m－2），若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m的值可以是（　ACD　）A.－2B.3C.1D.－1解析　由题知，AB＝OB－OA＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），AC＝OC－OA＝（m，m－2）－（1，－3）＝（m－1，m＋1）.假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2（m－1）＝0，即m＝3.所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，则m≠3.故选ACD.8.[2024河南信阳模拟]已知两点A（3，－2）和B（－5，－1），点P满足AP＝12AB，则点P的坐标为　（－1，－32）　.解析　解法一　设点P的坐标为（x，y），由AP＝12AB，得（x－3，y＋2）＝12（－8，1）.所以x－3=－4，y+2=12，解得x＝－1，y＝－32.所以点P的坐标为（－1，－32）.解法二　由AP＝12AB，得P为AB的中点，则由中点坐标公式得，点P的坐标为（3－52，－2－12），即（－1，－32）.9.在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝　12　，y＝　－16　.解析　由题意得MN＝MC＋CN＝13AC＋12CB＝13AC＋12（AB－AC）＝12AB－16AC＝xAB＋yAC，所以x＝12，y＝－16.10.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB（λ，μ∈R），则λμ＝　12　. 解析　由题图可设CG＝xCE（x＞0），则CG＝x（CB＋BE）＝x（CB＋12CD）＝x2CD＋xCB.因为CG＝λCD＋μCB，CD与CB不共线，所以λ＝x2，μ＝x，所以λμ＝12.11.[2023陕西安康一模]已知O是△ABC内一点，2OA＋3OB＋mOC＝0，若△AOB与△ABC的面积的比值为47，则实数m的值为（　D　）A.－103B.103C.－203D.203解析　解法一　由2OA＋3OB＝－mOC得25OA＋35OB＝－m5OC，设－m5OC＝OD，则OD＝25OA＋35OB，则A，B，D三点共线，如图所示，∵OC与OD反向共线，∴m＞0，∴｜OD｜｜OC｜＝m5，∴｜OD｜｜CD｜＝mm+5，∴S△AOBS△ABC＝｜OD｜｜CD｜＝mm+5＝47，解得m＝203.故选D.解法二　∵2OA＋3OB＋mOC＝0，∴由奔驰定理（O为△ABC内一点，则S△BOC·OA＋S△AOC·OB＋S△AOB·OC＝0）可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶m，∴S△AOB∶S△ABC＝m∶（2＋3＋m），∴m2+3+m＝47，解得m＝203，故选D.12.[与基本不等式交汇]在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点.若AE＝λAC＋μDO（λ＞0，μ＞0），则2λ＋1μ的最小值为（　C　）A.2B.5C.92D.143解析　解法一　设正方形ABCD边长为2，则以A为原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），O（1，1）.设E（2，t），t∈[0，2）.（因为λ＞0，μ＞0，故C，E不重合）因为AE＝λAC＋μDO，所以（2，t）＝λ（2，2）＋μ（1，－1），即2λ＋μ=2，2λ－μ＝t，则λ＝2+t4，μ＝2－t2，所以2λ＋1μ＝82+t＋22－t＝14（82+t＋22－t）（2＋t＋2－t）≥14（10＋28×2）＝92，当且仅当t＝23时等号成立.故选C. 解法二　由题意知AE＝λAC＋μDO＝λAC＋μOB＝λAC＋μ（AB－12AC）＝（λ－12μ）AC＋μAB，则λ－12μ＋μ＝1，即λ＋12μ＝1.（B，C，E三点共线）故2λ＋1μ＝（λ＋12μ）（2λ＋1μ）＝52＋μλ＋λμ≥92，当且仅当μλ＝λμ，即λ＝μ＝23时等号成立，故选C.13.[2023山东模拟]已知点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝13AB＋tAC（t∈R），若点P在△ABC的内部（不包含边界），则实数t的取值范围是　（0，23）　.解析　AP＝13AB＋tAC，其中t为实数，当点P在线段BC上时，AP＝13AB＋23AC，如图，在AB上取一点D，使得AD＝13AB，在AC上取一点E，使得AE＝23AC，则AP＝13AB＋tAC＝AD＋32tAE.由图可知，若点P在△ABC的内部（不包含边界），则0＜32t＜1，解得0＜t＜23.14.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为5π6.如图所示，点C在以点O为圆心的圆弧AB上运动.若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则12x－32y的取值范围是　[－1，12]　.解析　如图，分别以直线OA，过点O的OA的垂线为x轴，y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，设∠AOC＝θ，则C（cosθ，sinθ）.因为A（1，0），B（－32，12），所以OA＝（1，0），OB＝（－32，12），OC＝（cosθ，sinθ）.由OC＝xOA＋yOB得，x－32y＝cosθ，且12y＝sinθ.于是12x－32y＝12cosθ－32sinθ＝cos（θ＋π3）.因为点C在圆弧AB上运动，所以θ∈[0，5π6]，θ＋π3∈[π3，7π6]，cos（θ＋π3）∈[－1，12].故12x－32y的取值范围是[－1，12].