第2讲平面向量基本定理及坐标表示1.[命题点1]如图是由等边三角形AIE和等边三角形KGC构成的六角星，图中的B，D，F，H，J，L均为对应线段的三等分点，两个等边三角形的中心均为O.若OA＝mOC＋nOJ，则mn＝（ B ）A.12B.23C.34D.1解析 因为等边三角形AIE和等边三角形KGC的中心均为O，所以H，O，B三点共线，J，O，D三点共线.如图，连接HB，OD，则四边形AJHB，BODC都是平行四边形，且点O为HB，JD的中点.OA＝OJ＋JA＝OJ＋HB＝OJ＋2OB，又OB＝DC＝DO＋OC＝OJ＋OC，所以OJ＋2OB＝OJ＋2（OC＋OJ）＝2OC＋3OJ，即OA＝2OC＋3OJ，又OA＝mOC＋nOJ，所以m＝2，n＝3，所以mn＝23.2.[命题点2/多选]已知向量e1＝（－1，2），e2＝（2，1），若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则使λ1λ2＜0成立的a可能是（ AC ）A.（1，0）B.（0，1）C.（－1，0）D.（0，－1）解析 因为e1＝（－1，2），e2＝（2，1），所以向量a＝λ1e1＋λ2e2＝（－λ1，2λ1）＋（2λ2，λ2）＝（2λ2－λ1，2λ1＋λ2）.当a＝（1，0）时，2λ1＋λ2＝0，满足题意；当a＝（0，1）时，2λ2－λ1＝0，不满足题意；当a＝（－1，0）时，2λ1＋λ2＝0，满足题意；当a＝（0，－1）时，2λ2－λ1＝0，不满足题意.3.[命题点2]在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是以点C为圆心，2为半径的圆上的动点.设AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最小值为（ B ）A.1B.76C.2D.83解析 如图，以点A为原点，以AB和AD所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），D（0，4），圆C的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4.因为点P在圆C上，所以可设点P的坐标为（2cosθ＋3，2sinθ＋4），又AP＝λAB＋μAD，所以（2cosθ＋3，2sinθ＋4）＝λ（3，0）＋μ（0，4）＝（3λ，4μ），即2cosθ+3=3λ，2sinθ+4=4μ，所以λ＋μ＝23cosθ＋12sinθ＋2＝56sin（θ＋φ）＋2≥76（其中tanφ＝43）.故选B.4.[命题点3]已知向量a＝（1，x），b＝（y，1），x＞0，y＞0.若a∥b，则xyx＋y的最大值为（ A ）
A.12B.1C.2D.2解析 a∥b⇒xy＝1，所以y＝1x，又x＞0，y＞0，所以xyx＋y＝1x＋y＝1x＋1x≤12x·1x＝12，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，所以xyx＋y的最大值为12.
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