2023版高考数学一轮总复习第四章数列第一讲数列的概念与简单表示法课件

第四章　数列第一讲　数列的概念与简单表示法 课标要求考情分析通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数1.本讲主要以数列的概念、通项公式的解法为主，因此要把握好由关系式求通项公式的方法.2.能结合通项公式或简单的递推关系去分析数列的性质，如单调性、周期性等，并能利用性质解题.3.本讲内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档 概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an1.数列的有关概念 概念含义通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和(续表) 列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法2.数列的表示方法 分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1≥an其中n∈N*递减数列an＋1≤an常数列an＋1＝an3.数列的分类 【名师点睛】(1)若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，(2)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.(3)易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 题组一走出误区1.(多选题)下列命题正确的是()A.所有数列的第n项都可以用公式表示出来B.依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个答案：BDC.若an＋1－an>0(n≥2)，则数列{an}是递增数列D.如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn 题组二走进教材2.(教材改编题)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.答案：21 3.(教材改编题)如图4-1-1，根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.图4-1-1答案：5n－4 题组三真题展现4.(2021年北京)设数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1＋a2＋a3＋…＋an＝100，则n的最大值为()A.9B.10C.11D.12答案：C答案：10 考点一由数列的前几项求数列的通项[例1](1)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是() 答案：C (2)(2021年千阳月考)已知数列9,99,999,9999，…，写)出{an}的通项公式(解析：数列9,99,999,9999，…，可以表示为10－1,102－1,103－1,104－1，…，∴{an}的通项公式：an＝10n－1.C正确.答案：CA.an＝10n－1B.an＝10n－2C.an＝10n－1D.an＝10n＋1 替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.【题后反思】由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交 【变式训练】写出下列各数列的一个通项公式： 考点二由an与Sn的关系求通项[例2](1)(2021年广州质检)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________. (2)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.答案：－63 【题后反思】数列的通项an与前n项和Sn的关系是①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 易错警示：在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略掉先求出a1，而直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.例如[例2]第(1)题易错误求出an＝2n(n∈N*). 【变式训练】1.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合上式，∴an＝4n－5.答案：4n－5 2.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________. 考点三数列的函数属性考向1数列的单调性[例3](1)若an＝2n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为______.解析：若数列{an}为单调递增数列，则an＋1＞an，即2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞2n2＋λn＋3，整理得λ＞－(4n＋2)，∵n≥1，∴－(4n＋2)≤－6，即λ＞－6.答案：(－6，＋∞) 答案：BCD 考向2数列的周期性[例4]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2022＝()A.3B.2C.1D.0解析：∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0.故S2022＝337×0＝0.D正确.答案：D 【题后反思】(1)解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(2)判断数列单调性的方法：①作差(或商)法；②目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去. 【考法全练】列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3，＋∞)C.(1，＋∞)B.(2，＋∞)D.(0，＋∞) 答案：D ⊙由数列的递推关系求数列的通项公式考向1形如an＋1＝an＋f(n)，求an________. 考向2形如an＋1＝anf(n)，求an[例6]若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝_______. 考向3形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an[例7]数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为an＝________.解析：法一(累乘法)：an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)， 法二(迭代法)：an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.答案：2×3n－1－1 【反思感悟】由递推关系求数列的通项公式的常用方法 【高分训练】1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝()A.2n－1B.2n－1＋1C.2n－1D.2(n－1) 解析：法一：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，答案：A又a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.故选A.法二：∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝3，a3＝7，a4＝15.由a1＝1，排除D；由a3＝7，排除B；由a4＝15，排除C.故选A. 答案：C 3.在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列an＝________.答案：2n(n＋1)(n∈N*)