非对称韦达定理问题（学生版）

非对称韦达定理问题考点解密y2-2x1在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可y1+2x2y2-2x1kx2+2x1kx1x2+2x1得：==，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子y1+2x2kx1+6x2kx1x2+6x2y1−tkPAx1x2y1−tx2一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：===kPBy2−tx1y2−tx1x2kx1x2+(m−t)x2kx1x2+(m−t)x1我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x1+x2和x1⋅x2之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：x1+x2=f(t)①联立方程后得到韦达定理：⇒m(t)(x1+x2)=n(t)x1x2代入之后进行代换消元解题.x1x2=g(t)②利用点在椭圆方程上代换题型解密题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】2y2xa1已知双曲线C:-=1(a>0)的左顶点为A，右焦点为F，P是直线l:x=上一点，且P不a23a22在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．(1)证明：∠APN=2∠NPF；(2)取a=1，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．1 【跟踪训练】31已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A2,0，B1,2，M，N为椭圆E上关于x轴对称的两点(不与点B重合)，Q1,0，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：(i)直线NC过定点，(ii)存在定点R，使PR为定值．2y2x32椭圆C:+=1a>b>0的一个焦点为F1,0，且过点M1,．a2b22(1)求椭圆C的标准方程和离心率；2(2)若过点,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴3平行，求直线MP恒过的定点．2 题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】2y2x32椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4，且椭圆C过点3,.a2b22(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A、B为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线k1+k3AM与直线x=4交于点P，记PA、PF、BN的斜率分别为k1、k2、k3，问是否是定值，如果是，k2求出该定值，如果不是，请说明理由.2y2x133已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P1,为椭圆上a2b222一点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值．3 【跟踪训练】2y2x3已知点F为椭圆E:+=1的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交43k1于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为k1,k2,证明为定值．k22y2x4已知双曲线C：-=1a>0,b>0的离心率为2，点3,-1在双曲线C上.过C的左22ab焦点F作直线l交C的左支于A、B两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若M-2,0，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上?请说明理由.(3)点P-4,2，直线AP交直线x=-2于点Q.设直线QA、QB的斜率分别k1、k2，求证：k1-k2为定值.4 题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】4已知B-1,0,C1,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)已知点N-3,0,E-2,0,F2,0，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.5已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.5 【跟踪训练】22225已知圆C1:(x+5)+y=1，圆C2:(x-5)+y=25，动圆C与圆C1和圆C2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)已知点A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线l与轨迹E交于M,N两点，记直线AM与直线BN的交点为P．试问：点P是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．2y2x6已知椭圆C：2+2=1a>b>1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，F1到直线AF2的ab距离为3，且AF2=2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过F2且斜率为kk≠0的直线l与椭圆C交于D，E两点，椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，证明：直线A1D与A2E的交点在定直线上.6 2y2x7已知椭圆W:+=1m>0的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动4mm直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．考点过关练1已知椭圆E的左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0c>0，点M在椭圆E上，MF2⊥F1F2，1△MF1F2的周长为4+23，面积为c．2(1)求椭圆E的方程．(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点1,0的直线l与椭圆E交于C，D两点(不同于左右顶点)，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，问是否存在实常数λ，使得k1=λk2，恒成立？若成立，求出λ的值，若不成立，说明理由．7 2y2x2椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F(-1,0)的直线与椭圆交于22abC，D两点(其中C点位于x轴上方)，当CD垂直于x轴时，CD=3.(1)求椭圆的方程；k1(2)记直线AC，BD的斜率分别为k1,k2，问；是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．k222223已知圆C1:(x+5)+y=1，圆C2:(x-5)+y=25，动圆C与圆C1和圆C2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)已知点A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线l与轨迹E交于M,N两点，记直线AM与直线BN的交点为P．试问：点P是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．8 2y2x4已知椭圆W:+=1m>0的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动4mm直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．2y2x35已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P-1,2在ab5椭圆C上，且PF2=，直线l过点F1且与椭圆C交于A，B两点．2(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知OF1=F1M，OF2=F2N，若直线AM，BN交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．9 2y2x3316已知椭圆E：+=1a>b>0，F22,0为椭圆E的右焦点，三点,，a2b2223311-2,2，2,3中恰有两点在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点A,B为椭圆E的左右端点，过点M2,0作直线交椭圆E于P，Q两点(不同于A,B)，求证：直线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程.2y2x7已知F是椭圆C:+=1a>b>0的左焦点，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，椭圆22ab33的离心率为，△MOF的面积的最大值为.22(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆的左，右顶点，点P1,0，当M不与A，B重合时，射线MP交椭圆C于点N，直线AM，BN交于点T，求∠ATB的最大值.10 2y2x38已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F3,0，A，B分别为椭圆Ca2b22的左、右顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点D1,0作斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线k1BQ的斜率为k2，求证：为定值；k2(3)在(2)的条件下，直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上.11