圆锥曲线中非对称韦达定理的应用

圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若AF=2FB，求直线AB的斜率．2【答案】解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y=2px(p>0)，∵点P(1,2)在抛物线上，2∴2=2p×1，解得p=2.2故抛物线的方程是y=4x，其准线方程是x=-1.(2)方法一由(1)可知F(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB的方程可设为x=ty+1，2y=4x，联立x=ty+1，2整理得y-4ty-4=0，所以y1+y2=4t，y1y2=-4.又AF=2FB，即(1-x1，-y1)=2(x2-1，y2)，y1可得-y1=2y2，即=-2，y22y1y2(y1+y2)5则+=-2=-，y2y1y1y222(4t)5即-2=-，-4211解得t=±，故kAB=-=±22.22t方法二A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，AF=(1-x1，-y1)，2FB=(2x2-2,2y2)，1-x1=2x2-2，AF=2FB⇒-y1=2y2x1=3-2x2，①⇒y1=-2y2，②∵A，B在抛物线上，1 2y1=4x1，③∴2y2=4x2，④1由①②③④联立可得x2=，2则y2=±2，由③-④得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，y1-y24即kAB==x1-x2y1+y244==-=±22.-2y2+y2y22已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F21的周长为6+42，面积为c.3(1)求E的方程；3(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点，0的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为2k1，直线BD的斜率为k2，则．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得k1=λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．【答案】解：(1)依题意，2a+2c=6+42，22得1·2c·b=b·c=1c，2aa3222a=b+c，a+c=3+22，a2=9，2即b=1，解得2a3b=1，222c2=8，a=b+c，2x2所以E的方程为+y=1.9(2)选择①.设直线l的方程为3x=ty+，22x2+y=1，联立方程9x=ty+3，222化简整理，得4(t+9)y+12ty-27=0，2 y+y=-3t，122t+9假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得-27y1y2=2，4(t+9)9得ty1y2=(y1+y2)，4y1直线AC的方程为y=(x+3)，x1+3y2直线BD的方程为y=(x-3)，x2-3y1y=(x+3)，x1+3联立方程，得y2y=(x-3)，x2-3x+3y2x1+3两式相除，得=·x-3x2-3y1ty+92·9(y+y)+9y(x1+3)y212y22ty1y2+9y241223(y1+y2)+6y23(y1+3y2)=======3，(x2-3)y1ty-32ty1y2-3y12·9(y1+y2)-3y13(y1+y2)-2y1y1+3y222y14x+3即=3，解得x=6，x-3所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x=6.2x2+y=1，选择②.联立方程9x=ty+3，222化简整理，得4(t+9)y+12ty-27=0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，y+y=-3t，122t+9由韦达定理，得-27y1y2=2，4(t+9)9得ty1y2=(y1+y2)，4ty-32·9(y+y)-3y3y+9yk1y1x2-3(x2-3)y122y12ty1y2-3y141212122于是=·=====k2x1+3y2(x1+3)y2ty+92ty1y2+9y22·9(y1+y2)+9y29y1+27y212y24223(y+3y)2121==，9(y+3y)32121故存在实数λ=，使得k1=λk2恒成立．3选择③.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C′(x1，-y1)，2x2+y=1，联立方程9x=ty+3，23 22化简整理，得4(t+9)y+12ty-27=0，y+y=-3t，122t+9由韦达定理，得-27y1y2=2，4(t+9)设直线C′D与x轴交于点M(m,0)，由对称性可知kCM+kDM=0，y1y2即+=0，x1-mx2-m则y1(x2-m)+y2(x1-m)=0，所以y1(x2-m)+y2(x1-m)=x1y2+x2y1-m(y1+y2)333=ty1+2y2+ty2+2y1-m(y1+y2)=2ty1y2+2-m(y1+y2)-273-3t=2t·+-m·=0，4(t2+9)2t2+9即-9t+(3-2m)·(-t)=0，解得m=6，所以直线C′D恒过定点M(6,0)．3(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-25，0)，离心率为5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．2y2x【答案】(1)解：设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)，22ab由焦点坐标可知c=25，c则由e==5，a22可得a=2，b=c-a=4，2y2x所以双曲线C的方程为-=1.416(2)证明由(1)可得A1(-2,0)，A2(2,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线MN的斜率不为0，4 2y211x设直线MN的方程为x=my-4，且-<m<，与-=122416222联立可得(4m-1)y-32my+48=0，且Δ=64(4m+3)>0，32m48则y1+y2=2，y1y2=2，4m-14m-1y1直线MA1的方程为y=(x+2)，x1+2y2直线NA2的方程为y=(x-2)，x2-2联立直线MA1与直线NA2的方程可得x+2y2(x1+2)y2(my1-2)my1y2-2y2===，x-2y1(x2-2)y1(my2-6)my1y2-6y1方法一(和积转化)3因为my1y2=(y1+y2)，23(y+y)-2ymy1y2-2y22122所以=my1y2-6y13(y+y)-6y21213y-1y21221==-.-9y+3y32122方法二(配凑)3因为my1y2=(y1+y2)，2my1y2-2y2所以my1y2-6y1my1y2-2y1-2y2+2y1=my1y2-6y1my1y2-2(y1+y2)+2y1=my1y2-6y13y-1y21221x+21==-.由=-可得x=-1，即xP=-1，-9y+3y3x-232122据此可得点P在定直线x=-1上运动．2y2x4已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，M，N分别为左、ab3右顶点，直线l：x=ty+1与椭圆C交于A，B两点，当t=-时，A是椭圆的上顶点，且△AF1F2的3周长为6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM，BN交于点Q，证明：点Q在定直线上．5 k1(3)设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．k233【答案】(1)解：当t=-时，直线l：x=-y+1，33令x=0，得y=3，即椭圆的上顶点为0，3，则b=3，又△AF1F2的周长为6，即2a+2c=6，即a+c=3，222又a-c=b=3，解得a=2，c=1，2y2x所以椭圆C的方程为+=1.43(2)证明由(1)知，M(-2,0)，N(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，点A，B不在x轴上，x=ty+1，由x2y2+=1，4322消去x并整理得(3t+4)y+6ty-9=0，Δ>0，y+y=-6t，1223t+4则yy=-9，1223t+43得ty1y2=(y1+y2)，2y1直线AM的方程为y=(x+2)，x1+2y2直线BN的方程为y=(x-2)，x2-2联立直线AM，BN的方程得x+2y2(x1+2)=x-2y1(x2-2)y2(ty1+3)ty1y2+3y2==y1(ty2-1)ty1y2-y13(y+y)+3y3y+9y21222122===3，3(y+y)-y1y+3y21212122于是得x=4，所以直线AM，BN的交点Q在定直线x=4上．k1y1(x2-2)(3)证明由(2)知，=k2y2(x1+2)y1(ty2-1)ty1y2-y1==y2(ty1+3)ty1y2+3y26 1y+3y21221==，为定值．3y+9y32122y22x5(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条22ab3渐近线为y=x，且点P3，2在C上．3(1)求C的方程；(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且AF=7BF，求l的斜率．a【答案】解：(1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y=±x，b3a22所以=，可得b=3a，3b2322将点P3，2代入双曲线C的方程可得-=1，解得a=1，b=3，22ab22x所以双曲线C的方程为y-=1.3(2)由(1)可知，上焦点F(0,2)，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的方程为y=kx+2，22xy-=1，联立3y=kx+2，22整理得(3k-1)x+12kx+9=0，12k9所以x1+x2=-2，x1x2=2，3k-13k-1又AF=7BF，即(-x1,2-y1)=7(-x2,2-y2)，可得x1=7x2，x1方法一因为=7，x22x1x2(x1+x2)50所以+=-2=，x2x1x1x2712k2-3k2-150即-2=，9723k-125解得k=±，525所以直线l的斜率为±.57 x+x=8x=-12k，12223k-1方法二29x1x2=7x2=2，3k-13k29即-=，222(3k-1)7(3k-1)25解得k=±，525所以直线l的斜率为±.5方法三利用焦点弦定理(此方法只能在小题中使用)：λ-1|ecosα|=.λ+1由题意得AF=-7FB，则λ=-7，e=2，α为直线l的倾斜角，42则有|2cosα|=，解得|cosα|=，3325则k=tanα=±.52y2x36已知点A(0，-2)，椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直a2b2223线AF的斜率为，O为坐标原点．3(1)求E的方程；1(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，且AP=AQ，求△OPQ的面积及直线l的方程．223223【答案】解：(1)设F(c,0)，因为直线AF的斜率为，A(0，-2)，所以=，解得c=3.3c3c=3，a=2，又a2解得b2=a2-c2，b=1，2x2所以椭圆E的方程为+y=1.4(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可设直线l的方程为y=kx-2，2x2+y=1，联立4y=kx-2，22消去y得(1+4k)x-16kx+12=0，223当Δ=16(4k-3)>0，即k>，433即k<-或k>时，228 16k12x1+x2=2，x1x2=2，1+4k1+4k1由AP=AQ，2x2得x2=2x1，即=2，x12x1x2(x1+x2)5所以+=-2=，x2x1x1x222273解得k=>.20422又|PQ|=1+k(x1+x2)-4x1x22216k48=1+k-1+4k21+4k22241+k4k-3=，21+4k2点O到直线l的距离d=，2k+11所以S△OPQ=·d·|PQ|2244k-315==，1+4k24315315此时直线l的方程为y=x-2或y=-x-2.10109