第18章勾股定理18.2第2课时勾股定理的逆定理的应用课件

18.2勾股定理的逆定理第18章勾股定理第2课时勾股定理的逆定理的应用 问题前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?回顾与思考a2+b2=c2(a，b为直角边，c为斜边)Rt△ABC中∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理△ABC中a2+b2=c2(a，b为较短边，c为最长边）△ABC为直角三角形，且∠C是直角 (2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm.8(1)已知△ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角.直角∠A快速填一填：思考前面我们已经学习了运用勾股定理解决实际生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？ 在军事和航海上经常要确定方向和位置，需要用到一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理也是常用知识之一，这节课让我们一起来学习吧！ 12例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEPQR勾股定理的逆定理的应用 问题1认真审题，弄清已知是什么，要解决的问题是什么？12NEPQR16×1.5=2412×1.5=1830“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.问题2由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？实质是要求出两艘船航向所成角.勾股定理的逆定理 解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°.由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°，∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.NEPQR12解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息，明确已知和所求；应用数学知识求解；④得到实际问题的解.归纳 【变式题】如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现正西方向的C处有一艘可疑船只正向我领海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD分析：根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理及面积公式可求出BD的长，再利用勾股定理便可求得CD的长，进而求得所需时间. 解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，东北PABCQD 又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟).∴可疑船只最快需要30分钟进入我领海，即最早在晚上10时58分进入我领海. 例2一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图图 在△BCD中，∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在△ABD中，∴△ABD是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312 1.A、B、C三地两两间的距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2.即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C地在B地的正北方向．练一练ABC5cm12cm13cm 2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m，AD=BC=6m，AC=9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格.解：∵AB=DC=8m，AD=BC=6m，∴AB2+BC2=82+62=64+36=100．又∵AC2=92=81，∴AB2＋BC2≠AC2．∴∠ABC≠90°．∴该农民挖的不合格． 例3如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的综合应用 解：连接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.四边形问题中，对角线是常作的辅助线，它可以把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭档”，经常一起使用.归纳 【变式题1】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.解：连接BD.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=AB2+AD2=42+32，∴BD=5cm.又∵CD=12cm，BC=13cm，∴BC2=CD2+BD2.∴△BDC是直角三角形.∴S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD=BD•CD-AB•AD=×(5×12-3×4)=24(cm2)．CBAD 【变式题2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形，∠B是直角.∴DCBA （1）证明：∵CD=1，BC＝，BD=2，∴CD2+BD2=BC2.∴△BDC是直角三角形.（2）解：设腰长AB=AC=x，则AD=x-1.在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想例4如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC=，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积． 1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的北偏东的方向.东医院公园超市北65° 2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（　　）ABCDD 3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．问A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)．∵A，B两组相距30km，且242+182=302，∴△AOB为直角三角形，即A，B两组行进的方向成直角． 4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.解：∵BC=16，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=8.∵在△ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，∴AB=AC. 5.在寻找某坠毁的飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A，B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B，此时，他们相距30海里．问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里)，OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2.∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向目标A的前进，即∠AOD=40°，∴∠BOD=50°.即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 解：∵△ABC中AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，∴AB=36×=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形．经过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)．在Rt△PBQ中，由勾股定理得6.如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动，同时点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，求经过3秒时，PQ的长. 勾股定理的逆定理的应用应用航海问题方法认真审题，画出符合题意的图形，并构建直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理来解决问题与勾股定理结合解决不规则图形等问题