斜率和积与韦达定理的应用（学生版）

斜率和积与韦达定理的应用考点分析斜率和(积)构造与韦达定理目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和(积)构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点.倘若定点P(0,t)，在椭圆上的动点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么：2y1−ty2−ty1y2−t(y1+y2)+t①kPA⋅kPB=⋅=，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可x1x2x1x2直接代入韦达定理求解.y1−ty2−tx1y2+x2y1−t(x1+x2)②kPA+kPB=+=,这里对交叉项x1y2+x2y1的处理可进一步代入x1x2x1x2直线方程：AB:y=kx+m，化简可得：x1y2+x2y1=x1kx2+m+x2kx1+m=2kx1x2+mx1+x2x1y2+x2y1−t(x1+x2)(m−t)(x1+x2)kPA+kPB==2k+(*)，再代入韦达定理.注意，这一步代入很重x1x2x1x2要，(*)式是一个非常简洁的结构，易于操作.11x1x2x1y2+x2y1−t(y1+y2)③+=+=.kPAkPB(y1−t)(y2−t)(y1−t)(y2−t)可进一步代入直线方程：AB:x=my+n，化简可得：x1y2+x2y1=my1+ny2+my2+ny1=2my1y2+ny1+y2精选例题2y2x21已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，点A0,1在C上．过C的右焦点F的直线a2b22交C于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P满足kPM+kPN=2kPF，求动点P的轨迹方程．1 2y2x2已知点A2,1在双曲线C:-=1a>1上，直线l(不过点A)的斜率为-1，且交双曲线22aa-1C于P、Q两点.(1)求双曲线C的方程；(2)求证：直线AP、AQ的斜率之和为定值.2y2x33已知O为坐标原点，椭圆+=1a>b>0的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离a2b22为5．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点D(-2,2)作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、EC的斜率分别记为k1、k2，求k1⋅k2的值．2 2y2x134已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是，且过点M1,．a2b222(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，且P，Q为椭圆C上异于A1，A2的点，若直线PQ过点12,0，是否存在实数λ，使得kA1P=λkA2Q恒成立．若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由．2y2x5已知椭圆C：+=1a>b>0的右焦点F在直线x+2y-1=0上，A,B分别为C的左、右22ab顶点，且AF=3BF.(1)求C的标准方程；(2)已知P2,0，是否存在过点G-1,0的直线l交C于M，N两点，使得直线PM，PN的斜率之和等于-1?若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.3 2y2x6双曲线C：-=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交22ab双曲线C于B，D两点，且△ABD是直角三角形．(1)求双曲线C的标准方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若k1⋅k2=-2，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．跟踪训练2x21已知椭圆C:+y=1的左右顶点分别为A,B，上顶点为D,M为椭圆C上异于四个顶点的任4意一点，直线AM交BD于点P，直线DM交x轴于点Q.(1)求△MBD面积的最大值；(2)记直线PM,PQ的斜率分别为k1,k2，求证：k1-2k2为定值.4 2y2x2已知点P4,3为双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距22ab离为3.(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y=kx+t过定点，并求该定点的坐标.2y2x223已知椭圆C：+=1a>b>0，a=3b，点1,在椭圆C上．a2b23(1)求椭圆C的方程；(2)若过点Q1,0且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，T3,0，证明TM，TN斜率之积为定值．5 4在平面直角坐标系中，已知两定点A-4,0，B4,0，M是平面内一动点，自M作MN垂直于2AB，垂足N介于A和B之间，且2MN=AN⋅NB．(1)求动点M的轨迹Γ；(2)设过P0,1的直线交曲线Γ于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为112k1，k2，k0，且满足+=．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不k1k2k0在，请说明理由．2x25设椭圆C:+y=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2,0．2(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．6 26设抛物线E:y=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且AB=8．(1)求抛物线E的方程；(2)设P1,m为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为kPM和kPN．求证：kPM+kPN为定值．2y2x317已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A1,，离心率为．过点B0,2的直线l与椭a2b222圆E交于不同的两点M，N．(1)求椭圆E的方程；11(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求+的值．kAMkAN7 考点过关练28已知O为坐标原点，过点P2,0的动直线l与抛物线C:y=4x相交于A,B两点．(1)求OA⋅OB；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q，使得∠AQP=∠BQP恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．29设抛物线E:y=2pxp>0的焦点为F，过F且斜率为1的直线与E交于A,B两点，且AB=8.(1)求抛物线E的方程；(2)已知过点-1,0的直线l与E交于不重合的两点M,N，且P1,2，直线PM和PN的斜率分别为kPM和kPN.求证：kPM+kPN为定值.8 2y2x510已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左､右顶点分别为A1,A2，点P3,2在C上，且ab2A2P=3.(1)求C的方程；(2)直线l:y=kx+1与C交于M,N两点，记直线A1M,A2N的斜率分别为k1,k2，若k1+5k2=0，求k的值.2y2x111已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为2，A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，F1、F2ab分别为椭圆C的左、右焦点，A1F1=2．(1)求椭圆C的方程；(2)设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点(P、Q在x轴的两侧)，记直线A1P，A2P，A2Q，A1Q的斜率分别为k1，k2，k3，k4．(i)求k1k2的值；5(ii)若k1+k4=k2+k3，求△F2PQ面积的取值范围．39 452512已知曲线C上的任意一点到直线x=的距离是它到点(5,0)的距离的倍.55(1)求曲线C的方程;(2)设M(-2,0)，N(2,0)，过点G(4,0)的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为kAM，kBN，求直线l的斜率k的取值范围以及kBN+3kAM的值.2y2x313已知椭圆C:+=1a>b>0的离心率e=，短轴长为2.a2b22(1)求椭圆C的方程；11(2)过点4,2且斜率不为的动直线l与椭圆C交于M、N两点，点P是直线y=x上一定点，设22直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，若k1k2为定值，求点P的坐标.10 14在平面直角坐标系内，已知P,Q两点关于原点对称，且P的坐标为6,1.曲线C上的动点1R满足当直线PR，QR的斜率k1，k2都存在时，k1⋅k2=-.2(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l过点-4,0且与曲线C交于A，B两点，问是否存在定点M，使得直线MA，MB关于x轴对称？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.π15在平面直角坐标系xOy中，△ABC是直角三角形，∠CAB=，C0,-12，点A，B分别在x2轴和y轴上运动，点A关于B的对称点为M.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点C的直线l与点M的轨迹交于P，Q两点，N0,12，求直线NP，NQ的斜率之和.11