第六板块 课时验收评价(三)　综合性考法针对练——函数的方程及实际应用

课时验收评价(三)　综合性考法针对练——函数的方程及实际应用1．(2022·海南诊断)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　)A．0B．1C．2D．3解析：选C　函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数，即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象交点的个数，作图如图所示，由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点．故选C.2．若函数f(x)＝lnx＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　)A．(1，e2)B．C．(1，e2＋1)D．解析：选C　∵f(x)＝lnx＋x2－a，故f′(x)＝＋2x>0在区间(1，e)上恒成立，∴f(x)在上单调递增．又函数f(x)＝lnx＋x2－a在区间上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0，即解得a∈(1，e2＋1)．故选C.3．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－2只有两个零点，则实数a的取值范围是(　)A.B．C.D．∪{6}解析：选D　当x≥1时，由f(x)－2＝lnx－1＝0，得x＝e，此时函数有一个零点．所以当x<1时，y＝f(x)－2＝x2＋4x＋a－2有且仅有一个零点，即a＝－x2－4x＋2在上有唯一解，即y＝－x2－4x＋2的图象与直线y＝a有且仅有一个交点．由二次函数图象可得y＝－x2－4x＋2的图象如图所示，由图象可知，当a≤－3或a＝6时，y＝－x2－4x＋2的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，故实数a的取值范围为∪.故选D.4．(2022·肇庆二模)声压级Lp＝LW－10lg(4πr2)，是一个表示声强大小的量，单位为dB(分贝)，其中LW为特定的点声源的声功率级，是常量，r为测试点与点声源的距离(单位：米)，当测试点从距离点声源2米处移到1米处时，声压级约增加了(lg2≈0.30，lg3≈0.48)(　)A．4dBB．6dBC．7dBD．9.6dB解析：选B　当r＝2时，声压级Lp1＝LW－10×lg(16π)，当r＝1时，声压级Lp2＝LW－10×lg(4π)，则Lp2－Lp1＝－10×lg(4π)＋10×lg(16π)＝10×lg4＝20×lg2≈6.故选B.5．(2022·百师联盟联考)已知奇函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上单调递减，若f＝f(－2)＝1，则下列命题正确的是(　) A．f(x)有两个零点B．f(－1)>－1C．f<1D．f<f(2)解析：选B　根据题意可得函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为减函数，f(0)＝0，由f＝f(－2)＝1，得f＝f(2)＝－1.对于A，由f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f＝1，f(2)＝－1，所以存在x0∈，使f＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，同理f(x)在上有一个零点，又因为f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故A错误；对于B，因为函数f(x)在上为减函数，所以f(－1)>f＝－1，故B正确；对于C，因为函数f(x)在上为减函数，所以f>f(－2)＝1，故C错误；对于D，因为f＝1，f(2)＝－1，所以f>f(2)，故D错误．故选B.6．(2022·百师联盟联考)已知函数f(x)＝|x－1|，g(x)＝－2cos，两个函数图象的交点为A1，A2，…，Am，则xi＝(　)A．8B．10C．12D．14解析：选B　由题得函数f(x＋1)＝f(－x＋1)，g(x＋1)＝g(－x＋1)，所以两个函数均关于直线x＝1对称，所以两个函数的图象在直线x＝1两侧的交点对称，且每对交点的横坐标之和为2，分别画出两个函数的图象，易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，共有10个交点，xi＝5×2＝10.故选B.7．(2022·深圳联考)已知x1是lnx＋x＝5的根，x2是ln(4－x)－x＝1的根，则(　)A．x1＋x2＝4B．x1＋x2∈C．x1＋x2∈D．x1＋x2＝5解析：选A　令t＝4－x2，则lnt－＝1，即lnt＋t＝5，故t，x1都是lnx＋x＝5的根，又y＝lnx＋x显然为增函数，故t＝x1，即4－x2＝x1，故x1＋x2＝4.故选A.8．(2022·汕头一模)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f，且当x∈ 时，f(x)＝若关于x的方程mln|x|＝f(x)至少有8个实数解，则实数m的取值范围是(　)A.∪B.C.∪D.解析：选B　因为f＝f，且f(x)为偶函数，所以f(x－2)＝f(x＋2)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．作出y＝f(x)，y＝mlnx在同一坐标系的图象，如图．因为方程mln|x|＝f(x)至少有8个实数解，所以y＝f(x)，y＝mln|x|图象至少有8个交点，根据y＝f(x)，y＝mln|x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点．由图可知，当m>0时，只需mln5≤1，即0<m≤；当m<0时，只需mln6≥－1，即－≤m<0；当m＝0时，由图可知显然成立．综上可知，－≤m≤.故选B.9．(2022·湖北七市(州)调研)(多选)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M，则下列说法正确的是(　)A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D．记地震里氏震级为n(n＝1,2，…，9,10)，地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列解析：选ACD　对于A，当E＝1015.3时，由题意得lg1015.3＝4.8＋1.5M，解得M＝7，即地震里氏震级约为七级，故A正确；对于B，八级地震即M＝8时，lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，解得E1＝1016.8，所以＝＝101.5>10≠6.3，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的101.5倍，故B错误；对于C，六级地震即M＝6时，lgE2＝4.8＋1.5× 6＝13.8，解得E2＝1013.8，所以＝＝103＝1000，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；对于D，由题意得lgan＝4.8＋1.5n(n＝1,2，…，9,10)，所以an＝104.8＋1.5n，所以an＋1＝104.8＋1.5(n＋1)＝106.3＋1.5n，所以＝＝101.5，即数列{an}是等比数列，故D正确；故选A、C、D.10．(2022·福州质检)(多选)设函数f(x)定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝－x2＋1，则下列结论正确的是(　)A．f＝－B．f(x＋7)为奇函数C．f(x)在上为减函数D．方程f(x)＋lgx＝0仅有6个实数解解析：选ABD　f(x＋1)为偶函数，故f(x＋1)＝f(－x＋1)，令x＝，得f＝f＝f，f(x－1)为奇函数，故f(x－1)＝－f(－x－1)，令x＝，得f＝－f＝－f，其中f＝－＋1＝，所以f＝f＝－f＝－，A正确；因为f(x－1)为奇函数，所以f(x)关于点对称，又f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于直线x＝1对称，所以f(x)周期为4×2＝8，故f(x＋7)＝f(x－1)，所以f(－x＋7)＝f(－x－1)＝－f(x－1)＝－f＝－f，从而f(x＋7)为奇函数，B正确；f(x)＝－x2＋1在x∈(－1,0)上单调递增，又f(x)关于点对称，所以f(x)在上单调递增，且f(x)周期为8，故f(x)在(6,8)上单调递增，C错误；根据题目条件画出f(x)与y＝－lgx的函数图象，如图所示，其中y＝－lgx单调递减且－lg12<－1，所以两函数的图象有6个交点，故方程f(x)＋lgx＝0仅有6个实数解，D正确．故选A、B、D.11．(多选)设函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有四个实数解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则的值可能是(　)A．0B．1C．99D．100解析：选BC　如图所示，因为关于x的方程f(x)＝a(a∈R)有四个实数解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，所以0<a≤1.y＝x2＋10x＋1的对称轴为直线x ＝－5，所以x1＋x2＝－10.因为|lgx3|＝|lgx4|，所以lgx3＋lgx4＝0，即x3x4＝1，x4＝.因为|lgx3|≤1，所以≤x3<1.所以(x1＋x2)(x3－x4)＝－10，因为y＝－10，≤x<1为减函数，所以(x1＋x2)＝－10∈(0,99]．故选B、C.12．(2022·福建莆田模拟)(多选)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是(　)A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1,2)B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0,1)C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3＋x4＝4D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3x4的取值范围是解析：选BCD　令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f(x)与y＝a的大致图象，如图所示．由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1,2)∪{0}，所以A错误．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0,1)，所以B正确．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，此时(x3,0)，(x4,0)关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，所以C正确．由C选项可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－x＋4x4，由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围是(0,1)，故0<－4x＋16x4－13<1，所以<－x＋4x4<，所以D正确．13．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k恰有三个不同的零点，则实数k的取值范围是________．解析：因为f(x)＝函数图象如图所示，依题意函数y＝f(x)－k恰有三个不同的零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有三个交点，结合函数图象可得0<k<1，即k∈(0,1)．答案：(0,1)14．自工业革命以来，由于人类活动排放了大量的二氧化碳等温室气体，大气中温室气体的浓度急剧升高，温室效应日益增强．研究表明，使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使大气中CO2浓度增加．据测，某地区2010年、2011年、2012年大气中的CO2浓度分别比2009年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．现用函数模拟该地每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x(以2009年的浓度为基准，规定2010年对应的x为1，以此类推)的关系，有两个选择：①y＝px2＋qx＋r (其中p，q，r为常数)，②y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数，b>0且b≠1)．若已知2014年该地大气中的CO2浓度比2009年增加了16个可比单位，则选择以上两个函数中的________作为模拟函数较好(求出参数，在横线上填写完整的解析式)．解析：若以y＝f(x)＝px2＋qx＋r为模拟函数，则依题意得所以p＝，q＝，r＝0，所以f(x)＝x2＋x.若以y＝g(x)＝a·bx＋c为模拟函数，则所以a＝，b＝，c＝－3，所以g(x)＝·x－3.利用所求f(x)，g(x)的解析式分别估算2014年的CO2浓度，其数值分别为f(5)＝15，g(5)＝，因为|f(5)－16|<|g(5)－16|，故选y＝x2＋x作为模拟函数较好．答案：y＝x2＋x15．(2022·成都二诊)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.则函数g(x)＝f(x)－的所有零点之和为________．解析：依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，f(1－x)＝f(2－(1－x))＝f(1＋x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，f(x＋4)＝f(1＋(x＋3))＝f(1－(x＋3))＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(2－(－x))＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(1－(1＋x))＝f(－x)＝－f(x)＝－f(2－x)，所以f(x)关于点(2,0)对称．y＝关于点(2,0)对称．当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，画出y＝f(x)，y＝的图象如图所示，由图可知，y＝f(x)，y＝有7个公共点，所以g(x)的所有零点和为7×2＝14.答案：14 16．(2022·太原期末)函数f(x)＝asin－x3＋2x2－3x＋(a>0)恰好有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的值为________．解析：f(2)＝asin－＋8－6＋＝0，不妨设x1＝2，令h(x)＝－x3＋2x2－3x＋，则h＋h(x)＝－3＋22－3(4－x)＋－x3＋2x2－3x＋＝0，所以h(x)关于点中心对称，又g＝asin＝－asin，g(x)＋g＝0，即g(x)关于点中心对称，故f(x)关于点中心对称，所以x2＋x3＝2×2＝4，x1＋x2＋x3＝6.答案：6