第六板块 课时验收评价(二)　综合性考法针对练——函数的图象与性质

课时验收评价(二)　综合性考法针对练——函数的图象与性质1．已知偶函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则关于m的不等式f<f(2)的解集为(　)A．(－2,0)∪(0,2)B．(0,2)C.∪D．解析：选C　由于偶函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f<f(2)可得f<f(2)，所以>2，所以0<|m|<，解得－<m<0或0<m<.2．(2022·郑州一模)设f(x)是R上的奇函数且满足f(x－1)＝f(x＋1)，当0≤x≤1时，f(x)＝5x(1－x)，则f(－2022.6)＝(　)A.B．C．－D．－解析：选D　对任意的x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(－2022.6)＝f(－0.6)，由函数f(x)是R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝5x(1－x)，因此，f(－2022.6)＝f(－0.6)＝－f(0.6)＝－5×0.6×(1－0.6)＝－.3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，f(1)＝0，则不等式≥0的解集为(　)A．(－∞，－1]∪(0,1]B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．[－1,0)∪[1，＋∞)D．[－1,0)∪(0,1]解析：选B　依题意f(x)在(0，＋∞)上为减函数，f(1)＝0，故当0<x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，图象关于原点中心对称，故当－1<x<0时，f(x)<0，当x<－1时，f(x)>0，不等式≥0，即≥0，故≥0，即≤0，所以当x>0时，需f(x)≤0，即x≥1；当x<0时，需f(x)≥0，即x≤－1.综上，不等式≥0的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．4．函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，y＝f(x－1)的图象关于(1,0)对称，且f(8)＝1，则f(2020)＝(　)A．1B．－1C．0D．2解析：选B　因为函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，所以函数f(x)的周期为T＝12，将y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位长度可得y＝f(x)的图象，又y＝f(x －1)的图象关于(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，故f(x)为R上的奇函数，所以f(2020)＝f(168×12＋4)＝f(4)＝f(4－12)＝f(－8)＝－f(8)＝－1.5．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)单调递减，则下列关于f(x)的判断正确的是(　)A．f(x)的一个周期是4B．f(x)在[1,2]上单调递增C．点(3,0)是f(x)图象的一个对称中心D．f(6)＝0解析：选ABD　由题意，函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，又由y＝f(x＋1)是偶函数，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，即f(x)＝f(2－x)，联立可得f(－x)＝－f(2－x)，即f(－x)＝f(4－x)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的一个周期是4，所以A正确；又由当x∈[－1,0]时，f(x)单调递减，根据函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得当x∈[0,1]时，f(x)单调递减，再由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f(x)在[1,2]上单调递增，所以B正确；由函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(0)＝0，即原点(0,0)为函数f(x)图象的一个对称中心，又由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且周期T＝4，可得f(2)＝0，f(4)＝0，f(6)＝0，且点(2k,0)，k∈Z为函数f(x)图象的对称中心，所以C不正确，D正确．6．(多选)定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，满足f(2－x)＝f(x)，且在区间[－3，－2]上是减函数，则下列不等式正确的是(　)A．f>f(1)B．f<f(1)C．f(3)>f(π)D．f(3)<f(π)解析：选BC　∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(－x)＝f(x)，∵f(2－x)＝f(x)，∴f(x)关于直线x＝1对称，且周期为2，∵f(x)在区间[－3，－2]上是减函数，则在[2,3]上是增函数，可得f＝f＝f，f(1)＝f(3)，∵f<f(3)，∴f<f(1)，故A错误，B正确；∵f(π)＝f(－π)＝f(6－π)<f(3)，故C正确，D错误．7．已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，f(x)＋f＝－1，若函数y＝f(x)与y＝图象的交点为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，则的值为(　)A．0B．nC．2nD．3n解析：选C　由对任意的x∈R，f(x)＋f＝－1，可知函数的图象关于点 对称，又y＝＝＝－－，所以函数y＝的中心对称点为，所以两个函数图象的交点成对出现，且每对交点都关于点对称，则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－×2＝－1，所以＝5×＋(－1)×＝2n.故选C.8．(2022·淮北一模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则(　)A．f(－2)＝0B．f(－1)＝0C．f(1)＝0D．f(3)＝0解析：选A　因为f(x＋2)为奇函数，所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，由f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)＝0，因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，所以当x＝时，f(－2)＝f(4)＝0，故A正确；令f(x)＝sinx，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B、C、D不满足．故选A.9．(2022·湖北七市(州)调研)(多选)已知函数f(x)＝|x|＋|x|－cosx，则下列说法正确的是(　)A．f(x)是偶函数B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减C．f(x)是周期函数D．f(x)≥－1恒成立解析：选AD　f(x)的定义域为R，f(－x)＝|－x|＋|－x|－cos＝|x|＋|x|－cosx＝f(x)，则f(x)为偶函数，故A正确；当x>0时，f(x)＝x＋－cosx，f′(x)＝1＋＋sinx≥0恒成立，则f(x)为(0，＋∞)上的增函数，故B、C错误；又f(x)为偶函数，则f(x)为(－∞，0)上的减函数，又f(0)＝0＋0－cos0＝－1，则f(x)的最小值为－1，故D正确．故选A、D.10．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(－x)＝0，且在区间[2,3]上单调递增．下列结论正确的是(　)A．f(－1)是函数f(x)的最小值 B．函数f(x)的图象的一个对称中心是点C．f(x0＋16)＝f(x0－12)D．函数f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝1解析：选BC　由函数的定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝0，可得函数f(x)为奇函数．又f(x＋2)＋f(2－x)＝0，知函数f(x)的图象关于点(2,0)对称．无法判断函数的对称轴，故D错误；∵f(x)在区间[2,3]上单调递增，∴f(x)在区间[1,2]上单调递增．又由f(x)是奇函数，∴f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，故f(－1)不是函数f(x)的最小值，故A错误；由f(x＋2)＋f(2－x)＝0，得f(x＋2＋2)＋f(2－(x＋2))＝f(x＋4)＋f(－x)＝0，则f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)，∴f(x)周期为4.∴f(x＋12)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(x＋6)＝－f(6－x)，f(x＋6)＋f(6－x)＝0，∴f(x)的图象的一个对称中心是点(6,0)，故B正确；由f(x＋4)＝f(x)，得f(x＋16)＝f(x)，f(x－12)＝f(x)，∴f(x0＋16)＝f(x0－12)，故C正确．故选B、C.11．(多选)已知函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝－1对称，且对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝4.当x∈(0,2]时，f(x)＝x＋2，则下列说法正确的是(　)A．f(x)的最小正周期是8　B．f(x)的最大值为5C．f(2022)＝0　D．f(x＋2)为偶函数解析：选ACD　因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝－1对称，故f(x)的图象关于直线x＝－2对称，因为对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝4，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)成中心对称，所以f(－2＋x＋2)＝f[－2－(x＋2)]，即f(x)＝f(－4－x)＝4－f(－x)，又f(－4－x)＋f(x＋4)＝4，即f(－4－x)＝4－f(x＋4)，所以f(x＋4)＝f(－x)，所以f[(x＋4)＋4]＝f[－(x＋4)]＝f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)的周期为8，故A正确；又f(x＋2)＝f(－x＋2)，故函数f(x＋2)为偶函数，故D正确；因为当x∈(0,2]时，f(x)＝x＋2，且f(x)＋f(－x)＝4，则当x∈[－2,0)时，－x∈(0,2]，所以f(－x)＝－x＋2＝4－f(x)，所以f(x)＝x＋2，故当x∈[－2,2]时，f(x)＝x＋2，又函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以在同一个周期[－6,2]上，f(x)的最大值为f(2)＝4，故f(x)在R上的最大值为4，故B错误；因为f(2022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(2＋4)＝f(－2)＝4－f(2)＝0，所以C正确．故选A、C、D.12．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝2－f(－x)，且函数f(x＋1)是偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝1－x2，则f(2021)＝________.解析：∵定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝2－f(－x)，且函数f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＋f(－x－1)＝2且f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(－x＋1)＋f(－x－1)＝2，∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2.即f(x＋2)＋f(x)＝2　①；f(x＋4)＋f(x＋2)＝2　②.②－①得f(x＋4)＝f(x)．故函数f(x)的周期为4，∴f(2021)＝f(2020＋1)＝f(1)＝2－f(－1)＝2－0＝2.答案：213．(2022·苏州期中考)设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2 ，满足：>0，若f(2)＝4，则不等式f(x)－>0的解集为______________．解析：令F(x)＝xf(x)，由f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，可得F(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，由对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，满足：>0，可得F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(2)＝4，得F(2)＝8，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，且F(－2)＝8，不等式f(x)－>0，即为>0，即>0，可得或即或解得x>2或－2<x<0.答案：(－2,0)∪(2，＋∞)14．(2022·八省八校联考)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为R(x)＝若函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有f＋f(x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f－f＝______.解析：由f(2＋x)＋f(x)＝0，得f＝－f(x)，则f＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，因为函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，所以f(－ln2)＝f(ln2)，因为ln2∈(0,1)为无理数，所以f＝0，又f＝f＝R＝，所以f－f＝0－＝－.答案：－