专项训练五 解析几何（考点3 解析几何中的定点、定值问题）(原卷版)

专项五解析几何考点3解析几何中的定点、定值问题大题拆解技巧【母题】(2020年全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.【拆解1】已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.求E的方程.【拆解2】已知条件不变,证明:直线CD过定点.小做变式训练已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为C的右顶点和上顶点,若△ABF1的面积是△ABF2的面积的3倍,且F1A·F1B=3.(1)求C的标准方程;(2)若过点(23,0)且斜率不为0的直线与C交于M,N两点,点P在直线x=6上,且NP与x轴平行,求证:直线MP恒过定点.【拆解1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为C的右顶点和上顶点,若△ABF1的面积是△ABF2的面积的3倍,且F1A·F1B=3,求C的标准方程.【拆解2】已知椭圆C的标准方程为x24+y23=1,若过点(23,0)且斜率不为0的直线与C交于M,N两点,点P在直线x=6上,且NP与x轴平行,求证:直线MP恒过定点. 技巧归纳1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.2.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②引起变量法:其解题流程为变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量　↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数　↓定值→把得到的函数化简,消去变量得到定值突破实战训练<基础过关>1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其短轴长为2,离心率为22.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的右焦点为F,过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M,N两点,设直线FM和FN的斜率分别为k1,k2,试判断k1+k2是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.2.设动点M在直线y=0和y=-2上的射影分别为点N和R,已知MN·MR=OM　2 ,其中O为坐标原点.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)过直线x-y-2=0上的一点P作轨迹E的两条切线PA和PB(A,B为切点),求证:直线AB经过定点.3.已知抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为k的直线l过点F,且与G交于A,B两点,当k=1时,|AB|=16.(1)求p的值;(2)直线l1:y=k1(x-2)与G相交于C,D两点,M,N分别为AB,CD的中点,若直线MN恒过定点(2,2),求k+k1的值.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率e=32,(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,已知点P为直线l:x=4上的动点,直线PA,PB与椭圆E分别交于M,N两点,证明直线MN经过定点,并求出该定点的坐标.<能力拔高>5.在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)经过点A(-62,2),且F(0,-1)为其一个焦点.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2与椭圆E分别交于点M,N,证明:直线MN恒过一个定点. 6.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,椭圆C2:x23a2+y23b2=1(a>b>0)经过点32,32.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)设点M是椭圆C1上的任意一点,射线MO与椭圆C2交于点N,过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点,直线l与椭圆C2交于A,B两个相异点,证明:△NAB面积为定值.<拓展延伸>7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B两点,△AOB(点O为坐标原点)的面积为2.(1)求抛物线C的方程;(2)设不经过原点O的直线l与抛物线交于P,Q两点,设直线OP,OQ的倾斜角分别为α,β,证明:当α+β=π4时,直线l恒过定点.8.已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,过F的直线l与C交于P,Q两点.(1)设△APF和△BQF的面积分别为S1,S2,若S1=3S2,求直线l的方程;(2)当直线l绕点F旋转时,求证:四边形APBQ的对边AP与BQ所在直线的斜率的比值恒为常数.