专项训练四 立体几何（考点3 空间几何中的探索性问题）(原卷版)

、专项四立体几何考点3空间几何中的探索性问题大题拆解技巧【母题】(2021年全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(1)证明:BF⊥DE.(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?【拆解1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1,证明:BA⊥BC.【拆解2】本例条件不变,证明:BF⊥DE.【拆解3】本例条件不变,问当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?小做变式训练《九章算术》是我国古代的数学著作,是“算经十书”中最重要的一部,它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1=AB=AC=1,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在线段A1B1上. 、(1)若P为A1B1的中点,求证:PN∥平面AA1C1C.(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.【拆解1】《九章算术》是我国古代的数学著作,是“算经十书”中最重要的一部,它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1=AB=AC=1,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在线段A1B1上.若P为A1B1的中点,求证:PN∥平面AA1C1C.【拆解2】本例条件不变,求平面PMN的法向量.【拆解3】本例条件不变,问是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.通法技巧归纳解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理.(2)探索性问题的关键是设点:①空间中的点可设为(x,y,z);②坐标平面内的点其中一个坐标为0,如平面xOy上的点为(x,y,0);③坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为(0,0,z);④直线(线段)AB上的点P,可设为AP=λAB,表示出点P的坐标,或直接利用向量运算.突破实战训练<基础过关>1.如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,△ 、PAC是边长为4的等边三角形,BC=23,二面角P-AC-B的大小为60°,点M为PA的中点.(1)请你判断平面PAB垂直于平面ABC吗?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由.(2)求CM与平面PBC所成的角的正弦值.2.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B,BC的中点.(1)求证:A1E,AB,DF三线共点.(2)线段CD上是否存在一点G,使得直线FG与平面A1EC1所成的角的正弦值为33?若存在,请指出点G的位置,并求二面角E-A1C1-G的平面角的余弦值大小;若不存在,请说明理由.3.如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)求证:直线l⊥平面PAC.(2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余?若存在,求出|AQ|的长;若不存在,请说明理由. 、4.在图1所示的平面图形ABCD中,△ABD是边长为4的等边三角形,BD是∠ADC的平分线,且BD⊥BC,M为AD的中点,以BM为折痕将△ABM折起得到四棱锥A-BCDM(如图②所示).(1)设平面ABC和平面ADM的交线为l,在四棱锥A-BCDM的棱AC上求一点N,使直线BN∥l;(2)若二面角A-BM-D的大小为60°,求平面ABD和平面ACD所成的锐二面角的余弦值.<能力拔高>5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形,且BC=BD,DD1⊥平面ABCD,AA1=1,BE⊥CD于点E.(1)试问在线段A1B1上是否存在一点F,使得AF∥平面BEC1?若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.(2)在(1)的条件下,求平面ADF和平面BEC1所成的锐二面角的余弦值.6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,AA1=3,M,N分别为AB,BC的中点,P为线段CC1上一点.平面ABC1与平面ANP的交线为l.(1)是否存在点P使得C1M∥ 、平面ANP?若存在,请指出点P的位置并证明;若不存在,请说明理由.(2)若CP=1,求二面角B-l-N的余弦值.<拓展延伸>7.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:EF⊥平面PBE.(2)设N为线段PF上的动点,求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值.8.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=1,E、F是边DC的三等分点.现将△DAE,△CBF分别沿AE,BF折起,使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直.(1)若G为线段AB上一点,且AG=1,求证:DG∥平面CBF.(2)求二面角A-CF-B的正弦值.