专项训练三 概率与统计（考点4 统计与概率的综合应用）(解析版)

专项三概率与统计考点4统计与概率的综合应用大题拆解技巧【母题】(2020年全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?【拆解1】已知条件不变,分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.【解析】由表可知,甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为40100=0.4,乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为28100=0.28.【拆解2】已知条件不变,分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润.【解析】甲分厂加工100件产品的总利润为40×(90-25)+20×(50-25)+20×(20-25)-20×(50+25)=1500元,1500100=15元,所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件;乙分厂加工100件产品的总利润为28×(90-20)+17×(50-20)+34×(20-20)-21×(50+20)=1000元,所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.【拆解3】甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件,乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?【解析】甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件,乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.故厂家应选择甲分厂承接加工任务.小做变式训练 2021年是中国共产党成立100周年,中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史.某社区为了解居民对党史的认知情况,举行了一次党史知识竞赛,并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析,得到成绩频率分布直方图(如图所示),其中成绩在[50,60)的试卷份数是24.(1)求m,n的值;(2)用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5份试卷,并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评,求成绩在[90,100]恰有1份试卷的概率.【拆解1】已知条件不变,求m,n的值.【解析】∵其中成绩在[50,60)的试卷份数为24,在[50,60)间的频率为0.12,∴n=24÷0.12=200.∴m=(1-0.24-0.18-0.16-0.12)÷10=0.03.【拆解2】已知条件不变,且m=0.03,n=200,用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5份试卷,则成绩在[80,90)和[90,100]这两组中应分别抽取多少份试卷?【解析】∵n=200,∴第四组[80,90)的频数为0.024×10×200=48;第五组[90,100]的频数为0.016×10×200=32.用分层抽样的方法抽取5份试卷得,第四组[80,90)应抽取4832+48×5=3(份);第五组[90,100]应抽取3232+48×5=2(份).所以成绩在[80,90)和[90,100]这两组中应分别抽取3份和2份试卷.【拆解3】用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中分别抽取3份试卷和2份试卷,并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评,求成绩在[90,100]恰有1份试卷的概率.【解析】因为用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中分别抽取3份试卷和2份试卷,记抽到第四组[80,90)的3份试卷分别为A1,A2,A3,抽到第五组[90,100]的2份试卷分别为B1,B2,所以从5份试卷中任取2份的基本事件有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种.其中成绩在[90,100]恰有1份试卷的事件有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),共6种.所以所求概率P=610=35.通法技巧归纳1.计算古典概型事件的概率可分三步:(1)计算基本事件总个数n;(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m;(3)代入公式求出概率. 2.求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的有关知识解决,一般步骤:(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;(2)判断事件是否为古典概型;(3)选用合适的方法确定基本事件个数;(4)代入古典概型的概率公式求解.突破实战训练<基础过关>1.党的十八大以来,习总书记在不同场合多次强调要“厉行节约,反对浪费”,要加大宣传引导力度,大力弘扬中华民族勤俭节约的优秀传统.某自助餐厅为响应号召,通过就餐人员用餐后的剩余食物情况进行调查后并采取适当的奖惩政策.(1)现有5人用餐,互相之间都不认识.若这5人中有3男2女,从这5人中任取2人,求恰有1男1女的概率.(2)若每人每次用餐需68元,用餐后若无剩余食物,则返回5元奖励;若剩余在0克到50克之间,则不奖不罚;若剩余在50克到100克之间,则罚10元;若剩余在100克以上,则罚20元.近期调查200位来就餐人员,统计结果如下表:食物剩余量(克)无剩余(0,50](50,100]100克以上人数1801262将频率当作概率,求某人来就餐消费的总费用的平均值.【解析】(1)令3男分别为A,B,C,2女分别为a,b,则任取2人有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10种取法,满足1男1女的取法有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共6种取法,故恰有1男1女的概率P=610=35.(2)平均值x=180×63+12×68+6×78+2×88200=64,故消费的平均值为64元.2.2021年3月5日,人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息,人社部表示正在研究延迟退休改革方案,两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄.现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查,随机调查了50人,他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如下表:月收入(单位:百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数123534(1)根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异;月收入高于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计 赞成不赞成合计(2)若采用分层抽样从月收入在[25,35)和[65,75]的被调查人中选取6人进行跟踪调查,并随机给其中3人发放奖励,求获得奖励的3人中至少有1人月收入在[65,75)的概率.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】(1)2×2列联表如下:月收入高于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成71118不赞成32932合计104050∵K2=50×(7×29-3×11)210×40×32×18≈6.27<6.635,∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异.(2)按照分层抽样方法可知,月收入在[25,35)的抽4人,分别记为a,b,c,d,月收入在[65,75]的抽2人,分别记为A,B,则从6人中任取3人的所有情况为{A,B,a},{A,B,b},{A,B,c},{A,B,d},{A,a,b},{A,a,c},{A,a,d},{A,b,c},{A,b,d},{A,c,d},{B,a,b},{B,a,c},{B,a,d},{B,b,c},{B,b,d},{B,c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共20种,其中至少有1人月收入在[65,75]的情况有16种,所以3人中至少有1人月收入在[65,75]的概率为1620=45.3.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会,北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动,并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果,从A,B两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩,并作出如图所示的茎叶图.(1)计算A,B两所大学学生的考核成绩的平均值;(2)由茎叶图判断A,B两所大学学生考核成绩的稳定性;(不用计算)(3)将学生的考核成绩分为两个等级,如表所示,现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人,求2人来自同一所大学的概率.考核成绩[60,85][86,100]考核等级合格优秀 【解析】(1)xA=64+75+78+78+79+72+85+86+91+9210=80010=80,xB=67+62+70+79+78+87+84+85+95+9310=80010=80.(2)由茎叶图可知,A所大学学生的成绩比B所大学学生的成绩稳定.(3)记事件M为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人,2人来自同一所大学”.样本中,A校考核等级为优秀的学生共有3人,分别记为a,b,c,B校考核等级为优秀的学生共有3人,分别记为A,B,C,从这6人中任取2人,所有的基本事件个数为ab,ac,aA,aB,aC,bc,bA,bB,bC,cA,cB,cC,AB,AC,BC,共15种,而事件M包含的基本事件是ab,ac,bc,AB,AC,BC,共6种,因此P(M)=615=25.4.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,若备件不足再购买,则每个500元,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)从这100台机器中随机抽取1台,求该台机器两年内更换的易损零件数为8的概率;(2)求X的分布列;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=18与n=19之中选其一,应选用哪个?【解析】(1)从100台机器中随机抽取1台,更换的易损零件数为8的有30台,则其概率P=30100=310.(2)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,记事件Ai为第一台机器3年内换掉i+7(i=1,2,3)个零件,记事件Bi为第二台机器3年内换掉i+7(i=1,2,3)个零件,由题意知P(A1)=P(A3)=P(B1)=P(B3)=0.3,P(A2)=P(B2)=0.4,2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的所有可能取值为16,17,18,19,20,则P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.3×0.3=0.09, P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.3×0.4+0.4×0.3=0.24,P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)·P(B1)=0.3×0.3+0.4×0.4+0.3×0.3=0.34,P(X=19)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=0.4×0.3+0.3×0.4=0.24,P(X=20)=P(A3)P(B3)=0.3×0.3=0.09,故X的分布列为X1617181920P0.090.240.340.240.09(3)购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用.当n=18时,费用的期望为18×200+500×0.24+1000×0.09=3810(元),当n=19时,费用的期望为19×200+500×0.09=3845(元),因为3845>3810,所以应选用n=18.<能力拔高>5.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下:甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/千元5678月薪/千元46810获得相应职位的概率0.40.30.20.1获得相应职位的概率0.40.30.20.1(1)若两人分别去应聘甲、乙两家公司的C职位(一人只应聘一家公司),记这两人被甲、乙两家公司录用的人数和为η,求η的分布列.(2)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司?说明理由.(3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用,求小王月薪高于小李的概率.【解析】(1)由题意知,这两人被甲、乙两家公司录用的人数和为η,所以随机变量η的可能取值为0,1,2,其中P(η=0)=C20×0.82=0.64,P(η=1)=C21×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=C22×0.22=0.04,所以η的分布列为η012P0.640.320.04(2)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X与Y,则E(X)=5×0.4+6×0.3+7×0.2+8×0.1=6,E(Y)=4×0.4+6×0.3+8×0.2+10×0.1=6,D(X)=(5-6)2×0.4+(6-6)2×0.3+(7-6)2×0.2+(8-6)2×0.1=1,D(Y)=(4-6)2×0.4+(6-6)2×0.3+(8-6)2×0.2+(10-6)2×0.1=4, 则E(X)=E(Y),D(X)<D(Y).若希望不同职位的月薪差距小一些,则选择甲公司;若希望不同职位的月薪差距大一些,则选择乙公司.(3)设小王和小李的月薪分别为ξ,ω(千元),则P(ξ>ω)=P(ξ=5,ω=4)+P(ξ=6,ω=4)+P(ξ=7,ω≤6)+P(ξ=8,ω≤6)=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×0.7+0.1×0.7=0.49,所以小王月薪高于小李的概率为0.49.6.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32,48,32.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有3人睡眠不足,4人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的数学期望和方差;②设事件A为“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解析】(1)应从甲部门的员工中抽取7×3232+48+32=2人,乙部门的员工中抽取7×4832+48+32=3人,丙部门的员工中抽取7×3232+48+32=2人.(2)①由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43C73=435,P(X=1)=C31C42C73=1835,P(X=2)=C32C41C73=1235,P(X=3)=C33C73=135,∴随机变量X的分布列为X0123P43518351235135∴E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97,D(X)=0-972×435+1-972×1835+2-972×1235+3-972×135=2449.②抽出的7人中有3人睡眠不足,4人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.基本事件总数n=C73=35,事件A为“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,则事件A包含的基本事件个数m=C73-C33-C43=30,∴事件A发生的概率P(A)=mn=3035=67.<拓展延伸>7. 为了了解某小区业主与物业满意度情况之间的关系,某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法,从全小区中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的居民分别对物业服务进行评分,满分为100分.调查结果显示:最低分为40分,最高分为90分.随后,兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图,图表如下:男居民评分结果的频数分布表分数区间频数[40,50)3[50,60)3[60,70)16[70,80)38[80,90]20女居民评分结果的频率分布直方图为了便于研究,兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”,二者的对应关系如下:分数[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意(1)求m的值;(2)为进一步改善物业服务状况,从评分在[40,60)的男居民中随机抽取3人进行座谈,记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X,求X的分布列与数学期望;(3)以调查结果的频率估计概率,从该小区所有居民中随机抽取一名居民,求其对物业服务“比较满意”的概率.【解析】(1)因为(0.005+m+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以m=0.015.(2)依题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C30C33C63=120,P(X=1)=C31C32C63=920,P(X=2)=C32C31C63=920,P(X=3)=C33C30C63=120.所以随机变量X的分布列为X0123P120920920120故X的数学期望E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32. (3)设事件M={随机抽取一名居民,其对物业服务“比较满意”},因为样本人数为200,其中男居民共有80人,所以样本中女居民有120人.由频率分布直方图可知,女居民对物业服务“比较满意”的共有120×0.020×10=24人.由频数分布表可知,男居民对物业服务“比较满意”的共有16人,所以随机抽取一名居民,其对物业服务“比较满意”的概率P(M)=24+16200=15.8.人耳的听力情况可以用电子测听器检测,正常人听力的等级为0~25dB(分贝),并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀,测试值在区间(5,10]为优秀.某校500名同学参加了听力测试,从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本,制成如下频率分布直方图:(1)从总体的500名学生中随机抽取1人,估计其测试值在区间(0,10]内的概率.(2)已知样本中听力非常优秀的学生有4人,估计总体中听力为优秀的学生人数.(3)现选出一名同学参加另一项测试,测试规则如下:四个音叉的发音情况不同,由强到弱的编号分别为1,2,3,4.测试前将音叉顺序随机打乱,被测试的同学依次听完后,将四个音叉按发音由强到弱重新排序,所对应的音叉编号分别为a1,a2,a3,a4(其中集合{a1,a2,a3,a4}={1,2,3,4}).记Y=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|,可用Y描述被测试者的听力偏离程度,求Y≤2的概率.【解析】(1)根据频率分布直方图知,样本中测试值在区间(0,10]内的频率为1-(0.06+0.08+0.02)×5=1-0.8=0.2,以频率作概率,从总体的500名学生中随机抽取1人,估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2.(2)由(1)知,样本中听力为优秀的学生人数为0.2×50-4=6,∴估计总体中听力为优秀的学生人数为500×650=60.(3)当a1=1时,序号a1,a2,a3,a4的情况为6种,分别记为(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),同理,当a1=2,3,4时,序号a1,a2,a3,a4的情况也分别为6种,∴序号a1,a2,a3,a4所有的情况总数为24种.当Y=0时,a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,当Y=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|=2时,a1,a2,a3,a4的取值为a1=1,a2=2,a3=4,a4=3或a1=1,a2=3,a3=2,a4=4或a1=2,a2=1,a3=3,a4=4,∴当Y≤2时,序号a1,a2,a3,a4对应的情况为4种,即P(Y≤2)=424=16.