专项训练三 概率与统计（考点3 随机变量的分布列、期望与方差）(解析版)

专项三概率与统计考点3随机变量的分布列、期望与方差大题拆解技巧【母题】(2021年新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.【拆解1】已知条件不变,若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.【解析】由题意可知,X的所有可能取值为0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48【拆解2】已知X的分布列如下表所示:X020100P0.20.320.48求E(X).【解析】由表可知,E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.【拆解3】已知条件不变,若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,且E(X)=54.4,为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.【解析】若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则Y的所有可能取值为0,80,100.P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(X=100)=0.8×0.6=0.48.所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.因为E(X)=54.4,54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题.小做变式训练 为落实中央“坚持五育并举,全面发展素质教育,强化体育锻炼”的精神,某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动,甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛,规定:每一局比赛中获胜方记1分,失败方记0分,没有平局,首先获得5分者获胜,比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35.(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率;(2)当甲以3∶1的比分领先时,记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X的分布列及数学期望.【拆解1】已知条件不变,比赛结束时恰好打了6局,求甲获胜的概率.【解析】比赛结束时恰好打了6局,甲获胜的概率为P1=C54×(35)4×25×35=4863125.【拆解2】已知条件不变,比赛结束时恰好打了6局,甲获胜的概率为P1=4863125,求比赛结束时恰好打了6局的概率.【解析】比赛结束时恰好打了6局,甲获胜的概率为P1=4863125,比赛结束时恰好打了6局,乙获胜的概率为P2=C51×35×(25)4×25=963125,所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P=P1+P2=4863125+963125=5823125.【拆解3】已知条件不变,若甲以3∶1的比分领先时,记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X的分布列.【解析】X的所有可能取值为2,3,4,5,P(X=2)=(35)2=925,P(X=3)=C21×25×35×35=36125,P(X=4)=C31×35×(25)2×35+(25)4=124625,P(X=5)=C41×35×(25)3×35+C43×(25)3×35×25=96625.所以X的分布列如下:X2345P9253612512462596625【拆解4】已知关于X的分布列如下:X2345P9253612512462596625求X的数学期望.【解析】因为X的分布列如下:X2345P9253612512462596625 所以E(X)=2×925+3×36125+4×124625+5×96625=1966625.通法技巧归纳求随机变量分布列的主要步骤:(1)明确随机变量的取值,并确定随机变量服从何种概率分布;(2)求每一个随机变量取值的概率;(3)列成分布列.对于抽样问题,要特别注意放回与不放回的区别,一般地,不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率,放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.突破实战训练<基础过关>1.上饶市正在开展2021年“阳光护苗”文明校园创建行动,分为“清网”护苗、“培根”护苗、“关爱”护苗、“雨露”护苗、“法治”护苗五个专项行动.在“培根”护苗方面,为庆祝中国共产党成立100周年,某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动,现有高一1、2、3、4班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》这5首红歌中选取1首作为比赛歌曲,设每班只选择其中1首红歌,且选择任1首红歌是等可能的.(1)求“恰有2个班选择《唱支山歌给党听》”的概率;(2)记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个),求X的分布列与数学期望.【解析】(1)4个班每个班各选1首红歌的事件有54个基本事件,它们等可能,“恰有2个班选择《唱支山歌给党听》”记为事件A,有C42·42个基本事件,从而“恰有2个班选择《唱支山歌给党听》”的概率为P(A)=C42·4254=96625.(2)随机变量的所有可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=C5154=1125,P(X=2)=C52(C41C33+C42·C22A22)A2254=28125,P(X=3)=C53C42A3354=72125,P(X=4)=A5454=24125,故X的分布列为X1234P1125281257212524125∴X的数学期望E(X)=1×1125+2×28125+3×72125+4×24125=369125.2.某企业有甲、乙两条生产同种产品的生产线.据调查统计,100次生产该产品所用时间的频数分布表如下: 所用的时间(单位:天)10111213甲生产线的频数10201010乙生产线的频数520205假设订单A约定交货时间为11天,订单B约定交货时间为12天(将频率视为概率,当天完成即可交货).(1)为尽最大可能在约定时间交货,订单A和订单B应如何选择各自的生产线(订单A,B互不影响);(2)已知甲、乙生产线的生产成本分别为3万元、2万元,订单A,B互不影响,若规定实际交货时间每超过一天就要付5000元的违约金,现订单A,B用(1)中所选的生产线生产产品,记订单A,B的总成本为ξ(万元),求随机变量ξ的期望值.【解析】(1)频率分布表如下:所用的时间(单位:天)10111213甲生产线的频率0.20.40.20.2乙生产线的频率0.10.40.40.1设事件A1,A2分别表示订单A选择甲、乙生产线在约定时间交货;事件B1,B2分别表示订单B选择甲、乙生产线在约定时间交货.P(A1)=0.2+0.4=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,所以订单A选择甲生产线,订单B选择乙生产线.(2)设x1表示“订单A实际交货时间超过约定时间的天数”,x2表示“订单B实际交货时间超过约定时间的天数”,x1,x2的分布列分别如下:x1012P0.60.20.2x201P0.90.1设X=x1+x2,则X的分布列如下:X=x1+x20123P0.540.240.20.02E(X)=0×0.54+1×0.24+2×0.2+3×0.02=0.7,所以E(ξ)=3+2+0.5E(X)=5.35(万元),所以订单A,B的总成本ξ的期望值为5.35万元. 3.春节是中国人的团圆节,2021年春节期间,某超市为了给“就地过年”的外来务工人员营造温馨的新春佳节氛围,在2月11日至2月17日期间举行购物抽奖活动,活动规定:凡是一次性购物满300元的顾客就可以从装有8个球(其中3个球上写有“牛转乾坤”,另5个球上写有“谢谢惠顾”,每个球除写的字不同外,其他都相同)的抽奖箱中一次性摸出3个球,只有摸到“牛转乾坤”才能获奖,若3个球都是“牛转乾坤”,则获一等奖,奖励20元;若有2个球是“牛转乾坤”,则获二等奖,奖励5元;若只有1个球是“牛转乾坤”,则获三等奖,奖励2元.(1)若一位顾客在此活动期间购物满300元并且参加抽奖,求这位顾客中奖的概率;(2)经统计,2月11日有1400人购物满300元,其中有280人没有参加抽奖,设参加一次抽奖所得奖金的金额为X元,试求X的分布列,并求2月11日该超市发放奖金总金额的数学期望.【解析】(1)(法一)设一位顾客在此活动期间购物满300元参加抽奖且中奖为事件A,参加抽奖且中一等奖为事件A1,参加抽奖且中二等奖为事件A2,参加抽奖且中三等奖为事件A3,则A=A1∪A2∪A3,P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=C33C83+C32C51C83+C31C52C83=2328.∴一位顾客在此活动期间购物满300元参加抽奖且中奖的概率为2328.(法二)一位顾客在此活动期间购物满300元且参加抽奖,设中奖为事件A,则事件A的对立事件为A,A为一位顾客在此活动期间购物满300元参加抽奖且没有中奖,即摸出的3个球都是“谢谢惠顾”,∴P(A)=1-P(A)=1-C53C83=2328,∴一位顾客在此活动期间购物满300元参加抽奖且中奖的概率为2328.(2)依题意得X的所有可能取值为0,2,5,20,∴P(X=0)=C53C83=528,P(X=2)=C31C52C83=1528,P(X=5)=C32C51C83=1556,P(X=20)=C33C83=156,∴X的分布列为X02520P52815281556156∴数学期望E(X)=0×528+2×1528+5×1556+20×156=15556(元),∴2月11日该超市发放奖金总金额的数学期望为(1400-280)·E(X)=1120×15556=3100元.4.中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师,屡次在国际大赛上争金夺银,被体育迷们习惯地称为“梦之队”.小明是一名乒乓球运动爱好者,为提高乒乓球水平,决定在假期针对乒乓球技术的五个基本因素:弧线、力量、速度、旋转和落点进行训练.假设小明每天进行多次分项(将五个因素分别对应五项,一次练一项)训练,为增加趣味性,计划每次(从第二次起)都是从上次未训练的四个项目中等可能地随机选一项训练.(1)若某天在五个项目中等可能地随机选一项开始训练,求第三次训练的是“弧线”的概率;(2)若某天仅进行了6次训练,五个项目均有训练,且第1次训练的是“旋转”,前后训练项不同视为不同的训练顺序,设变量X为6次训练中“旋转”项训练的次数,求X的分布列及数学期望; (3)若某天规定第一次训练的是“力量”,从第二次起,后面训练项目的选择服从上述计划的安排,设Pi(i∈N*)表示第i次训练的是“力量”的概率,求P6的值.【解析】(1)第一次训练选择“弧线”,且第三次训练的是“弧线”的概率为15×1×14=120,第一次训练未选择“弧线”,且第三次训练的是“弧线”的概率为45×34×14=320,所以第三次训练的是“弧线”的概率为120+320=15.(2)由题意知“旋转”项最多训练2次,所以X的不同取值为1,2,设后五次训练次序列表如下:12345若后五次训练中未练“旋转”,则另四项中有一项训练了2次,所以四项中选一项练2次,可选(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5),共有6C41A33=144种;若“旋转”项练了2次,则“旋转项”可在2,3,4,5位置,所以有C41A44=96种.所以P(X=1)=144144+96=35,P(X=2)=96144+96=25.所以X的分布列为X12P3525所以E(X)=1×35+2×25=75.(3)由题意可知Pi表示第i次训练的是“力量”的概率,则第i次训练的不是“力量”的概率为1-Pi,则P1=1,Pi+1=14(1-Pi),i∈N*,即Pi+1-15=-14(Pi-15),所以数列{Pi-15}是首项为P1-15=45,公比为-14的等比数列,所以Pi-15=45(-14)i-1,即Pi=45(-14)i-1+15,i∈N*,则P6=45(-14)6-1+15=51256.<能力拔高>5.篮球运动于1891年起源于美国,它是以投篮、上篮和扣篮为中心的对抗性体育运动之一,是可以增强体质的一种运动.已知篮球比赛中,得分规则如下:3分线外侧投入可得3分,3分线内侧投入可得2分,不进得0分.经过多次试验,某人投篮100次,有20个是3分线外侧投入,30个是3分线内侧投入,其余不能入篮,且每次投篮为相互独立事件.(1)求该人在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率;(2)求该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率;(3)求该人两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望.【解析】将“3分线外侧投入”,“3分线内侧投入”,“不能入篮”分别记为事件A,B,C,则由题意知P(A)=20100=15,P(B)=30100=310,P(C)=50100=12.(1)因为每次投篮为相互独立事件,故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率P=C43153 (1-15)=16625.(2)记“该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入”为事件D,则“该人在4次投篮中没有一次是3分线外侧投入”为事件D−.易知P(D−)=1-154=256625,则P(D)=1-P(D−)=1-256625=369625.故该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率为369625.(3)两次投篮后得分的所有可能取值为0,2,3,4,5,6,则P(ξ=0)=12×12=14;P(ξ=2)=310×12+12×310=310;P(ξ=3)=15×12+12×15=15;P(ξ=4)=310×310=9100;P(ξ=5)=15×310+310×15=325;P(ξ=6)=15×15=125.所以ξ的分布列为ξ023456P14310159100325125所以E(ξ)=0×14+2×310+3×15+4×9100+5×325+6×125=125.6.某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响),已知该蔬菜每售出1吨获利500元,未售出的蔬菜低价处理,每吨亏损100元.现统计甲、乙两市场该蔬菜以往100个销售周期的市场需求量,频数分布如下表:甲市场需求量(吨)8910频数304030乙市场需求量(吨)8910频数205030以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜,在甲、乙两市场同时销售,以X(单位:吨)表示下个销售周期两市场的需求量,T(单位:元)表示下个销售周期两市场的销售总利润.(1)当n=19时,求T与X的函数解析式,并估计销售利润不少于8900元的概率;(2)以销售利润的期望为决策依据,判断n=17与n=18应选用哪一个.【解析】(1)由题意可知,当X≥19时,T=500×19=9500; 当X<19时,T=500×X-(19-X)×100=600X-1900.所以T与X的函数解析式为T=9500,X≥19,600X-1900,X<19.由题意可知,一个销售周期内甲市场需求量为8吨,9吨,10吨的概率分别为0.3,0.4,0.3;乙市场需求量为8吨,9吨,10吨的概率分别为0.2,0.5,0.3.设“销售的利润不少于8900元”为事件A,当X≥19时,T=9500>8900,当X<19时,600X-1900≥8900,解得X≥18,所以P(A)=P(X≥18).由题意可知,P(X=16)=0.3×0.2=0.06;P(X=17)=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23;所以P(A)=P(X≥18)=1-0.06-0.23=0.71.(2)由题意得P(X=16)=0.06,P(X=17)=0.23,P(X=18)=0.4×0.5+0.3×0.3+0.3×0.2=0.35,P(X=19)=0.4×0.3+0.3×0.5=0.27,P(X=20)=0.3×0.3=0.09.①当n=17时,E(T)=(500×16-1×100)×0.06+500×17×0.94=8464;②当n=18时,E(T)=(500×16-2×100)×0.06+(500×17-1×100)×0.23+18×500×0.71=8790.因为8464<8790,所以应选n=18.<拓展延伸>7.现有甲、乙、丙、丁四个人相互传球,从甲开始传球,甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人,依次类推.(1)通过三次传球,球经过乙的次数为X,求X的分布列与期望.(2)设经过n次传球后,球落在甲手上的概率为an,①求a1,a2;②求an,并简要解释随着传球次数的增多,球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等.【解析】(1)X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=23×23×23=827;P(X=1)=13×1×23+23×13×1+23×23×13=1627;P(X=2)=13×1×13=19.所以X的分布列为X012P827162719 所以E(X)=0×827+1×1627+2×19=2227.(2)①由题意可知,a1=0,a2=13.②由题意知,n∈N*,当n≥2时,第n次传给甲的概率是第n-1次传球后球不在甲手上并且第n次必传给甲的概率,于是有an=13(1-an-1),即an-14=-13(an-1-14),数列an-14是首项为a1-14=-14,公比为-13的等比数列,从而有an-14=-14·-13n-1,所以an=14-14·-13n-1,当时n→+∞时,an→14,所以当传球次数足够多时,球落在甲手上的概率趋向于一个常数14,又第一次从甲开始传球,而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人,所以球落在每个人手上的概率都相等,所以球落在乙、丙、丁手上的概率为1-14÷3=14,所以随着传球次数的增多,球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等.8.双败淘汰制是一种竞赛形式,与普通的单败淘汰制(输掉一场即被淘汰)不同,参赛者只有在输掉两场比赛后才没有争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中,参赛者的数量一般是2的次方数,以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签,两人一组进行对阵,胜者进入胜者组,败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前,胜者组的选手两人一组相互对阵,胜者进入下一轮,败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵.负者组的第一阶段,由之前负者组的选手(不包括本轮胜者组落败的选手)两人一组相互对阵,败者被淘汰(已经败两场),胜者进入第二阶段,分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手,胜者进入下一轮,败者被淘汰.最后一轮,由胜者组最终获胜的选手(此前从未败过,记为A)对阵负者组最终获胜的选手(败过一场,记为B),若A胜则A获得冠军,若B胜则双方再次对阵,胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制,共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生,之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方,每场对阵没有平局.(1)设“在第一轮对阵中,甲、乙、丙都不互为对手”为事件M,求M的概率.(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23.①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率;②若甲在第一轮获胜,设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ,求ξ的分布列.【解析】(1)8人平均分成四组,共有C82C62C42C22A44种方法,其中甲、乙、丙都不分在同一组的方法数有A53种,所以P(A)=A53C82C62C42C22A44=47.(2)①甲恰在对阵三场后淘汰,这三场的结果依次是“胜,败,败”或“败,胜,败”,故所求的概率为23×13×13+13×23×13=427.②若甲在第一轮获胜,则ξ∈{3,4,5,6,7}. 当ξ=3时,表示甲在接下来的两场对阵都败,即P(ξ=3)=13×13=19.当ξ=4时,有两种情况:甲在接下来的三场对阵都胜,其概率为23×23×23=827;甲四场对阵后被淘汰,表示甲在接下来的三场对阵一胜一败,且第四场败,其概率为C21·23×13×13=427,所以P(ξ=4)=827+427=49.当ξ=5时,有两种情况:甲在接下来的两场对阵都胜,第四场败,其概率为23×23×13=427;甲在接下来的两场对阵一胜一败,第四场胜,第五场败,概率为C21·23×13×23×13=881.所以P(ξ=5)=427+881=2081.当ξ=6时,有两种情况:甲第二场胜,在接下来的三场对阵为“败,胜,胜”,其概率为23×13×(23)2=881;甲第二场败,在接下来的四场对阵为“胜,胜,胜,败”,其概率为13×(23)3×13=8243.所以P(ξ=6)=881+8243=32243.当ξ=7时,甲在接下来的五场对阵为“败,胜,胜,胜,胜”,即P(ξ=7)=13×(23)4=16243.所以ξ的分布列为ξ34567P194920813224316243