第33讲 空间向量在空间几何中的运用（小题：求异面直线所成角，线面角，二面角）（原卷版）

第33讲空间向量在空间几何中的运用1求异面直线所成的角已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为第一步：第二步：2求直线和平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角的余角第一步：第二步：3求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.如图：求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形（或题目给定）确定是锐角或是钝角：第一步：第二步：根据题目给定的二面角是锐角还是钝角（或者根据题目图形考生判断锐角还是钝角）①若判断二面角平面角为锐角则；②若判断二面角平面角为钝角则【题型一：异面直线所成角】1．（全国高二课时练习）已知直线的方向向量与直线的方向向量，则直线与所成角的余弦值为（） A．B．C．D．2．（梅河口市第五中学）如图，在三棱柱中，，则直线与直线所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（深州长江中学）如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．4．（全国高二课时练习）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（）．A．B．C．D．5．（河南洛阳·（理））已知正方体的棱长为2，为侧面的中心，为侧面的中心，则直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（闽侯县第一中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（） A．B．C．D．7．（山东曲阜一中高二月考）如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（全国高二课时练习）如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A．0B．C．D．9．（全国高二课时练习）如图所示，垂直于正方形所在平面，，为的中点，，若以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则点的坐标为（） A．B．C．D．10．（江西景德镇一中）如图，在四棱锥中，，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【题型二：线面角】1．（全国高二课时练习）已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（）A．B．C．D．2．（全国高二课时练习）已知在长方体中，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不对3．（全国高二课时练习）正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为A．B．C．D． 4．（云南）在正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．5．（全国高二专题练习）若平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与α所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（河南商丘·（理））在如图所示的四棱锥中，，，，，，且，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（浙江高三专题练习）在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（玉林市育才中学（理））在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（全国高二专题练习）如图，在直三棱柱的底面中，，，，则直线与平面所成角的正弦为（） A．B．C．D．10．（安徽滁州·高二期末（理））在直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，，，若点为的中点，则直线与平面所成的角为（）A．B．C．D．11．（河南高二期末（理））在直棱柱中，，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（福建省泰宁第一中学高一期中）如图，在长方体中，，，与平面所成的正弦值为（）A．B．C．D．【题型三：二面角】1．（武汉市吴家山中学高二月考）已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（）A．45°B．135°C．45°或135°D．90°2．（福建省长乐第一中学高二月考）已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则平面与所成的角为（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°3．（全国）在正方体中，二面角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（全国高二单元测试）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（）A．B．C．或D． 5．（全国高二课时练习）平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为()A．B．C．D．以上都不对6．（上海）如图，点､､分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（）A．B．C．D．7．（石家庄市第十七中学）如图，三棱锥中，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面垂直底面，设为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（）A．B．C．D．8．（大连市第二十三中学高二月考）如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（） A．B．C．D．9．（浙江奉化·高二期末）正方体中，二面角的大小是（）A．B．C．D．10．（全国高二单元测试）过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．D．