备考2024届高考数学一轮复习分层练习第七章立体几何与空间向量第6讲空间角和空间距离

第6讲空间角和空间距离1.[2023广西联考]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线A1C与AB所成角的大小是（　C　）A.π6B.π4C.π3D.π2解析　解法一（几何法）　如图1，将直三棱柱补形为正方体ACBD－A1C1B1D1，连接BD1，AD1，则D1B∥A1C，所以异面直线A1C与AB所成的角即直线D1B与AB所成的角，在三角形D1AB中，D1A＝BD1＝AB＝2，所以异面直线A1C与AB所成的角为π3.故选C.图1解法二（坐标法）　如图2，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，1），AB＝（－1，1，0），A1C＝（－1，0，－1），所以异面直线A1C与AB所成角的余弦值为cosα＝｜A1C·AB｜｜A1C｜×｜AB｜＝12（α为异面直线A1C与AB所成的角），所以异面直线A1C与AB所成的角为π3.故选C.　　图2解法三（基底法）　设CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1C＝－a－c，AB＝－a＋b，因为｜A1C｜2＝（－a－c）2＝a2＋c2＝2，所以｜A1C｜＝2，同理｜AB｜＝2，又A1C·AB＝（－a－c）·（－a＋b）＝1，所以异面直线A1C与AB所成角的余弦值为cosα＝｜A1C·AB｜｜A1C｜×｜AB｜＝12（α为异面直线A1C与AB所成的角），所以异面直线A1C与AB所成的角为π3.故选C.2.[2024河北邢台南宫中学模拟]在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，AC＝8，BD＝PB＝4，E为棱PB的中点，F为线段CE的中点，则点F到平面PAD的距离为（　B　）A.53B.2C.73D.52解析　设AC与BD交于点O，连接DF.由底面ABCD为菱形，知AC⊥BD，以O为坐标原点，以OA为x轴，OD为y轴，过O点且垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（4，0，0），C（－4，0，0），D（0，2，0），P（0，－2，4），E（0，－2，2），AD＝（－4，2，0），PA＝（4，2，－4）.设平面PAD的法向量为m＝（x，y，z），则m·AD＝－4x+2y=0，m·PA=4x+2y－4z=0，令x＝1，得m＝（1，2，2）是平面PAD,的一个法向量.易知点F的坐标为（－2，－1，1），所以DF＝（－2，－3，1），故点F到平面PAD的距离为｜DF·m｜｜m｜＝63＝2.故选B.3.[2024湖北罗田一中模拟]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，E为CC1的中点，则点E到直线AC1的距离为（　D　）A.233B.33C.35D.36解析　设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，因为AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，所以a·b＝a·c＝b·c＝1×1×12＝12，因为AC1＝AB＋BC＋CC1＝a＋b＋c，CC1＝c，所以AC1·CC1＝（a＋b＋c）·c＝a·c＋b·c＋c2＝12＋12＋1＝2，｜AC1｜＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2+2a·b+2a·c+2b·c＝1+1+1+1+1+1＝6，所以cos＜AC1，CC1＞＝AC1·CC1｜AC1｜·｜CC1｜＝26×1＝63，因此sin∠AC1C＝1－cos2＜AC1，CC1＞＝1－69＝33，所以点E到直线AC1的距离为｜EC1｜sin∠AC1C＝12×33＝36，故选D.4.[2024青岛市检测]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BB1＝2，BC＝4，AB1与A1B交于点E，点F为BC的中点.（1）求证：AE⊥平面A1BC.（2）求平面AEF与平面AA1C的夹角的余弦值.解析　（1）因为BC⊥平面ABB1A1，AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AE.因为四边形ABB1A1为正方形，所以AE⊥A1B，又BC∩A1B＝B，BC，A1B⊂平面A1BC，所以AE⊥平面A1BC.（2）以A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），A1（0，0，2），E（1，0，1），C（2，4，0），F（2，2，0）.AE＝（1，0，1），AF＝（2，2，0），AA1＝（0，0，2），AC＝（2，4，0）.设平面AEF的法向量为n＝（x1，y1，z1），则n·AE＝x1＋z1=0，n·AF=2x1+2y1=0，取x1＝1，则y1＝－1，z1＝－1，所以n＝（1，－1，－1）是平面AEF的一个法向量.设平面AA1C的法向量为m＝（x2，y2，z2），则m·AA1=2z2=0，m·AC=2x2+4y2=0，取x2＝2，则y2＝－1，z2＝0，所以m＝（2，－1，0）是平面AA1C的一个法向量.,｜cos＜m，n＞｜＝｜2+1｜3×5＝155，所以平面AEF与平面AA1C的夹角的余弦值为155.5.[2023新高考卷Ⅱ]如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.（1）证明：BC⊥DA.（2）点F满足EF＝DA，求二面角D－AB－F的正弦值.解析　（1）如图，连接DE，AE，因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC.因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC（SAS）.可得AC＝AB，故AE⊥BC.因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE.又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA.（2）由（1）知，DE⊥BC，AE⊥BC.不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝2.因为AE⊥BC，所以AE＝AB2－EB2＝2.在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则E（0，0，0），D（2，0，0），B（0，2，0），A（0，0，2），DA＝（－2，0，2），BA＝（0，－2，2）.设F（xF，yF，zF），因为EF＝DA，所以（xF，yF，zF）＝（－2，0，2），可得F（－2，0，2）.（速解：因为EF＝DA，所以四边形EDAF为平行四边形，可得F的坐标）所以FA＝（2，0，0）.设平面DAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），则DA·m=0，BA·m=0，即－2x1＋2z1=0，－2y1＋2z1=0，取x1＝1，则y1＝z1＝1，所以m＝（1，1，1）是平面DAB的一个法向量.设平面ABF的法向量为n＝（x2，y2，z2），,则FA·n=0，BA·n=0，即2x2=0，－2y2＋2z2=0，得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，所以n＝（0，1，1）是平面ABF的一个法向量.所以cos〈m，n〉＝m·n｜m｜·｜n｜＝23×2＝63.记二面角D－AB－F的大小为θ，则sinθ＝1－cos2＜m，n＞＝1－（63）2＝33，故二面角D－AB－F的正弦值为33.6.[2024安徽六校联考]如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC＝2AA1＝2A1C1＝4，B为下底面圆周上异于A，C的点.（1）点P为线段BC的中点，证明：直线PC1∥平面AA1B.（2）若四棱锥B－A1ACC1的体积为23，求直线AB与平面C1CB夹角的正弦值.解析　（1）如图1，取AB的中点H，连接A1H，PH，则PH∥AC，PH＝12AC，在等腰梯形A1ACC1中，AC＝2A1C1，所以HP∥A1C1，HP＝A1C1，则四边形A1C1PH为平行四边形，所以C1P∥A1H，又A1H⊂平面A1AB，C1P⊄平面A1AB，图1所以C1P∥平面A1AB.（2）过点B作BO'⊥AC，交AC于点O'，易知BO'⊥平面A1ACC1.因为在等腰梯形A1ACC1中，AC＝2AA1＝2A1C1＝4，所以该梯形的高h＝3，所以等腰梯形A1ACC1的面积S＝12×（2＋4）×3＝33，所以四棱锥B－A1ACC1的体积V＝13S×BO'＝13×33×BO'＝23，解得BO'＝2，所以点O'与O2重合.连接O1O2，以O2为坐标原点，O2B，O2C，O2O1的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，图2则C（0，2，0），B（2，0，0），A（0，－2，0），A1（0，－1，3），C1（0，1，3），AB＝（2，2，0），CC1＝（0，－1，3），BC＝（－2，2，0）.设a＝AB，平面C1CB的法向量为b＝（x，y，z），则CC1·b=0，BC·b=0，即－y＋3z＝0，－2x+2y=0，取z＝1，则x＝y＝3，所以b＝（3，3，1）是平面C1CB的一个法向量.设直线AB与平面C1CB的夹角为α，则sinα＝｜cos＜a，b＞｜＝｜a·b｜｜a||b｜＝｜23+23+0｜4+4+0×3+3+1＝427.,故直线AB与平面C1CB夹角的正弦值为427.7.[2024济南市摸底考试]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝3，点F是棱PD的中点，点E是棱DC上一点.（1）证明：AF⊥EF；（2）若直线BP与平面AEF所成角的正弦值为2211，求点B到平面AEF的距离.解析　（1）在正方形ABCD中，有AD⊥CD.因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF.因为PA＝AD，点F是棱PD的中点，所以AF⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PDC，所以AF⊥平面PDC，又EF⊂平面PDC，所以AF⊥EF.（2）如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（3，0，0），P（0，0，3），F（0，32，32），AF＝（0，32，32），BP＝（－3，0，3）.设点E（m，3，0），0≤m≤3，则AE＝（m，3，0）.设平面AEF的法向量为n＝（x，y，z），则n·AE=0，n·AF=0⇒mx+3y=0，y＋z=0，令x＝3，可得n＝（3，－m，m）.设直线BP与平面AEF所成的角为θ，则sinθ＝｜cos＜BP，n＞｜＝｜BP·n｜BP||n｜｜＝｜－9+0+3m｜32×2m2+9＝2211，化简可得m2－22m＋21＝0，即（m－1）（m－21）＝0，所以m＝1或m＝21（舍），所以点E（1，3，0）.由m＝1可得，n＝（3，－1，1）.又AB＝（3，0，0），所以点B到平面AEF的距离d＝｜n·AB｜｜n｜＝91111.,8.[2024江西分宜中学、临川一中等校联考]如图，在四棱锥E－ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，BE＝3，AE＝10，C，D都在平面ABE的上方.（1）证明：平面BCE⊥平面ABCD.（2）若BC⊥BE，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为34646，求四棱锥E－ABCD的体积.解析　（1）BC//ADAB⊥AD⇒AB⊥BC.因为AB2＋BE2＝10＝AE2，所以AB⊥BE，又BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，所以AB⊥平面BCE，又AB⊂平面ABCD，所以平面BCE⊥平面ABCD.（2）因为BC⊥BE，结合（1）易得AB，BC，BE两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，1），E（3，0，0），CE＝（3，0，－1）.设AD＝t（t＞0），则D（0，1，t），所以CD＝（0，1，t－1）.设平面CDE的法向量为n＝（x，y，z），由CE·n=0，CD·n=0，得3x－z=0，y＋（t－1）z=0，令z＝3，得x＝1，y＝3－3t，则n＝（1，3－3t，3）是平面CDE的一个法向量.因为CB⊥平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为m＝（0，0，1）.记平面CDE与平面ABE所成锐二面角为θ，则cosθ＝｜cos＜n，m＞｜＝｜n·m|n||m|｜＝310+（3－3t）2＝34646，解得t＝3或t＝－1（舍去），即AD＝3，所以四边形ABCD的面积S四边形ABCD＝2.因为BE⊥AB，BE⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD，所以BE⊥平面ABCD，所以BE为四棱锥E－ABCD的高，所以四棱锥E－ABCD的体积V＝13S四边形ABCD·BE＝13×2×3＝2.故四棱锥E－ABCD的体积为2.,9.[2023西安检测]如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，将梯形AA1C1C绕AA1旋转至梯形AA1D1D的位置，使二面角D1－AA1－C1的大小为30°.（1）若A1B1＝2AB，证明：BC1⊥A1B1.（2）若AA1＝A1C1＝2AB＝4，设G为DD1的中点，求直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值.解析　（1）如图1，取A1B1的中点M，连接MC1，MB，依题意得△A1B1C1是等边三角形，所以MC1⊥A1B1.因为A1B1＝2AB，所以AB＝A1M，又AB∥A1B1，所以四边形ABMA1是平行四边形，所以AA1∥BM.依题意知，AA1⊥平面A1B1C1，又A1B1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1B1，所以BM⊥A1B1.　　图1又MC1∩BM＝M，MC1，BM⊂平面BMC1，所以A1B1⊥平面BMC1.又BC1⊂平面BMC1，所以BC1⊥A1B1.（2）因为AA1⊥平面A1B1C1，所以旋转后A1，B1，C1，D1四点共面，且A1C1⊥AA1，A1D1⊥AA1，所以∠C1A1D1是二面角D1－AA1－C1的平面角，所以∠C1A1D1＝30°，又∠B1A1C1＝60°，所以∠B1A1D1＝90°，即A1D1⊥A1B1.以A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，图2则A（0，0，4），B（2，0，4），D（0，2，4），B1（4，0，0），D1（0，4，0），所以G（0，3，2），则AB1＝（4，0，－4），BB1＝（2，0，－4），AG＝（0，3，－2）.设平面AB1G的法向量为n＝（x，y，z），则n·AB1=4x－4z=0，n·AG=3y－2z=0，令x＝3，得n＝（3，2，3）是平面AB1G的一个法向量.设直线BB1与平面AB1G所成的角为θ，则sinθ＝｜cos＜BB1，n＞｜＝｜BB1·n｜｜BB1||n｜＝620×22＝3110110，所以直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值为3110110.