空间向量与立体几何（六个混淆易错点）（原卷版）

专题1.7空间向量与立体几何（六个混淆易错点）易错点1对空间向量的运算理解不清1．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（    ）A．B．C．D．2．下列命题中正确的个数是（    ）．①若与共线，与共线，则与共线．②向量，，共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．A．0B．1C．2D．3 3．以下命题：①若，则存在唯一的实数，使得；②若，则或；③若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；④一定成立.则其中真命题的个数为（    ）A．4B．3C．2D．14．下面四个结论正确的个数是（    ）①空间向量，若，则；②若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线；③已知向量，，若，则为钝角；④任意向量满足．A．4B．3C．2D．15．（多选）给出下列命题，其中正确的是（）A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则6．（多选）下列命题中正确的是（    ）A．是，共线的充分条件B．若，则C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面D．若，，，为空间四点，且有（，不共线），则是，，三点共线的充分不必要条件7．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，；(2)求证：；(3)求证：，，，四点共面．易错点2忽略条件导致建系错误8．如图，在直四棱柱中，，，，.点在棱上，平面与棱交于点.(1)求证：；(2)若与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置.9．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．   (1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标；(2)求的余弦值．10．如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．11．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．12．在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标.13．如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标． 14．如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．易错点3证明线面平行垂直时出现混乱15．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ）A．B．C．D．或16．设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（    ）A．B．C．D．或17．（多选）在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（    ）A．平面B．平面C．平面平面D．点E到平面的距离为18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，垂足为A，，点M在棱PD上，平面ACM．   (1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得平面PBD？19．已知在长方体中，，，在线段上取点M，在上取点N，使得直线平面，则线段MN长度的最小值为（    ）A．B．C．D．20．（多选）若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（    ）A．B．C．，使得D．设与的夹角为，则21．（多选）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则下列结论正确的是（    ）  A．存在点使 B．不存在点使平面平面C．若，，，四点共面，则的最小值为D．若，，，，五点共球面，则的最小值为22．如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.  (1)求证：平面；(2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.易错点4混淆异面直线的夹角与向量的夹角23．已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数为（    ）A．B．C．D．24．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的大小为（    ）A．B．C．D．25．（多选）在三棱锥中，平面平面BCD，，， 为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为（    ）A．B．1C．D．26．如图，已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，计算：(1)；(2)异面直线与所成角的余弦值.27．如图，在正方体中，点分别是的中点，直线与所成角的余弦值为（    ）A．B．C．D．28．如图在平行六面体中，，，，，､､分别为，，的中点. (1)求证：(2)求和所成角的余弦值；29．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，的中点．(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．30．设分别是空间两直线的方向向量，则直线，所成角的大小为_____.易错点5混淆线面的夹角与向量的夹角31．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）． A．B．C．D．32．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（    ）A．B．C．D．33．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为_____．  34．如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在棱DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，试说明理由．35．在正四棱柱中，，E为的中点.（用向量的方法证明）(1)求证：平面.（用向量的方法证明）(2)若F为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求BF的长. 36．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，点M在线段AB上（含端点）运动，连接AD．(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE交于点O，确定O点位置，求线段OA的长；(2)若折成二面角的大小为45°，是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°，若存在，确定出点M的位置；若不存在，请说明理由．37．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，，．(1)证明：点E是PD的中点；(2)求直线BE与平面ACE所成角的余弦值．38．已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.  (1)求证：平面平面；(2)求直线与平面夹角的正弦值. 易错点6混淆两个平面的夹角与二面角39．在正六棱柱中，底面棱长为，高为，分别为，的中点，连接.  (1)求所成角的余弦值；(2)过点作直线，设点是直线上一点，记平面与平面所成角为，求的取值范围.40．如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为8的等边三角形，，，，D在上且满足.  (1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值.41．如图1，在四边形中，，为上一点，，，，将四边形沿折起，使得二面角的大小为，连接，，得到如图2．   (1)证明：平面平面；(2)点是线段上一点，设，且二面角为，求的值．42．如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，为侧棱的中点.    (1)求证：平面；(2)若，试求二面角的正弦值.43．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.  (1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的大小.44．如图，直三棱柱中，是棱的中点，棱上的点满足，棱上的点满足. (1)证明：；(2)若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.45．如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．(1)若点是的重心，证明；点在平面内；(2)求二面角的正弦值．46．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，，，，，M为线段PD的中点.(1)求证：平面平面PAC；(2)若直线OM与平面ABCD所成角为，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值.