空间向量与立体几何（六个混淆易错点）（解析版）

专题1.7空间向量与立体几何（六个混淆易错点）易错点1对空间向量的运算理解不清1．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值.【详解】解：如图所示，因为，，可得平面，直线，当最短时，平面，且，所以为的中心，为的中点，如图所示， 又由正四面体的棱长为1，所以，，所以，因为平面，所以，所以中，，所以故选：A2．下列命题中正确的个数是（    ）．①若与共线，与共线，则与共线．②向量，，共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．【详解】①当时，与不一定共线，故①错误；②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，故②错误； 由空间向量基本定理知③正确；④当，不共线且时，，，共面，故④错误．故选：B．3．以下命题：①若，则存在唯一的实数，使得；②若，则或；③若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；④一定成立.则其中真命题的个数为（    ）A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】由共线向量的基本定理判断①；由数量积判断②；由基底的概念判断③；由数量积的性质判断④【详解】对于①：根据共线向量的基本定理，的充要条件是存在唯一的实数，使得，其中；这里没有限制，所以①错误；对于②：，若，则，即只要在上的投影与在上的投影相等即可，故②错误；对于③：若为空间的一个基底，则不共面，则也不共面，则构成空间的另一个基底，故③正确；对于④：因为，所以，故④正确；所以正确的有2个，故选：C4．下面四个结论正确的个数是（    ）①空间向量，若，则；②若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线；③已知向量，，若，则为钝角；④任意向量满足．A．4B．3C．2D．1 【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可．【详解】对于①，因，，则，①正确；对于②，因，则＝，即，即A、B、C三点共线，②正确；对于③，＝10x-3，若为钝角，则，且与不共线，由得，当时，，即，由与不共线得，于是得当且时，为钝角，③错误；对于④，是的共线向量，而是的共线向量，④错误，综上可知，①②正确.故选：C5．（多选）给出下列命题，其中正确的是（）A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则【答案】ACD【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。【详解】对于A,不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；对于B,点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；对于C，由可得，即,所以A，B，C三点共线，故正确； 对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.故选：ACD6．（多选）下列命题中正确的是（    ）A．是，共线的充分条件B．若，则C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面D．若，，，为空间四点，且有（，不共线），则是，，三点共线的充分不必要条件【答案】AC【分析】由，可得向量，的方向相同，得向量，共线，从而判断出A；根据向量平行概念判断选项B；根据向量共面条件判断出C；根据共线向量定理判断出D．【详解】由，可得向量，的方向相同，此时向量，共线，所以A正确；若，则或A，B，，四点共线，所以B不正确；由A，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，即有，，，四点共面，故C正确；若，，，为空间四点，且有（，不共线），当时，即可得，即，所以，，三点共线，反之也成立，即是A，，三点共线的充要条件，所以D不正确，故选：AC．7．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，；(2)求证：；(3)求证：，，，四点共面．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意可得，，由向量的减法可得答案.（2）求出，由，从而可证.（3）用向量分别表示出，从而可得，从而可证.【详解】（1），分别是，的中点，则且所以，，分别是，的中点，则且（2）证明：设四面体的棱长为，则向量两两之间的夹角均为则，∴，故；（3），，， ∴，从而，，，四点共面．易错点2忽略条件导致建系错误8．如图，在直四棱柱中，，，，.点在棱上，平面与棱交于点.(1)求证：；(2)若与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)点为棱的中点.【分析】（1）利用条件可证，进而利用线面垂直的判断定理可得平面，即证；（2）利用坐标法，利用线面角的向量求法可得，然后利用向量共面的向量表示可求即得.【详解】（1）在直四棱柱中，平面，因为平面，所以，连接， 因为，，所以，所以，又因为，平面，，所以平面，因为平面，所以.（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，设，易知平面的法向量为，，则，解得，则，，，设，，则，，解得，，，∴，即点为棱的中点.9．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．  (1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标；(2)求的余弦值．【答案】(1)，；坐标系见解析(2)．【分析】（1）根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可;（2）根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得.【详解】（1）因为，平面，所以平面．   又平面，平面，所以，．又，所以，所以直线，，两两垂直，以E为坐标原点，以，，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．易得，，，所以点D、G的坐标分别为，．（2）因为，所以，，，在中，，即的余弦值为．10．如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析【分析】取的中点，的中点，由面面垂直性质可得平面，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.【详解】取的中点，连接， 为正三角形，，；在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，取的中点，则，又平面，平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，.11．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析【分析】侧面  而与不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用三角函数和余弦定理求出各边的长度，得各个点的坐标.【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则，所以，，，，，，侧面，侧面，，又，平面，，平面，平面，则，设，则，中，由余弦定理，，中，由余弦定理，，中，，，解得或，为棱上异于的一点，所以，则有.12．在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标.【答案】答案见解析【分析】取的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE，两两垂直，则以为坐标原点，， ，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标.【详解】解：取的中点E，连接OE，在矩形中，是中点，所以，则，由题可知平面，所以OD，OE，两两垂直，如图，以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，因为，且，所以，则O，E，A，D四点共面，平面xOz，x轴，z轴，，，，，.13．如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标．【答案】答案见解析【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可求得各点坐标.【详解】四边形为正方向，，由题意知：平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，则，，，，，.14．如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析【分析】在平面取一向量，由已知条件可证，OA，OB两两垂直，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标.【详解】已知平面平面，，在平面取一向量，由于平面平面，所以平面，又，所以，OA，OB两两垂直，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示因为，，所以到z轴的距离为， 三棱柱的高为，则，，，，，.易错点3证明线面平行垂直时出现混乱15．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ）A．B．C．D．或【答案】D【分析】依题意可得，即可判断.【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，∴或.故选：D16．设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（    ）A．B．C．D．或【答案】C【分析】根据线面垂直的向量法即可判断.【详解】依题意，，所以，．因此，，即，．又，所以．故选：C．17．（多选）在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（    ）A．平面B．平面C．平面平面D．点E到平面的距离为【答案】ACD【分析】检验所给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；求出点到平面距离判断D作答.【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，   则，对于A，，显然，即平行于平面，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，即有不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，B错误；对于C，，而，显然，，即平面，于是平面，而平面，因此平面平面，C正确；对于D，，，设平面的一个法向量，则，令，得，又，所以点E到平面的距离，D正确.故选：ACD18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，垂足为A，，点M在棱PD上，平面ACM．   (1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得平面PBD？【答案】(1)点M为PD中点(2)(3)点E为PC中点【分析】（1）设，则O这BD的中点，设点M为PD中点，在△PBD中，，由此能够确定M的位置使平面ACM．（2）设，则，由底面ABCD是正方形，底面ABCD，知，，，，故，利用等积法能够求出直线PB与平面MAC的距离．（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出当点E为PC中点时，平面PBD．【详解】（1）连，则O为BD的中点，连接，因为平面，平面平面，又平面PBD，于是，所以点M为PD中点．（2）因为，则，底面ABCD是正方形，有，底面ABCD，，而，则平面，又平面，因此，∴，，，∴，∴，取AD的中点F，连接MF， 则，平面ABCD，且，∵平面ACM，M为PD的中点，∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h，∵，∴，解得h．（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，∴，，设平面PBD的法向量，则，∴，∴，设，设，则，则，则，即，∵平面PBD，∴，∴，解得，∴E为PC中点．故当点E为PC中点时，平面PBD．  19．已知在长方体中，，，在线段上取点M，在上取点N，使得直线平面，则线段MN长度的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】D 【分析】以为轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面的法向量，由向量与平面的法向量垂直可得关系式，从而表示出的模，然后可求得最小值．【详解】解：如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，即，又，，，设，，则，因为平面，故即，当时，取得最小值，即的长度的最小值为．故选：D．  20．（多选）若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线 上不同的两点，则以下命题正确的是（    ）A．B．C．，使得D．设与的夹角为，则【答案】BCD【分析】A选项，只有平面时，才能得到；BCD选项，可通过线面关系及面面关系及法向量定义进行推导.【详解】对于A，当且平面时，才满足，故A错误；对于B，若，则，若，则，即可得到，故B正确；对于C，若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；对于D，设与的夹角为，则，所以，故D正确.故选：BCD.21．（多选）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则下列结论正确的是（    ）  A．存在点使B．不存在点使平面平面C．若，，，四点共面，则的最小值为D．若，，，，五点共球面，则的最小值为 【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，计算与的数量积能否为0可判断A；若平面平面，可得，同A方法即可判断B；作出平面与平面的交线，的最小值即为时，计算可判断C；四点，，，确定的几何体的外接球即为正方体的外接球，判断出面与球的截面为圆，转化为点到圆上点的距离的最小值，计算可得D.【详解】对于A，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，，设，则，，则，，若，则有，化简得，，又，，所以不可能成立，故A错误；对于B，连接交于，连结，则依题意可得，若平面平面，又平面平面，平面，，所以平面，所以有，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，，，则，得，此式不可能成立，故B正确；对于C，如图，  延长交的延长线于，连接交于，则为平面与平面的交线，若，，，四点共面，则在线段上，所以当时，最小，因为，，所以，所以，又，则，所以当时，在中，有，得，故C正确；如图，  四点，，，确定的几何体的外接球即为正方体的外接球，球的半径（正方体的对角线长的一半），设面截球的截面圆为圆，为正方形的中心，设圆的半径为，，所以，若，，，，五点共球面，则在圆上， 则的最小值为，故D正确.故选：BCD22．如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.  (1)求证：平面；(2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）通过求证，由线面平行的判定定理即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【详解】（1）四边形是平行四边形，.平面平面平面.（2）取的中点为.平面平面平面，平面平面,平面.以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内,   ，，，.设平面的法向量为即令，则.，.又平面的法向量为平面，∴.∴在线段上存在点，使平面，且的值是.易错点4混淆异面直线的夹角与向量的夹角23．已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.【详解】直线方向向量, 直线方向向量,，所以两向量夹角为，直线和所成角为，故选：B.24．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的大小为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的大小.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，， ，因此，异面直线与所成的角的大小为.故选：B.25．（多选）在三棱锥中，平面平面BCD，，，为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为（    ）A．B．1C．D．【答案】AC【分析】过作与平行的直线为轴，取BD的中点O，根据条件可得平面BCD，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】由为等边三角形，取BD的中点O，连接,则又平面平面BCD，且平面平面所以平面BCD，由过作与平行的直线为轴，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，，所以．设，则，， 则，解得或，故或．故选：AC26．如图，已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，计算：(1)；(2)异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的线性运算法则，得，，进而得到，最后可求解.（2）利用空间向量数量积的运算性质计算出的值，结合异面直线所成角的范围可求得异面直线和所成角的余弦值．【详解】（1）设，，，则，，，，；， （2）由（1）得，，，，，所以，，由于异面直线所成角的取值范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为.27．如图，在正方体中，点分别是的中点，直线与所成角的余弦值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设正方体棱长为2，以D为原点建立空间直角坐标系，写出向量，的坐标，利用数量积计算向量夹角的余弦值，其绝对值即直线与所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为2，以D为原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，，所以，，设直线与所成角为，则.故选：B.28．如图在平行六面体中，，，，，､､分别为，，的中点.(1)求证：(2)求和所成角的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）只需证明即可； （2）利用向量数量积和模求向量间的夹角即可.【详解】（1）取为一组基底，设，依题：∴.，∴，故.（2），.∴...∴所以直线与所成角的余弦值为.29．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，的中点． (1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）设，，，将和表示成，然后计算得，进而即得；（2）用表示，然后利用向量夹角公式即得.【详解】（1）设，，，根据题意得，且∴，.∴，∴，即；（2）∵，∴，，∵，∴.∴异面直线与所成角的余弦值为． 30．设分别是空间两直线的方向向量，则直线，所成角的大小为.【答案】/【分析】空间中直线与直线所成的角，与其对应的方向向量夹角相同，直接利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】因为，所以与的夹角为，即直线，所成角的大小为.故答案为：.易错点5混淆线面的夹角与向量的夹角31．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）．A．B．C．D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点、的坐标，求出平面的法向量，最后求出与平面所成角的正弦值.【详解】平面，，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系，则，..易知平面的法向量.设与平面所成角为，则.故选：C.32．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据列出方程求得的值，得到向量，，且是平面的一个法向量，设与平面ABD所成角为，再利用线面角的向量求法可得答案.【详解】  由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，可得，，，，因为点在平面上的射影是的重心，所以平面，所以，即，解得，可得，，所以，，因为平面，所以是平面的一个法向量， 设与平面ABD所成角为，，所以.故选：B.33．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为．  【答案】【分析】根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面，然后过点做平行线，所以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】  过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，过点做平行线，所以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，由，得，取，设直线与平面所成角为，∴．故答案为：34．如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在棱DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，试说明理由．【答案】存在点，此时的长度为.【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，设的长度为，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设的长度为，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，即，设与平面所成的角为，可得，整理得，解得或（舍去），此时，即存在点，此时的长度为.35．在正四棱柱中，，E为的中点.（用向量的方法证明）(1)求证：平面.（用向量的方法证明） (2)若F为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求BF的长.【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）设点的坐标为，由线面角公式可求出，即可利用向量的模求的长.（1）由题意可知，以为坐标原点，建立如图示的空间直角坐标系.，,,，，，证明：设平面的法向量，，，由，即取，得，又，因为，所以，所以平面.（2）设点的坐标为， ，由（1）知，，设直线与平面所成角为，则，解得.所以点F的坐标为，，，所以的长为.36．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，点M在线段AB上（含端点）运动，连接AD．(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE交于点O，确定O点位置，求线段OA的长；(2)若折成二面角的大小为45°，是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°，若存在，确定出点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点O在EA的延长线上且(2)存在，答案见解析【分析】（1）根据平面的公理2可确定点O的位置，根据三角形全等求得OA的长；（2）先作辅助线，证明DH⊥平面ABFE，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，求出平面EMC的一个法向量，利用空间量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，延长EA，FM交于点O，如图所示． 因为AO//BF，M为AB的中点，所以，所，即M是OF的中点,则，故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2，（2）过D作DH⊥AE于点H，由已知可得，又，∴EF⊥平面ADE,则即为折成的二面角的平面角，，又平面ADE,∴，则DH⊥平面ABFE以H为坐标原点，以HA，HD所在的直线分别为x轴，z轴,，过点H在平面ABFE内作AE的垂线作为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则∴， 设，则设平面EMC的法向量为，即，取，则，∴平面EMC的一个法向量为，要使直线DE与平面EMC所成的角为45°，则，即，解得：或，∵，∴，∴存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°．37．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，，．(1)证明：点E是PD的中点；(2)求直线BE与平面ACE所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质得，结合，即可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，根据空间向量夹角公式求解线面角正弦值，再利用平方关系得余弦值即可.【详解】（1）证明：因为平面所以因为四边形是正方形,所以 又平面,所以平面，又平面,所以，又平面，所以平面,因为平面,所以,又,所以点是的中点.（2）由已知可知两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则所以设平面的一个法向量为，则，令，则，所以设直线与平面所成的角为，则所以，即直线与平面所成角的余弦值为.38．已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.   (1)求证：平面平面；(2)求直线与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理可证平面，进而可得结果；（2）建系，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）设是线段的中点，连接，过作，垂足为，因为四边形为等腰梯形，，所以，因为是的中点，可得，则，即四边形为平行四边形，可得，所以，又因为四边形是边长为2的菱形，且，则是边长为2的等边三角形，可得，则，可得，因为平面平面，所以平面，且平面，所以平面平面.  （2）以为原点、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则， 可得，设平面的法向量为，则，取，则，可得，设直线与平面的夹角为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为.  易错点6混淆两个平面的夹角与二面角39．在正六棱柱中，底面棱长为，高为，分别为，的中点，连接.  (1)求所成角的余弦值； (2)过点作直线，设点是直线上一点，记平面与平面所成角为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，以点F为空间坐标系的原点，建立空间坐标系，求得向量和，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）连接，取的中点为S，连接，证得平面，得到为平面的法向量，由，求得平面的法向量为，结合向量的夹角公式得到，令，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：连接，以点F为空间坐标系的原点，直线，，分别为轴、轴和轴建立空间坐标系，如图所示，因为正六棱柱中，底面棱长为2，高为，P，Q分别为，的中点，可得，，，，所以，，所以，所以所成角的余弦值为.（2）解：连接，取的中点为S，连接.由正六棱柱的几何性质得，，又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，又因为平面，为的中点，所以，因为平面平面，所以平面， 即为平面的法向量，由，，所以，因为，所以，因为，所以，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，所以，令，当，即时，；当时，，因为，所以，所以，当且仅当时，，综上所述，可得.   40．如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为8的等边三角形，，，，D在上且满足.  (1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为正方形，从而得到⊥，再由三角形全等得到，所以⊥，从而证明线面垂直，证明面面垂直；（2）先证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，得到点的坐标，利用空间向量余弦夹角公式求出两个平面夹角的余弦值，进而求出正弦值.【详解】（1）过点作交于点，连接交于点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，因为，所以，因为，所以，因为，，所以四边形为正方形，故，⊥，   由勾股定理得，且，因为，，所以≌，故，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面平面.（2）因为⊥，，由勾股定理得，又，由勾股定理逆定理可得⊥，因为，平面，所以⊥平面，  取中点，的中点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，解得，令得，所以，设平面的法向量为，则，令，解得，故， 设平面与平面夹角为，则，因为所以平面与平面夹角的正弦值为，41．如图1，在四边形中，，为上一点，，，，将四边形沿折起，使得二面角的大小为，连接，，得到如图2．  (1)证明：平面平面；(2)点是线段上一点，设，且二面角为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明结论；（2）根据条件，结合二面角定义可得，建立空间直角坐标系，求平面，的法向量，由条件，结合向量夹角公式列方程求.【详解】（1）由题意得，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，（2）由，，则∠CEB为二面角B-AE-C的平面角，所以， 又，，所以．以E为坐标原点，，分别为x，y轴正方向，在平面BCE内过点E作BE的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，，，，，，，由已知，．设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即令，则， 所以为平面的一个法向量，则，又由二面角为，则，即，即所以（舍去）或．所以的值为．42．如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，为侧棱的中点.    (1)求证：平面；(2)若，试求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）方法一：连接交于点，连接，先证明，从而可证平面；方法二：建立空间直角坐标系，用向量法先证明线线平行，从而可证线面平行；（2）利用向量法求解即可.【详解】（1）方法一：如图所示：   连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是中点，又点是中点，所以，又平面，不包含于面，故平面.方法二：如图所示：  取的中点，连接，因为，所以，又因为侧面底面，且侧面底面，平面，所以平面，如图，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，连接交于点，则.，，∴，即，又平面，且不包含于平面，∴平面.（2）设，则，，，，，，，设是平面的法向量， 则，即令，解得，∴，设是平面的法向量，则，即令，解得，，∴，所以，设所求二面角的平面角为，由图可知为锐角，则，所以.43．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.  (1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的面面垂直的判定定理和性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：如图所示：   连接AC，交BE于F，因为，，，，，所以CE=2DE=4，则AE=4，又，所以四边形ABCE是菱形，所以，在中，，所以，又，则，所以，又，平面，所以平面，又因为面BCF，所以面BCF面ADEB.（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：    则，所以，因为，所以，设平面BEP的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面BEA的一个法向量为， 所以，则，由图易知：二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小为.44．如图，直三棱柱中，是棱的中点，棱上的点满足，棱上的点满足.(1)证明：；(2)若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，证明出，结合得到线面垂直，得到，由比例得到，从而证明线面垂直，证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.【详解】（1）连接为的中点，，又平面，平面，又平面，故，又， ，，，又平面，故平面，平面，.（2）过作于点，又因为平面，所以，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角且为，又为正三角形，为的中点，因为两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为分别为轴，过点做的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可知各点坐标分别为：，，，设平面的法向量为，所以， 令得，故.设平面的法向量为，，令，则，故.设平面与平面所成的锐二面角为，则，平面与平面所成锐二面角余弦值为45．如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．(1)若点是的重心，证明；点在平面内；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取A中点N，连接，MN，由点G是的重心，得出，再证明四边形是平行四边形，即可证明点在平面内；（2）解法1：由⊥平面，，得出平行四边形为矩形，得出，再由点是的中点得出，证明出平面，得出，即可得出就是所求二面角的平面角，求出的正弦值即可得出答案；解法2：建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，求出两平面夹角的余弦，再求出正弦即可． 【详解】（1）证明：取A中点N，连接，MN，如图所示，因为点G是的重心，故G一定在中线上，因为点是的中点，点是的中点，所以是梯形的中位线，所以，且，又，所以，所以四边形是平行四边形，因为点，平面，所以点平面，即点在平面内．（2）解法1：因为⊥平面，，所以⊥平面，又因为平面，所以，因为四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，，所以，因为为等边三角形，点是中点，所以，所以， 又因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以，所以就是所求二面角的平面角，因为，所以，故二面角的正弦值为．解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面与平面的法向量分别为， 则，不妨取.则，，不妨取，所以，故二面角的正弦值为．46．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，，，，，M为线段PD的中点.(1)求证：平面平面PAC；(2)若直线OM与平面ABCD所成角为，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）由菱形性质及等腰三角形性质得到线线垂直，进而得到线面垂直，从而证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值.【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，，所以O为BD的中点，，又因为，所以.又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，又平面PBD，所以平面平面PAC.（2）因为，O为AC的中点，所以.又，，平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD.因为M为线段PD的中点，O为BD的中点，所以.又因为直线OM与平面ABCD所成角为，所以直线PB与平面ABCD所成角为，即.因为，，所以是等边三角形，所以，，则.如图，以点O为坐标原点，以OA，OB，OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面PAD和平面PBC的一个法向量分别为，.由得令，得.由得令，得.因此，，所以平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为.