第30讲 递推公式求通项（解析版）

第30讲递推公式求通项1、法（项与和互化求通项）注意：绝大部分题目当时，用替换了，有时候解题需逆向，把题目中的用替换进题目中。2、累加法累加法（叠加法）若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=整理得：=3、累乘法累乘法（叠乘法）若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：整理得：4、构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式5、倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。）题型一：已知和关系求通项1．（阜康市第一中学）已知数列的前项和为()．求数列的通项公式；【答案】（1）【详解】（1）当时，，当时，，满足上式，所以2．（全国高二专题练习）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，；当，，即，∴是首项为，公比为2的等比数列，所以.（2），由，得，解得.3．（浙江高三专题练习）已知数列的前项和为（1）当取最小值时，求的值；微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （2）求出的通项公式.【答案】（1）或；（2）【详解】解：（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，，当时，，当时，满足上式，所以题型二：累加法1．（浙江高三专题练习）（1）已知数列满足，，求通项公式；（2）设数列中，，，求通项公式.【答案】（1）an＝－(n∈N*)；（2）an＝(n∈N*)．【详解】（1）∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．2．（哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知数列中，，且时，，求.【答案】【详解】当时，∵∴∴，∴，又符合上式，∴.3．（安徽高三月考（理））已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）ann2n；（2）．【详解】（1）数列{an}满足a1＝3，an﹣an﹣1﹣3n＝0，n≥2，即an﹣an﹣1＝3n，可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）＝3+6+9+…+3nn（3+3n）n2n；微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （2）bn•（），前n项和Sn（1）（1）．.题型三：累乘法1．（全国高二课时练习）已知数列中，，前项和.（1）求，；（2）求的通项公式．【答案】（1）a2＝3，a3＝6；（2）an=.【详解】(1)由S2＝a2，得(a1＋a2)＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，∴a3＝(a1＋a2)＝6.(2)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1满足上式，∴an＝.2．（全国高二专题练习）设是首项为1的正项数列，且，求通项公式.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】【详解】由，得，∵，∴，∴，∴，∴，又a1＝1满足上式，∴.题型四：构造法1．（全国高二专题练习）数列中，，求数列的通项公式．【答案】【详解】依题意，，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以.2．（全国高三专题练习）在数列中，，求.【答案】【详解】解：因为，所以，而，∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，∴.3．（铜山启星中学）数列满足，，求其通项公式微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】【详解】令，所以，因为，所以，可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，可得.题型五：倒数法1．（全国）已知数列中，，，求的通项公式.【答案】.【详解】，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538