排列组合（教师卷）

第12讲排列组合【考点目录】【知识梳理】知识点1排列与组合(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元定义及表示素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.全排列的概念n个不同的元素全部取出的一个排列.阶乘的概念正整数1到n的连乘积，用n！表示.Ann＝n！，0！＝1.Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).排列数公式(n，m∈N*，m≤n).n！阶乘式Am.n＝（n－m）！(3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(4)组合数,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个定义及表示不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示.Amnn（n－1）（n－2）…（n－m＋1）组合乘积式Cm＝.n＝Ammm！数公n！阶乘式Cm.式n＝m！（n－m）！mn－m两个性质1Cn＝Cn.性质性质2Cmmm－1n＋1＝Cn＋Cn.3.Amm－1m－1n＝(n－m＋1)An＝nAn－1；(n＋1)！－n！＝n·n！.4.kCkk－1mm－1m－1m－1n＝nCn－1；Cn＝Cn－1＋Cn－2＋…＋Cm－1.知识点2有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.知识点3解组合问题时要注意①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；知识点4分堆与分配问题平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排平均分堆到指定位置列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配堆数的阶乘问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组.【考点剖析】,考点一排列的基本问题（一）全排列问题1．（2023秋·天津红桥·高二统考期末）已知数字1，2，3，4，5．(1)可以组成多少个没有重复数字的五位数；(2)可以组成多少个没有重复数字的五位偶数．【答案】(1)120(2)48【分析】（1）将5个数进行全排列，利用排列数公式即可得出答案.（2）先排个位数，从2，4中选一个数排在个数,其余的位置即剩下的4个数进行全排列即可得出答案.（1）5由题意可得：将5个数进行全排列，即A543211205==个.（2）1先排个位数，从2，4中选一个数排在个数有：C=22个，4其余的位置即剩下的4个数进行全排列，即A=4321=244个，14所以可以组成CA=4824个没有重复数字的五位偶数.2．（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）若把英语单词“pear”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有______种．【答案】23【分析】先计算该单词所有字母能够组成的所有排列情况，然后减去正确的，即是可能出现错误的情况.4【详解】因为“pear,,,”四个字母组成的全排列共有A4==432124（种）结果，其中只有排列“pear”是正确的，其余全是错误的，故可能出现错误的共有24123−=（种）.故答案为：23.3．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）某同学有2本不同的语文书，3本不同的数学书，2本不同的英语书，如果要将全部的书放在一个单层的书架上，且不使同类的书分开，则不同的放法种数是______（用数字作答）,【答案】144【分析】将同一类型的书做全排列，再三类书做全排列，即可得答案.2323【详解】由题设，AAAA23232626144==种.故答案为：1444．（2023秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）有一个“国际服务”项目截止到2022年7月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是___________.【答案】12【分析】首先确定3个单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方法数，即可得结果.【详解】各单位名额各不相同，则8个名额的分配方式有{1,2,5}，{1,3,4}两种，3对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有A3种，3所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是212A3=种.故答案为：12（二）元素（位置）有限制的排列问题5．【多选】（2023秋·江苏扬州·高二统考期末）现有2名男同学与3名女同学排成一排，则（）A．女生甲不在排头的排法总数为24B．男女生相间的排法总数为12C．女生甲、乙相邻的排法总数为48D．女生甲、乙不相邻的排法总数为72【答案】BCD【分析】A.利用排除法求解判断；B.利用插空法求解判断；C.利用捆绑法求解判断；D.利用插空法求解判断.454【详解】A.女生甲在排头的排法有A4，所以女生甲不在排头的排法总数为AA54−=96，故错误；23B.2名男同学全排列为A2种，产生3个空，再将3名女同学排上有A3种，所以男女生相间的排法总数为23AA=12，故正确；23,42C.女生甲、乙相邻看作一个元素，则A4种，女生甲、乙再排列有A2种，所以女生甲、乙相邻的排法总数为42AA48=种，故正确；4232D.除女生甲、乙以外3人全排列有A3种，产生4个空，再将女生甲、乙排上有A4种，所以女生甲、乙不32相邻的排法总数AA34=72种，故正确故选：BCD6．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（）A．4种B．8种C．16种D．20种【答案】D【分析】在四人全排的排法中，减去甲、乙同时站在两端的排法，即可得解.4【详解】利用间接法，将四人全排，共A244=种不同的排法，22若甲、乙同时站在两端，此时有AA22=4种不同的排法.因此，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有24420−=种.故选：D.7．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）5名学生，1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有（）A．30种B．360种C．720种D．1440种【答案】B【分析】先排教师的位置，再排5名学生，从而可得不同的排法.【详解】教师在前排，由3种排法，2235名学生，前排2位，后排3位，共有CAA523，223故不同的排法总数为3CAA523360=，故选：B.8．（2023秋·四川眉山·高二统考期末）某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（）,A．12B．14C．16D．18【答案】B【分析】根据题意，按甲是否在4道上分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：3①若甲在4道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有A63=种排法，②若甲不在4道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，此时有2228=种安排方法，故共有6814+=种不同的安排方法，故选：B．9．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有AB,两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】C【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A队伍检测，②2人到A队伍检测，③1人到A队伍检测，④0人到A队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.3【详解】先进行分类：①3人到A队伍检测，考虑三人在A队的排队顺序，此时有A63=种方案；2②2人到A队伍检测，同样要考虑两人在A队的排队顺序，此时有A6=种方案；32③1人到A队伍检测，要考虑两人在B队的排队顺序，此时有A6=种方案；33④0人到A队伍检测，要考虑两人在B队的排队顺序，此时有A63=种方案；所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.故选：C10．（2023秋·广西河池·高二统考期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位偶数共有（）A．56个B．60个C．66个D．72个【答案】B,【分析】分个位是0和不是0两种情况，去求用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位偶数3【详解】①末位是0时，满足条件的偶数有A244=个；12②末位不是0时，满足条件的偶数有2AA3336=个.满足条件的四位偶数的个数为243660+=，故选：B.（三）相邻问题的排列问题11．（2023秋·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考期末）甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（）A．6B．12C．24D．48【答案】B【分析】利用分步计数原理即可求解.22【详解】先安排2名同学在两端，有A3=6种方法，2名老师内部全排有A2=2种方法，2名老师不相邻，需剩余同学排两个老师中间，根据分步计数原理，共有6212=种方法，故选：B12．（2023秋·上海徐汇·高二期末）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数为（）A．20B．40C．60D．80【答案】B【分析】利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可．【详解】解：依题意分三步完成，2第一步：先将3、5排列，共有A2种排法；2第二步：再将4、6插空排列，共有2A2种排法；1第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C5种排法．,221由分步乘法计数原理得共有A2A225=C40（种)．故选：B13．（2023秋·上海静安·高二校考期末）有8名学生排成一排，甲､乙相邻的排法种数为___________，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为___________.（用数字作答）【答案】1008030960【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；（2）可采用间接法得到；7【详解】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有210080A7=种情况；（2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，876故有A2A−+A=30960种情况876故答案为：10080；3096014．（2023秋·上海崇明·高二统考期末）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种．【答案】120【分析】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中.2【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有A6=种方法；32另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有A205=种，22因此共有A3A5=120种.故答案为：120（四）不相邻排列问题15．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的方法有（）A．5种B．6种C．10种D．20种【答案】C【分析】利用插空法计算可得，需注意4个1不需要排列；,2【详解】解：依题意利用插空法，4个1有5个位置可以放0，故方法有C510=种；故选：C．16．（2023秋·贵州黔东南·高二统考期末）小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（）1112A．B．C．D．10655【答案】C【分析】利用捆绑法和插空法进行求解即可.【详解】解：由题意得：55名同学参加演讲比赛出场顺序总的方法：A1205=种；22将小红小明捆在一起，然后张三李四两个排列，再后小芳与小红小明组插空，总的方法数有：2AA32=24种222AA24123在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为==5A12055故选：C17．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）4个人随机去坐连成一排的11个座位，由于受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少留有一个空位，则不同的坐法有______种．【答案】1680【分析】利用插空法求解即可.4【详解】4个人坐11个座位，有7个空位，7个空位产生8个空挡，选4个空挡给4个人坐，有A16808=种坐法．故答案为：168018．（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）现有7位同学（分别编号为A，B，C，D，E，F，G）排成一排拍照，若其中A，B，C三人互不相邻，D，E两人也不相邻，而F，G两人必须相邻，求不同的排法总数．【答案】240种【分析】把ABC,,排列，产生4个空位，然后将FG,看作一个整体与DE,插入到ABC,,中可求解.2【详解】解：因FG,两人必须相邻，所以把FG,看作一个整体有A2种排法.3又ABC,,三人互不相邻，DE,两人也不相邻，所以把ABC,,排列，有A3种排法，产生了4个空位，再用插空法.2（1）当DE,分别插入到ABC,,中间的两个空位时，有A2种排法，再把FG,整体插入到此时产生的6个空,位中，有6种排法.112（2）当DE,分别插入到ABC,,中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有CCA222=8种排法，此时FG,必须排在ABC,,中间的两个空位的另一个空位，有1种排法.232112所以共有AA2322+22A6CCA(=240).19．（2023秋·河南安阳·高二统考期末）2022年央视春晩出现了很多优秀的歌曲、小品、相声等节目，现将歌曲《你是我生命中的礼物》《我们的时代》《爱在一起》《春天的钟声》，冬奥主题歌曲《点亮梦》，小品《父与子》《还不还》《喜上加喜》《发红包》《休息区的故事》，相声《欢乐方言》《像不像》这12个节目进行排列，则冬奥主题歌曲《点亮梦》排在最后一位，相声《欢乐方言》与《像不像》不相邻，小品《喜上加喜》与《发红包》相邻的概率是（）1224A．B．C．D．1651655555【答案】B【分析】基本事件的总个数是12个节目的全排列数，所求概率事件所含有的基本事件方法数用排列的知识求解：冬奥主题歌曲在最后一位，先放好，其他的相邻的用捆绑法作为一个元素，不相邻的用插空法计算可得，然后由概率公式计算．822AAA2829【详解】所求事件发生的概率为P==，12A16512故选：B．20．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考期末）A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（）A．72B．48C．36D．24【答案】C【分析】第一步：捆绑AC,与除B、D以外的其他2位同学进行排列第二步：BD,采用“插空法”；然后根据分步乘法计数原理即可得到答案3【详解】首先将A与C捆绑到一起，与除B、D以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有A63=种排法，2再将B、D插空到除最右边的3个位置中，有A6=种排法，因此共有6636=种排法，3故选：C,（五）定序问题21．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．【答案】120【分析】根据已知条件求出6个节目全排的种数，再求出甲、乙、丙3个节目全排的种数，二者相除即可求解.6【详解】演出中的6个节目全排列有A6==654321720,3甲、乙、丙3个节目全排列有A32163==,6A7206所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有3==120，A63故答案为：120.22．（2023秋·安徽合肥·高二合肥市第十一中学校联考期末）有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答).（1）全体排成一排，女生必须站在一起；（2）全体排成一排，男生互不相邻；（3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.【答案】（1）576；（2）1440；（3）840.【分析】（1）相邻问题采用捆绑法即可求出排法种数；（2）不相邻问题采用插空法即可求出排法种数；（3）根据定序法即可求出排法种数.4【详解】（1）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A4种方法，再将4名女生进行全排444列，也有A4种方法，故共有AA44=576种排法；4（2）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位343中任选3个空位排男生，有A5种方法，故共有AA45=1440种排法.7（3）把3名男生与4名女生进行全排列，共有A7中排列方法，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变有7A7=840种排列方法.3A323．（2023秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果M、N为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先M后N的次序（M、,N两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.【答案】1200.【分析】首先从从8所高校中选出5所，除去M、N还需要选3所，再分M、N两高校不相邻和M、N两高校相邻两种情况即可求出结果.3【详解】从8所高校中选出5所，除去M、N还需要选3所，选法是C6种，当M、N两高校不相邻时，33234不同的表演顺序有CAC634720=，当M、N两高校相邻时，不同的表演顺序有CA64480=，因此可选择的不同航模表演顺序有7204801200+=种.故答案为：1200.24．（2023秋·全国·高二期末）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（）.A．42B．56C．30D．72【答案】B【分析】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的不同排法，即可得解.8【详解】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有A8种，6而原有的6个节目对应的不同排法共有A6种，8A8所以不同的排法有=56（种）.6A6故选：B.（六）正难则反25．（2023秋·吉林·高二校联考期末）2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水．现要给“福建舰”进行航母编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（）A．72B．324C．648D．1296【答案】D【分析】先排核潜艇，再分配3艘驱逐舰和3艘护卫舰，用舰艇任意的分配数减去同侧都是同种舰艇的分配数，再根据分步乘法原理即可求得答案.,2【详解】由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，分配方案有A22=种，63艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，任意分配有A720=种，633同侧的是同种舰艇的分配方案有2AA3372=种，2622故符合题意要求的舰艇分配方案的方法数为A(A26−2AA)32=2(72072)1296−=,故选：D26．（2023秋·全国·高二期末）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（）种A．9B．36C．54D．108【答案】C【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的3选派方案有A5种，3选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有A3种，33所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有AA53−=54种故选：C27．【多选】（2023秋·广东清远·高二统考期末）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）A．所有可能的安排方法有125种B．若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C．若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种【答案】AB【分析】利用分步计数原理及排列知识逐项分析即得.3【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有5125=种，A正确；33对于B，由选项A知，所有可能的方法有5种，A医院没有专家去的方法有4种，所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有335−=461种，B正确；2对于C，专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有5=25种，C错误；,3对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有A605=种，D错误．故选：AB.考点二组合的基本问题（一）实际问题中的组合问题28．（2023秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）如图，在某城市中，MN,两地之间有整齐的66方格形道路网，其中A是道路网中的一点．今在道路网MN,处的甲、乙两人分别要到NM,处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．(1)求甲从M到达N处的走法总数；(2)求甲乙两人在A相遇的方法数．【答案】(1)924种(2)50625种【分析】（1）甲从M到达N需要走12步，结合分步计算原理即可得到方法数；（2）分别求出甲经过A的方法数，乙经过A的方法数，即可得到甲乙在A相遇的方法数.6【详解】（1）甲从M出发走到N需要走12步，向右、向上各走6步，走法总数为C12=924种.2244（2）甲经过A的方法数为(C=2256)种，乙经过A的方法数为(C=2256)种，所以甲乙两人在A相遇的方法数为225225=50625种.29．（2023秋·山东临沂·高二统考期末）某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动.现有A，B，C，D四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为（）,96724824A．B．C．D．125125125125【答案】B4CC21，【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为5个选择，然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为452则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为A4，再根据古典概型的概率公式计算可得．【详解】解：每人只能等可能的选择参加五项活动中的一项活动，且可以参加相同的活动，四名同学总共的选择为55555=4个选择，212恰有两人参加同一项活动的情况为CC45，剩下两名同学的选择有A4种，221CCA72恰有两人参加同一项活动的概率为454=．45215故选：B．30．（2023秋·河南信阳·高二统考期末）用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（）1113A．B．C．D．23416【答案】D【分析】求得每个顶点各有四种涂色方法总数为n=256，再求得“恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数m，结合古典摡型的概率公式，即可求解.【详解】用红、黄、蓝、紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，4基本事件总数n==4256，111恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数m=CCC443=48，m483则“恰有一个面上的三个顶点同色“的概率为p===n25616故选：D.31．（2023秋·上海闵行·高二校考期末）书架上有2本不同的数学书，3本不同的语文书，4本不同的英语书．若从这些书中取不同科目的书两本，有____种不同的取法．【答案】26【分析】分三种情况讨论即可求解.【详解】取两本不同科目的书，可以分三种情况：11①一本数学书和一本语文书，有C23=C6种；,11②一本数学书和一本英语书，有CC24=8种；11③一本语文书和一本英语书，有C34C=12种.根据分类加法计数原理，共有6812++=26种不同的取法.故答案为：26（二）代数中的组合计数问题32．（2023春·四川攀枝花·高二统考期末）千年一遇对称日，万事圆满在今朝，2021年12月02日又是一个难得的“世界完全对称日”（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20211202这样的对称自然数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11,22,,99），其中末位是奇数的11,33,55,77,99又叫做回文奇数，则在(10,10000)内的回文奇数的个数为___．【答案】105【分析】根据分类加法计数原理，结合题中定义、组合的定义进行求解即可.【详解】两位数的回文奇数有11,33,55,77,99，共5个，11三位数的回文奇数有CC510=50，11四位数的回文奇数有CC510=50，所以在(10,10000)内的回文奇数的个数为55050105++=，故答案为：10533．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1296224【分析】根据取出的数字是否含有零，分类讨论，若不含零，则有四位数CCA444个，若含有零，则有四位2113数CCCA4433个，再根据分类加法计数原理即可求出．224【详解】若取出的数字中不含零，则有四位数CCA444=6624864=个；2113若取出的数字中含零，则有四位数CCCA4433==6436432个；所以，这样的四位数有8644321296+=个．故答案为：1296．34．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服,务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种【答案】C【分析】先选后排可得答案.【详解】将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，23则不同的安排方法共有CA43=36种.故选：C.（三）几何组合计数问题35．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（）1236A．B．C．D．55555555【答案】B【分析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.【详解】如下图，正方体中如：ADBBCD,,111中任意2条所在的直线都是异面直线，∴这样的3条直线共有8种情况，82∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为3=.C5512故选：B.36．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期末）已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条．【答案】72,【分析】确定圆上整点个数，过其中任两点的直线去除过原点的直线，以及过整点的切线均符合题意，由此可得结论．22【详解】圆xy+=50在第一象限内有(1,7)，(5,5)，(7,1)三个整点，圆与坐标轴交点不是整点，因此共2有12个整点，过其中任两点的直线有C12=66条，其中有6条过原点去除，另外过圆的任一整点还各有一条切线，因此所求直线的条数为6661272−+=．故答案为：72．37．（2023秋·全国·高二期末）如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D，E，F，则从A，1B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（）4A．4B．6C．10D．11【答案】C【分析】分两类;两个中点和一个顶点构成的三角形,三个中点构成的三角形，由分类加法计数原理可求.1【详解】从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形有两类：421第一类，两个中点和一个顶点构成的三角形，共有CC339=（个）；3第二类，三个中点构成的三角形，共有C13=（个），1由分类加法计数原理，知面积为的三角形的个数为9110+=．4故选：C．考点三排列、组合的综合问题（一）分堆与分配问题38．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；,(3)平均分成三个组每组两本．【答案】(1)60；(2)360；(3)15.【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．32【详解】（1）根据题意，第一组3本有C6种分法，第二组2本有C3种分法，第三组1本有1种分法，32所以共有CC63160=种分法.32（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有CC63=160种分法，3再将分好的三组分给3人，有A=63种情况，所以共有606360=种分法.222CCC642（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有3=15种不同的分法．A339．（2023秋·河南南阳·高二邓州市第一高级中学校校考期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.【答案】40【分析】任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可.13【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为CC26种；13CC2622、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为2A2种.A213CC262所以不同的分配方法共有2=A240种.A2故答案为：4040．（2023春·北京·高二北京八中校考期末）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个,项目，则所有排法的总数为（）A．60B．120C．150D．240【答案】C【分析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.33【详解】当分组为1人,1人,3人时，有CA53==10660种，122CC542C3当分组为1人，2人，2人时有2=A390种，A2所以共有6090150+=种排法.故选：C41．（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（）A．360种B．480种C．600种D．720种【答案】C【分析】根据题意分三种情况：甲参加，乙不参加，或甲不参加，乙不参加，或甲不参加，乙参加，求出分配的方法数，然后利用分类加法原理可求得结果24【详解】若甲参加，乙不参加，则丙参加，只需从剩余5人中选出2人，再分配即可，此时有：CA54=240种情况；44若甲不参加，乙不参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，此时有：CA54=120种情况；34若甲不参加，乙参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出3人，再分配即可，此时有：CA54=240种情况；故共有：240120240600++=种情况.故选：C.42．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻､复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（）A．24种B．30种C．36种D．72种,【答案】B【分析】分A和B各去一个地区，CD,同去一个地区；A和CD,中的1人同去一个地区，B和另一人各去一个地区；B和CD,中的1人同去一个地区，A和另一人各去一个地区分别计算，再由分类加法原理求解即可.3【详解】若A和B各去一个地区，CD,同去一个地区，则共有A63=种方案；若A和CD,中的1人同去一13个地区，B和另一人各去一个地区，则共有CA23=12种方案；13若B和CD,中的1人同去一个地区，A和另一人各去一个地区，则共有CA23=12种方案；由分类加法原理可得共有6121230++=种方案.故选：B.43．（2023秋·福建莆田·高二莆田一中校考期末）现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为（）2312A．B．C．D．55515【答案】A【分析】首先求分组分配后的方法种数，再求恰好有2名大学生分配到甲校的方法种数，再求概率.333【详解】按1+1+3分组：C510=种（1与1自然成堆），从而有C?53A60=2222CC53CC533按1+2+2分组：2=15种，从而有2×A903=,AA22故所有的分配方法有60+90=150种，222602甲校恰好分配到两人的分配方法有CCA53260=种，则概率为P==.1505故选：A.44．（2023秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考期末）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为______．【答案】302【分析】先取2人一组且甲乙不在一组共有C4−=15种，与剩余2人一起分配到3个不同的班级，再由分步乘法计数原理求得结果.2【详解】取两个人一组，其中甲乙不在一组，共有C4−=15种取法，,3剩余的2人和这一组分别分到三个不同的班级共有A63=种分法，由分步乘法计数原理知，不同分法的种数为5630=种.故答案为：3045．【多选】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（）3A．若报名没有任何限制，则共有5种不同的安排方法5B．若报名没有任何限制，则共有3种不同的安排方法C．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法D．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法【答案】BD【分析】利用分步计数原理及排列组合分析即得.【详解】5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，5若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有3种不同的安排方法，故B正确，A错误；若每个小组至少要有1人参加，则先分组后排列，2213CCC531先将5名同学分为三组有C255+=2种方法，A23再将分好的三组分到3个不同的课后服务小组有A63=种情况，所以每个小组至少要有1人参加，则共有256150=种不同的安排方法，故C错误，D正确.故选：BD.（二）数字排列问题46．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？【答案】（1）若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数（2）156个【分析】（1）分数字重复和不重复讨论，根据排列组合计算即可.（2）偶数先确定个位数字为0或2或4，再分三类讨论，最后根据加法计数原理可得结果.,44【详解】解：（1）①若组成的四位数的数字不能重复，则可组成的四位数有：CA5==54321204（个）4②若组成的四位数的数字能重复，则可组成的四位数有：5625=（个）综上所述，结论是：若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数.（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是0或2或4，①个位是0的，即需要从1，2，3，4，5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，111有CCC543==54360个；②个位是2的，千位需要从1，3，4，5这4个数中选出1个有4种选法，从剩下的4个数字中选出2个分11别放在百位、十位，有CC43==4312个，所以个位是2的偶数有41248=个；③个位是4的，也有48个；综上所述，用0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数有604848156++=个.47．（2023秋·吉林长春·高二统考期末）从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.【答案】2880【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合，按位置分析法列式计算作答.32【详解】先按给定条件取出偶数和奇数，有CC45种方法，再从3个偶数中取1个放在个位，余下4个数字14作全排列，有AA34种方法，3214由分步乘法计数原理得：CCAA4534=410324=2880，所以一共可以组成2880个没有重复数字的五位偶数.故答案为：288048．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）【答案】504【分析】分两种情况求解，一是四个数字中没有奇数，二是四个数字中有一个奇数，然后根据分类加法原理可求得结果4【详解】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有A4=24种，当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排,134列即可，所以有CCA5445424=480=种，所以由分类加法原理可得共有24480504+=种，故答案为：50449．（2023秋·安徽·高二校联考期末）2021年07月01日是中国共产党成立100周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0､两个2､两个1与一个7组成一个八位数（如20001217），若其中三个0均不相邻，则这个八位数的个数为（）A．200B．240C．300D．600【答案】C【分析】由于三个0均不相邻，所以采用插空法，第一步排列两个2，两个1，一个7，第二步再把0插入其中五个空，即可得答案.5A5【详解】利用插空法，第一步排列两个2，两个1，一个7，共有22种排法，AA223第二步再把0插入其中五个空，所以有C5种排法，5A53所以共有22C3005=个八位数.AA22故选：C.【过关检测】一、单选题1．（2023秋·广东广州·高二统考期末）2022年北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（）A．10B．27C．36D．60【答案】D【分析】根据给定条件，利用排列的意义列式计算作答.,3【详解】依题意，从5名志愿者中选3人服务3个不同项目，不同的安排方法有A605=（种）．故选：D2．（2023秋·福建福州·高二福建省福州华侨中学校考期末）甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（）A．6种B．12种C．36种D．48种【答案】B【分析】题目关键点为甲不站在两端，则甲站中间2个位置，先排好甲以后，剩余3个位置其余的三位同学进行全排列即可.13【详解】甲站位的排列数为A2，其余三位学生的全排列数为A3，13所有的排列方式有：AA23232112==.故选：B.3．（2023秋·新疆阿克苏·高二校考期末）从1，2，3，4，5，6这6个数中任取两个数，则两个数之和为偶数的概率为（）1234A．B．C．D．5555【答案】B【分析】利用古典概型与组合可求得结果.【详解】两个数之和为偶数则这两个数均为偶数或均为奇数，22CC33233故P=+=+=.22CC1515566故选：B.4．（2023秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）将4名新老师安排到ABC,,三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（）A．54B．36C．24D．18【答案】B【分析】分类讨论ABC,,分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到ABC,,三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况，【详解】将4名新教师安排到ABC,,三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：1,1,2，21A学校有两名新老师：CC=12；42,21B学校有两名新老师：CC12=；4221C学校有两名新老师：CC4212=21所以共有3CC42=36种情况，故选：B.5．（2023春·福建莆田·高二校考期末）已知甲袋子中装有1个红球和3个白球，乙袋子中装有3个红球和2个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的4个球中恰有2个红球的不同取法共有（）A．9种B．18种C．27种D．36种【答案】C【分析】甲最多可取1个红球，故可以分两类：①甲乙各取一红球，②乙取两个红球．1111【详解】甲、乙各取1个红球，有CC1323CC=18种方法；22乙取两个红球，有C33C=9种方法；共有18+9＝27种方法.故选：C.二、多选题6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考期末）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（）3A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是51B．第二次取到1号球的概率2C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种【答案】BCD【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解,【详解】对于A选项，记事件ABii,分别表示第一次、第二次取到i号球,i=1,2,3,则第一次抽到3号球的条31件下，第二次抽到1号球的概率PBA(13|)==，故A错误62对于B选项，记事件ABii,分别表示第一次、第二次取到i号球,i=1,2,3,依题意AAA1,,23两两互斥,其和21为Ω,并且PA(12PA)==,()PA(3)=44223PBA(∣1112∣13PBA)∣===,,PBA()()446112PBA(∣2122∣23PBA)∣===,,PBA()()446111PBA(∣3132∣33PBA)∣===,,PBA()()44632212131应用全概率公式,有PB(11PAPBA)==++(ii)(|=)，故B正确；i=14444462对于C选项，依题设知,第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同,则PAPBA(11)1(∣)221PAB(∣11)===2PB(1)442PAPBA(21)2(∣)121PAB(∣21)===2PB(1)444PAPBA(31)3(∣)131PAB(∣31)===2PB(1)464故在第二次取到1号球的条件下,它取自编号为1的口袋的概率最大.故C正确对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配113221CCC543CCC5313方法有22+A3=150，故D正确AA22故选：BCD7．（2023秋·广东广州·高二统考期末）将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（）A．总其有36种安排方法B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法,D．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法【答案】AD【分析】先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，即可判断A；分实验室只安排甲1人和实验室安排2人，即可判断B；先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，即可判断C；将甲､乙看成一人，则将3人安排到3个不同的地方，即可判断D.【详解】解：对于A，先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，23有CA43=36种安排方法，故A正确；22对于B，若实验室只安排甲1人，则有CA32=6种安排方法，3若实验室安排2人，则有A63=种安排方法，所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；对于C，先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，22则有CA42=12种安排方法，故C错误；3对于D，若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有A63=种安排方法，故D正确.故选：AD.8．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天.（）3A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有A种512B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有AA32种3C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有A3种223D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有CCA533种【答案】AC【分析】根据排列数和组合数的定义，结合分步乘法计数原理依次求出各安排的方法数即可.3【详解】对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有A5种，A正确；对于选项B，安排甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲，乙，丙13三人中选出一人，有A3种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有A3种方法，,13故不同的安排方法共有AA33种，B错误；对于选项C，安排甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲，乙视为一个整体，与除甲，3乙，丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有A3种，C正确；选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，22CC532人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有种，完成2A2223CC533第二步的方法有A3种，所以不同的安排方法共有2A3种，D错误；A2故选：AC.三、填空题9．（2023秋·福建福州·高二福建省福州外国语学校校考期末）某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学共有____________种不同的方法．【答案】60【分析】由题意，根据分组分配的做题原理，可得答案.【详解】由题意，分2步分析：2①先5人中选出2人，安排到甲社区，有C510=种方法，22②将剩下3人分成2组，安排到乙、丙社区，有CA326=种方法，则有61060=种安排方式.故答案为：60.10．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学统考期末）为了帮助某市A，B，C三个地区进行核酸检测，某医院派出甲、乙，丙、丁四个医疗队前去支援，要求每个地区至少安排一个医疗队．若甲、乙不都去A地区，一共有___________种分配方法．（用数字作答）【答案】34【分析】先求出若甲、乙同去A地区，丙、丁去B和C地区的方法总数，再求出甲、乙，丙、丁四个医疗队去A，B，C三个地区支援，每个地区至少安排一个医疗队的方法总数，即可求出答案.2【详解】若甲、乙同去A地区，丙、丁去B和C地区，共有A22=种分配方法；23若甲、乙，丙、丁四个医疗队去A，B，C三个地区支援，每个地区至少安排一个医疗队，共有CA43=36种,分配方法．所以甲、乙不都去A地区，一共有34种分配方法．故答案为：34.11．（2023秋·河南南阳·高二校联考期末）将包含甲、乙在内的5名志愿者分配到3个社区参与疫情防控工作，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，设事件A=“甲、乙去不同的社区”，则PA()=______．19【答案】25【分析】部分均匀分组问题，5个人去三个地方，可能有113,122++++的形式，据此先算出基本事件总数，在根据限制条件算出满足条件的事件数，利用古典概型公式求解.1122CCCC+5453【详解】5个人去三个地方，可能有113,122++++的形式，分组的情况总数为2=25，在把这些A23分组分配到三个不同地方，有25A1503=种情况，因此基本事件总数为150；甲、乙去不同的社区，又有如321下情况，113++的分组时，甲乙不在一起的可能有C3CC3+=27，122++的分组时，若其中1人的是甲或1211者乙，有CC236=种分组，若其中1人的是不是甲，乙，有CC326=种分组，于是甲、乙去不同的社区共有31141976619++=种分组，分组后分配到三个社区，又有19A1143=种情况，于是PA()==.1502519故答案为：.25四、解答题12．（2023春·北京昌平·高二统考期末）有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少种不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？【答案】(1)5040(2)1440(3)720【分析】（1）前排选3人任意排，后排4人任意排，根据分步计数原理可得．（2）首先从其余5人中选出2人与甲、乙排在第二排，再将其余3人排在第一排，按照分步乘法计数原理,计算可得；（3）先将甲、乙安排在除每排的两端外的三个位置中的两个位置，再将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得；(1)34解：排成两排就座，第一排3人，第二排4人，有AA7=45040种方法．(2)2解：若甲和乙都在第二排，先从其余5人中选出2人有C5种选法，将这两人与甲、乙排在第二排，再将其243余3人排在第一排，故一共有C5AA43=1440种排法；(3)解：如甲和乙不能坐在每排的两端，则先将甲、乙安排在除每排的两端外的三个位置中的两个位置，再将25其余人全排列即可，故一共有AA35=720种排法；13．（2023秋·吉林·高二校联考期末）从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】（1）576；（2）576；（3）144【分析】（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.2341【详解】（1）偶数在末尾，五位偶数共有CCAA3442＝576个．2342（2）五位数中，偶数排在一起的有CCAA3442＝576个．2323（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有CCAA3423＝144．【点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．14．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．,【答案】(1)144(2)504【分析】（1）利用捆绑法和插空法，将“射”和“乐”两门课程捆绑，看作一个元素将之与“数”分别插入另外3个元素隔开的空档中，由此计算即可得出答案；（2）根据题意，分两种情况讨论：“射”排在第四节；“射”不排在第四节，由加法原理计算可得答案．23【详解】（1）将“射”和“乐”两门课程捆绑，内部先全排，有A2种，然后“礼”“御”“书”全排排，有A3种，此2时有四个空挡，最后将捆绑的课程与“数”插入空挡中，有A4种，232则不同的排课顺序有AAA234=144种．5（2）若“射”排在第四节，则有A5=120种不同的排课顺序；114若“射”不排在第四节，则有AAA443844=种不同的排课顺序．由加法原理得，共有120384504+=种不同的排课顺序．,