“8 3 3”小题强化训练（7）（新高考九省联考题型）（解析版）

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(7)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（）A.，B.1，C.，D.，【答案】D【解析】设数据，，…，的平均数和方差分别为和，则数据，，…，的平均数为，方差为，得，，故选：D．2．在的展开式中，的系数为（）A.30B.60C.40D.-60【答案】B【解析】的通项为：，令可得：的系数为.故选：B．3．设等差数列的前项和，若，，则（）A.18B.27C.45D.63【答案】C【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列，即，解得.故选：C4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，是两条不同的异面直线，，，，则D.若，，则与所成的角和与所成的角互余【答案】C【解析】A．，，则，又，则，所以不正确，A不正确；B．，，，则或，故B不正确；C．若，是两条不同的异面直线，，，，则，C正确．D．由时，与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等，因此与所成的角和与所成的角不一定互余，D不正确.故选：C． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，由，，可得为直角三角形，，且，解得，，再由勾股定理可得：得，．故选：D．6．若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为（　　）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】D【解析】∵，，∴，两边平方，化简得∴.∴为直角三角形.因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.故选：D.7．小明将与等边摆成如图所示的四面体，其中，，若平面，则四面体外接球的表面积为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】中，取中点，则为的外心，在等边中取重心，也为的外心，取中点，连接，过，的外心作所在平面的垂线，所得交点即为外接球的球心，则，平面，则平面，则，，平面，平面，，，平面，则平面，所以，故为矩形，则，，则则外接球的表面积为.故选：C 8．已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题设，则，且，则，令且，故，令，则在上递增，故，所以在上递增，故，所以在上递增，故，即在上恒成立，故，A错，B对；对于的大小关系，令且，而，，显然在上函数符号有正有负，故的大小在上不确定，即的大小在上不确定，所以C、D错.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（）A.复数为纯虚数B.复数对应的点位于第二象限C.复数的共轭复数为D.复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆【答案】ABD【解析】对于A，，则为纯虚数，A正确；对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；对于C，，复数的共轭复数为，C错误；对于D，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．故选：ABD10．在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（） A.B.的最大值为C.的最小值为D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A：，由正弦定理得，即，，因为，所以，所以，，，故A正确；对于B：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确；对于C：由B知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错；对于D：因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD.11．已知是圆上任意一点，过点向圆引斜率为的切线，切点为，点，则下列说法正确的是（）A.时，B.C.D.的最小值是【答案】BCD【解析】当时，圆的方程为，圆心为，半径为，过点向圆引切线，根据题意可知，切线斜率存在，设切线方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，又因为，所以，故A不正确；设直线，由，得，由，即，又因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，令，，当时，，所以在上单调递减，因为，而，所以，即，故C正确；设，此时，故而，等号成立当且仅当在上，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______.【答案】【解析】，则或，即或.①当时，，满足，符合题意；②当时，，所以若，则有或（舍），解得； ③当时，，所以若，则有或（舍），解得.综上所述，.故答案为：13.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则______.【答案】【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则，，所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，，所以，，则，所以，函数是周期为的周期函数，当时，，则，，，，，，，，所以，，又因为，所以，.故答案为：.14.函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是______.【答案】【解析】利用三角函数的性质分析求解即可.由于在区间上有且只有两个零点，所以，即，由得，，，∵，∴， ∴或，解得或，所以的取值范围是.故答案为：