平方根、立方根与实数相关60道计算与规律探究题型专训（6大题型）（原卷版）

平方根、立方根和实数相关60道计算与规律探究题（6大题型）【题型目录】题型一解方程中的平方根、立方根题型二平方根相关的计算题型三立方根相关的计算题型四实数的混合运算题型五新定义的实数计算题型六实数相关的规律探究题【经典例题一解方程中的平方根、立方根】1．（2024上·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：2(1)218x=；3(2)(x−=−264)．2．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）求x的值：(1)2x=36；3(2)(x−=18).33．（2024上·江苏淮安·八年级统考期末）求x的值：2(x−1)−54=0．4．（2022上·江西南昌·七年级校考期中）求解下列方程：2(1)9x−=250；3(2)27(x−3)=−64．学科网（北京）股份有限公司 5．（2023下·湖北襄阳·七年级校联考期中）求下列方程中x的值．2(1)3(x−2)−27=0；3(2)2()x+1+540=．6．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）求下列方程中的x2(1)21(18x−0−)=3(2)−32−=(1x24)7．（2023下·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）求解下列方程：2(1)45(1120x+−=)3(2)(31x125−−)=08．（2022下·湖北孝感·七年级统考期中）求下列方程中x的值．2(1)(x−=14)31(2)(3)x−0+=279．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）求下列各式中x的值．2(1)16x=25；2(2)x−=412；2(3)27(x+=1)3．学科网（北京）股份有限公司 10．（2023上·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校联考期中）求下列各式中x的值：12(1)x=5；22(2)(x−=1)16．【经典例题二平方根相关的计算】11．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）若x，y都是实数，且y=x−+22−+x3，求11xy+9的平方根．12．（2024上·湖南衡阳·七年级校考期末）已知21x−的平方根为3，且31xy+−的平方根为4，求xy+2的算术平方根．13．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）已知正数x的两个平方根分别是m+6和2mn−1(1)求代数式mn−+6的值；3m(2)当n=12时，求x的算术平方根．214．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是23a−和5−a，求a和x的值；（2）若3x−=10，求36x+的平方根．15．（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）已知xy++1−3=0．(1)求x，y的值；(2)求xy+的平方根．学科网（北京）股份有限公司 16．（2023上·吉林四平·八年级校考期末）已知21x−的平方根是6,2xy+−1的算术平方根是5，求2xy−+311的平方根．17．（2023上·河北邢台·八年级统考期中）已知正实数x的平方根为a和ab+．（1）当b=6时，x的值为；22（2）若ax+(abx+)=8，则x的值为．18．（2023下·七年级课时练习）已知正数x的平方根是m和m＋b．(1)当b＝8时，求m的值；2222(2)若26mxxmb−=−+x()，求x的值．19．（2023上·江西九江·八年级统考期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与2a11−．(1)求a及m的值；2(2)求关于x的方程ax−=160的解．20．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a−4的立方根是1，b的算术平方根是2，11的整数部分是c．(1)求a，b，c的值；(2)求23a−+bc的平方根．【经典例题三立方根相关的计算】21．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）已知正数a的两个不同平方根分别是22x−和63−x，ab−4的算术平方根是4.(1)求a和b的值；学科网（北京）股份有限公司 2(2)求2ab−+17的立方根.22．（2024上·浙江杭州·七年级统考期末）已知x−6和3x+14是a的两个不同的平方根，26y−是a的立方根.(1)求x，y，a的值.(2)求−−74y的立方根.1123．（2024下·全国·七年级假期作业）已知3x−8与3y−24互为相反数，求xy+的立方根．22124．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）已知23a−的平方根为3，ab+−2的算术平方根为4，求ab+6的立方根．25．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）一个正数x的两个平方根分别是−+a2与21a−．(1)求a和正数x的值．(2)求xa+的立方根．26．（2024下·江西九江·八年级校考期末）已知mn−3mn−+23A=nm−+是nm−+3的算术平方根，B=+m2n是mn+2的立方根，求(AB+)的平方根．学科网（北京）股份有限公司 27．（2022下·湖北恩施·七年级统考期中）已知n−42mn−+43Mm=+4是m+4的算术平方根，Nn=−15是n−15的立方根，试求MN−的值．28．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知x的两个平方根分别是21a−和a−5，且3xy−−=22，求xy+的立方根．29．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）已知一个数的平方根分别为21a+和4−a，24ab++的立方根为2．(1)求a，b的值；(2)求ab+的算术平方根．30．（2022上·陕西渭南·八年级统考期末）已知21a+的一个平方根是3，1−b的立方根为−1．(1)求a与b的值；(2)求ab+2的立方根．【经典例题四实数的混合运算】31．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）计算：2024(1)(−−1)25；23(2)(2)−+27.学科网（北京）股份有限公司 32．（2023上·浙江宁波·七年级校联考期中）计算：2242(1)−2−；932(2)25−(−3)+32−．33．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：3322(1)−27−3−(1)−+8；223(2)(−−−3−−−−(4))812；332(3)−0.125+−−32−+−3−3(2)434．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）计算：23(1)9(3)−−+−8；3(2)1627|1+−+2|−．35．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）计算：20243(1)−1+12++27|32|−；−−12110(2)|7|−+−+(π−3.14)−．4336．（2023上·河南周口·八年级校考期中）计算．33163(1)−27−+0.125+31−464223(2)(−2)+−−8(−2)+−12学科网（北京）股份有限公司 37．（2023下·新疆阿勒泰·七年级校考期中）求下列各式的值22(1)25−4+(−2)(2)33()2−+1−1+4−40038．（2023上·浙江杭州·七年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）计算：21(1)−1−+−8(2)；23(2)82−3−3−；111(3)12（-+）．23439．（2022下·湖北恩施·七年级统考期中）计算：(1)()2396−27−−−；23113(2)−1+−28−−−()．8940．（2023上·河南周口·八年级校联考期中）计算：(1)3()2−27+−9−1；(2)−+−−1632−13()．【经典例题五新定义的实数计算】241．（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定ab※=ab+ab+a，2例如：25※=25++=25262．(1)求52※(−)的值．(2)若(m−2)※214，求m的取值范围．学科网（北京）股份有限公司 42．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）阅读下面文字，然后回答问题．给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为2.420.4−=；2的整数部分为1，小数部分可用21−表示；再如，−2.6的整数部分为−3，小数部分为−2.6−−(3)=0.4．由此我们得到一个真命题．如果2=+xy，其中x是整数，且01y，那么x=1，y=−21．(1)如果7=+ab，其中a是整数，且01b，那么a=______，b=_______；(2)如果−7=+cd，其中c是整数，且01d，那么c=______，d=______；(3)已知37+=+mn，其中m是整数，且01n，求||mn−的值；a(4)在上述条件下，求mabd++()的立方根．43．（2023春·山东济宁·七年级统考期中）【阅读理解】对于正整数n，定义n为不大于n的最大整数，例如：31=，42=，52=．【问题解答】(1)直接写出7的值为______；(2)对72进行如下操作：第一次第二次第三次7272⎯⎯⎯→88221=⎯⎯⎯→=⎯⎯⎯→=，即对72进行3次操作后可变为1．类似地：对25进行______次操作后可变为1；(3)先化简，再求值：−+x(2x−2)−(3x+5)，其中x=10．学科网（北京）股份有限公司 44．（2021春·广东广州·七年级校考阶段练习）定义x等于不超过实数x的最大整数，定义x=−xx，例如=3，=−=−3．(1)填空（直接写出结果）：3=__________，3=__________，33+=__________．(2)计算：2+5+2+5−2+5．45．（2021春·广东汕头·七年级校考期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，14=2，19=3，49=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．(1)请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，______．(2)请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．(3)已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．46．（2023春·广西玉林·七年级统考期中）阅读下面文字，然后回答问题．给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为2.420.4−=；2的整数部分为1，小数部分可用21−表示；再如，−2.6的整数部分为−3，小数部分为−2.6−−3=0.4()．由此我们得到一个真命题．如果2=+xy，其中x是整数，且01y，那么x=1，y=−21．(1)如果7=+ab，其中a是整数，且01b，那么a=______，b=_______；(2)如果−7=+cd，其中c是整数，且01d，那么c=______，d=______；(3)已知37+=mn+，其中m是整数，且01n，求|2mn−|的值；a(4)在上述条件下，求m++abd()的立方根．学科网（北京）股份有限公司 47．（2023秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料，并完成问题解答：2（一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果xa=，那么x叫做a的平方根，22记作xa=，其中a0，例如x=5，那么x=5，即5是5的平方根，也就是二次方程x=5的解是x=5，请你根据以上定义解答下列问题：2(1)解方程：(x−=35)(2)选择题：式子a−2中的a的取值可以是（）A．1B．2C．3D．533（二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果xa=，那么x叫做a的立方根．记作xa=，其中a可以是任意实数，例如：23x=−27，那么x=−27，即x=−3，请你根据以上信息解答下列问题：3(3)解方程：(x−=2216)如果xa4=，那么x叫做a的4次方根，记作4x4=81．那么4xa=，其中a0，例如：如果x=81，即x=3，请你根据以上信息解答下列问题：4(4)填空题：若(x+=1)625，则x的值是________．148．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）规定(ab,)表示一对数对，给出如下定义：m=，anba=b(0,0).将(mn,)与(nm,)称为数对(ab,)的一对“对称数对”．11例如：当a=4，b=1时，m==，n==11，4211数对(4,1)的一对“对称数对”为,1与1,．22(1)数对(9,5)的一对“对称数对”是______与______；(2)若数对(16,y)的一对“对称数”相同，则y的值是多少？(3)若数对(x,3)的一个“对称数对”是(3,1)，则x的值是多少？学科网（北京）股份有限公司 49．（2023春·山东临沂·七年级统考期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：mTn，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“近整区间”为(mn,)，如122，所以2的“近整区间”为(1,2)．(1)无理数5的“近整区间”是_________；无理数−10的“近整区间”是_________；(2)实数x，y满足关系式：y=x−2023+2023−x，求xy+的算术平方根的“近整区间”．250．（2023春·湖南长沙·七年级统考期中）给出定义如下：若点(ab，)满足ab−=ba−()，（a0，b0），2则称这个点为“show点”．如：96−=69−()，故点(96，)是“show点”．42(1)点A(168，)，点B(2515，)，点C，中，是“show点”的是______；999(2)若点Dx，是“show点”，求x的值；4923(3)是否存在点Mmm(，)，使点M是“show点”，若存在，求出−+−mm的值；若不存在，说明理由．【经典例题六实数相关的规律探究题】51．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题：x18.318.418.518.618.718.818.919x²334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.21361(1)350在和之间．（填表中相邻的两个数）(2)346，3.5721=(3)338.56的平方根是．学科网（北京）股份有限公司 11152．（2021春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）观察下列等式：①−=；②242112113−=；③−=．3934164(1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______．(2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含n的式子表示第n个等式所反映的规律为______．53．（2023春·云南昆明·七年级云南师范大学实验中学校考期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据：．．．0.03240.3243.2432.4324324032400．．．．．．0.180.5691.85.691856.9180．．．(1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍；(2)已知72.646，根据上述规律直接写出下列各式的值；0.07________；700________；(3)已知10404102=，x=10.2，y=1020，则x=________，y=________；(4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若33330.30.669，31.442，300________，3000________．254．（2023春·安徽淮南·七年级校联考阶段练习）（1）计算：93+−−π−(3)2（2）求(x−=1)16中的x的值．（3）2到底有多大？下面是小芯探索2的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是2，且21.4设21.4=+x，画出如下示意图．学科网（北京）股份有限公司 2由面积公式，可得x+=222因为x值很小，所以x更小，略去x，得方程，解得x（保留到0.001），即2．55．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）已知一个三位自然数，若满足百位数等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数等于十位数和个位数的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数22既是“和数”又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，321=+，321是“和数”，32=−1，321是“谐数”，321是“和谐数”．(1)最小的和谐数是___________，最大的和谐数是___________．22222222(2)观察下列各式：212121−=+−()()，545454−=+−()()，757575−=+−()()，96(96)(96)−=+−，2284(84)(84)−=+−LL请你用含字母的式子写出你所观察到的一般规律，并证明任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数．(3)已知mb=c+10+3817（07b，14c，且b，c均为整数），是一个“和数”求m的值．56．（2023春·湖北咸宁·七年级统考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：0.0001=0.01,0.01=0.1,11,100==10,10000=100,，(1)归纳：已知数a的小数点的移动与它的算术平方根a的小数点移动间有何规律？(2)①已知21.414,204.47，则0.2=______；②已知3.681.918,a191.8，则a=______；学科网（北京）股份有限公司 33(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知nm20.23,2023，用含n的代数式表示m．57．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）先阅读理解，再回答下列问题：因为12+=12，且122，所以112+的整数部分为1；因为22226+=，且263，所以22+的整数部分为2；因为223312+=，且3124，所以33+的整数部分为3；(1)以此类推，我们会发现nn2+（n为正整数）的整数部分为______，请说明理由．(2)已知20的整数部分为a，132的整数部分为b，求ab+的值．58．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1yz…(1)表格中x=，y=；z=；(2)从表格中探究a与a数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：①已知103.16，则1000≈；②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较a与a的大小．当时，aa；当时，aa=；当时，aa．学科网（北京）股份有限公司 2259．（2022秋·四川成都·七年级石室中学校考期中）观察算式：①1314+==2；②2419+==3；22③35116+==4；④461255+==．根据你发现的规律解决下列问题：(1)写出第5个算式：；(2)写出第n个算式：；111111(3)计算：1+1+1+1+1+1+．13243546579810060．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）观察表格回答下列问题：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=，y=．(2)从表格中探究a与a数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：①已知103.16，则1000≈．②已知2.561.6=，若a=160，则a＝．学科网（北京）股份有限公司