平方根、立方根和实数相关60道计算与规律探究题型专训（6大题型）（解析版）

平方根、立方根和实数相关60道计算与规律探究题（6大题型）【题型目录】题型一解方程中的平方根、立方根题型二平方根相关的计算题型三立方根相关的计算题型四实数的混合运算题型五新定义的实数计算题型六实数相关的规律探究题【经典例题一解方程中的平方根、立方根】1．（2024上·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：2(1)218x=；3(2)(x−=−264)．【答案】(1)x=3(2)x=−2【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程：（1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求立方根的方法解方程即可．2【详解】（1）解：218x=2x=9，解得x=3；3(x−2)=−64（2）解：x−=−24，解得x=−2．学科网（北京）股份有限公司 2．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）求x的值：(1)2x=36；3(2)(x−=18).【答案】(1)x=6(2)x=3【分析】本题主要考查解方程，熟练掌握开平方根以及开立方根是解题的关键．（1）直接开平方解方程即可；（2）直接开立方解方程即可．2【详解】（1）解：x=36，x=6；3(x−=18)（2）解：，x−=12，x=3．33．（2024上·江苏淮安·八年级统考期末）求x的值：21(54x−0−)=．【答案】x=4【分析】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3(x−=1)27先移项、再整体求得，然后利用立方根的性质求解即可．321(54x−0−)=【详解】解：，3(x−=1)27，x−=13，x=4．4．（2022上·江西南昌·七年级校考期中）求解下列方程：2(1)9x−=250；3(2)27(x−3)=−64．5x=【答案】(1)3学科网（北京）股份有限公司 5x=(2)3225x=【分析】（1）先把原方程变形为9，再根据平方根的性质解答，即可求解；364(x−3)=−（2）先把原方程变形为27，再根据立方根的性质解答，即可求解．2【详解】（1）解：9x−=250，2∴9x=25，225x=∴9，5x=解得：3；3273(64x−=−)（2）解：364(x−=−3)∴27，4x−=−3∴3，5x=∴3．【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根的性质和立方根的性质是解题的关键．5．（2023下·湖北襄阳·七年级校联考期中）求下列方程中x的值．2(1)3(2)x−27−=0；3(2)2()1x40++=5．xx==−5,1【答案】(1)(2)x=−4【分析】（1）根据平方根的定义，解方程，即可求解；（2）根据立方根的定义，解方程，即可求解．23(x−2)−27=0【详解】（1）解：2(x−=29)学科网（北京）股份有限公司 ∴x−=23xx=5,=−1解得：；32()x+1+540=（2）解：3(x+1)=−27∴∴x+=−13解得x=−4．【点睛】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．6．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）求下列方程中的x2(1)21(18x−0−)=3(2)−32−=(1x24)xx==−4,2【答案】(1)121x=−(2)2【分析】（1）利用平方根定义解方程；（2）利用立方根定义解方程．221(18x−0−)=【详解】（1）解：221(18x−=)2(x−=19)x−=13x=13xx=4,=−2∴12；3−32(x−1)=24（2）3(2x−1)=−82x−=−1221x=−学科网（北京）股份有限公司 1x=−2．【点睛】此题考查了利用平方根定义及立方根定义解方程，正确掌握平方根定义及立方根定义是解题的关键．7．（2023下·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）求解下列方程：2(1)4(x+5)−=11203(2)(3x−1)−125=0121x=x=−12【答案】(1)2，2(2)x=2【分析】（1）先移项合并同类项，然后开平方，最后解一元一次方程，即可得出方程的解；（2）先移项，然后开立方，最后解一元一次方程，即可得出方程的解．245(1120x+−=)【详解】（1）解：，245(121x+=)移项合并同类项得：，25(x11+=)开平方得：，121x=x=−12解得：2，2．3(31x125−−)=0（2）解：，3(31x125−=)移项得：，开立方得：315x−=，解得：x=2．【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算．8．（2022下·湖北孝感·七年级统考期中）求下列方程中x的值．2(1)(x−=14)31(2)(x−3)+=027【答案】(1)x=3或x=1−学科网（北京）股份有限公司 8x=(2)3【分析】（1）根据平方根的定义解答便可；（2）根据立方根的定义解答便可．【详解】（1）x−=12或x−=−12，=x3或x=1−；31(x−3)=−（2）27，1x−=−33，8x=3．【点睛】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，解题关键是正确运用平方根定义与立方根定义进行计算．9．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）求下列各式中x的值．2(1)1625x=；2(2)x−=412；2(3)271(3x+=)．5x=【答案】(1)4(2)x=442x=−x=−12(3)3，3【分析】此题考查了平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键；（1）方程变形后，利用平方根定义计算即可得出答案；（2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解；（2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解．2【详解】（1）16x=25225x=165x=解得4；学科网（北京）股份有限公司 2（2）x−=4122x=16解得x=4；227(x+=1)3（3）21(x+=1)91x+=1311x+=1x+=−13或342x=−x=−12解得3，3．10．（2023上·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校联考期中）求下列各式中x的值：12(1)x=5；22(2)(1)x−=16．【答案】(1)x=10；(2)x=5或x=−3．【分析】此题考查了运用平方根解方程的能力．（1）整理后，直接运用平方根的定义进行求解即可；（2）运用平方根的定义进行求解即可．12x=5【详解】（1）解：2，2整理，得x=10，开平方，得x=10；2(x−=1)16（2）解：，开平方，得x−=14，解得x=5或x=−3．学科网（北京）股份有限公司 【经典例题二平方根相关的计算】11．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）若x，y都是实数，且y=x−+22−+x3，求11xy+9的平方根．【答案】7【分析】本题考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．先根据算术平方根的被开方数的非负性求出x的值，再代入可求出y的值，然后根据平方根的定义求解即可．x−2020−x【详解】解：由算术平方根的被开方数的非负性得：，解得x=2，yx=x−+−+223y=−+22−+=2233将x=2代入得：，11xy911293+=+=49则，∵49的平方根是7，11xy9+∴的平方根是7．12．（2024上·湖南衡阳·七年级校考期末）已知21x−的平方根为3，且31xy+−的平方根为4，求xy+2的算术平方根．【答案】3yxy+2【分析】本题考查平方根，算术平方根，根据平方根的定义求得x，的值，然后将其代入中计算后利用算术平方根的定义即可求得答案．【详解】解：21x−的平方根为31xy+−3，且的平方根为4，2x−=19x=53xy+−=116y=2，解得：，xy+2=+=5229，9的算术平方根为3，xy+2的算术平方根为3．13．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）已知正数x的两个平方根分别是m+6和2mn−1(1)求代数式mn−+6的值；3学科网（北京）股份有限公司 m(2)当n=12时，求x的算术平方根．1mn−+=64【答案】(1)3；m(2)x的算术平方根是64．【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数．（1）根据正数有两个平方根，它们互为相反数得出36mn−=−，再整体代入即可求解；（2）把n=12代入36mn−=−，求得m=2，进而可求出x的值，进一步计算即可求解．【详解】（1）解：∵正数x的两个平方根是m+6和2mn−，∴mmn++62−=0，∴36mn−=−，111mn−mn+=−6+=−3666(4+=)()∴333；（2）解：∵n=12，∴3m12−6=−，解得m=2，∴m+=68，2∴正数x的值为864=，m2∴x=64，m∴x的算术平方根是64．214．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是23a−和5−a，求a和x的值；（2）若310x−=，求36x+的平方根．2【答案】（1）a=4，x=49（2）7【分析】本题考查了平方根的应用：2（1）根据平方根的定义可得2aa−+−=350，求得a的值，进而求得a和x；（2）根据被开方数为非负数，可得3x−=10，求得x的值，代入求得36x+的平方根即可．【详解】解：（1）2aa−+−=350，解得a=−2，学科网（北京）股份有限公司 22a=−(24)=则，22xa=(5−)=7=49；（2）3x−=10，3x−=10，1x=3，则36x+的平方根是3x+=67．15．（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）已知xy++130−=．(1)求x，y的值；(2)求xy+的平方根．x=−1y=3【答案】(1)(2)2【分析】本题主要考查了非负数的性质，平方根定义，解题的关键是根据非负数的性质求出x=1−，y=3．（1）根据非负数的性质求出x=1−，y=3即可；xy+=2（2）先求出，再求出其平方根即可．xy++130−=【详解】（1）解：∵，x+=10x=−1y−=30y=3∴，解得：．x=−1y=3（2）解：∵，xy+=−+=132∴，xy+∴的平方根为2．16．（2023上·吉林四平·八年级校考期末）已知21x−的平方根是6,2xy+−1的算术平方根是5，求2xy−+311的平方根．学科网（北京）股份有限公司 【答案】9【分析】本题主要考查平方根、算术平方根等知识点，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键．根据平方根和算术平方根的概念列方程求得2x和y的值，然后代入求得其求平方根即可．2x−=1362，x+−=y125【详解】解：由题意知，yx=−112，=37所以，2xy−3+1181=所以，23xy11−+所以的平方根为9．17．（2023上·河北邢台·八年级统考期中）已知正实数x的平方根为a和ab+．（1）当b=6时，x的值为；22（2）若axabx++()=8，则x的值为．【答案】92【分析】本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键．（1）根据正数的两个平方根互为相反数列式求解；2()ab+=xax2=，最后代入求解即可．（2）根据平方根的定义得到，【详解】解：（1）∵正实数x的平方根是a和ab+，++=aab0，b=6，+=2a60，=−a3；∴x=9．故答案为：9；（2）∵正实数x的平方根是a和a＋b，2()ab+=x，ax2=，22ax+(abx+)=8，22xx+=8，学科网（北京）股份有限公司 2=x4，x>0，=x2．故答案为：218．（2023下·七年级课时练习）已知正数x的平方根是m和m＋b．(1)当b＝8时，求m的值；2222(2)若26mx−x=−(mb+)x，求x的值．【答案】(1)m＝－4(2)x=2【详解】（1）∵正数x的平方根是m和m＋b，∴m＋m＋b＝0．∵b＝8，∴2m＋8＝0．∴m＝－4．222226mxxmb−=−+x()（2）∵x为正数，，2226mxmb++(=x)整理，得．∵正数x的平方根是m和m＋b，222(mb+=x)mx2=，代入26mxmb++(=x)∴，．222可得26xx+=，∴36x=．∵x＞0，∴x=2．19．（2023上·江西九江·八年级统考期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与2a11−．(1)求a及m的值；2(2)求关于x的方程ax−=160的解．【答案】(1)a=2，m=49(2)x=22【分析】本题主要考查了平方根的定义，利用平方根解方程；学科网（北京）股份有限公司 （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）根据平方根的定义解方程即可．解题的关键是熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数．【详解】（1）解：由题意得：aa++52−110=，解得：a=2，2=ma+=(549)；2（2）解：原方程为：2x−=160，2=x8，解得：x=22．20．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a−4的立方根是1，b的算术平方根是2，11的整数部分是c．(1)求a，b，c的值；(2)求23abc−+的平方根．【答案】(1)a=5，b=4，c=3(2)23abc−+的平方根是1【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，求一个数的平方根，立方根；（1）根据立方根、算术平方根的概念可得a、b的值，接着估计11的大小，可得c的值，（2）根据（1）的结论，可得23abc−+的值，再根据平方根的求法可得答案．【详解】（1）解：a−4的立方根是1，b的算术平方根是2，−=a41，b=4，=a5，91116，3114，11的整数部分是c，=c3；学科网（北京）股份有限公司 （2）a=5，b=4，c=3，2a−3bc+=−+=253431，23a−bc+的平方根是1．【经典例题三立方根相关的计算】21．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）已知正数a的两个不同平方根分别是22x−和63−x，ab−4的算术平方根是4.(1)求a和b的值；2(2)求217ab−+的立方根.【答案】(1)a=36，b=5.(2)4【分析】本题考查了平方根与立方根的应用；ab,（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求得x=4，进而求得的值；ab,（2）将的值代入代数式，进而求得其立方根，即可求解．【详解】（1）解∶依题意，2263xx−+−0=解得：x=4∴226x−=2∴a==636∵ab−=416∴b=5（2）∵a=36，b=5，2∴2ab−+17=642∴217ab−+的立方根为4.22．（2024上·浙江杭州·七年级统考期末）已知x−6和3x+14是a的两个不同的平方根，26y−是a的立方根.(1)求x，y，a的值.学科网（北京）股份有限公司 (2)求−−74y的立方根.【答案】(1)−2,64,5(2)−3【分析】本题考查了平方根和立方根的综合问题，掌握相关结论即可求解．（1）由题意得x−6+3x+140=，即可求解；−−74y（2）由（1）求出即可求解．【详解】（1）解：∵x−6和3x+14是a的两个不同的平方根，∴x−6+3+x140=，解得：x=−2，∴x−=−−=−62682a=−(8=64)∴，26y−∵是a的立方根，326y64−=4=∴，y=5∴；−−74=−−=−745y27（2）解：，−−74y∴的立方根为−3．1123．（2024下·全国·七年级假期作业）已知3x−8与3y−24互为相反数，求xy+的立方根．22【答案】21133xy−+824−0=【详解】解：由题意，得22，11x−+8y−24=+0,xy=64,22xy+=64=8,xy+的立方根是2．124．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）已知23a−的平方根为3，ab+−2的算术平方根为4，求ab+6的立方根．学科网（北京）股份有限公司 【答案】2【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义，即可得到2a−=39，然后即可求得a的值；同理可以得到6+−=b216，即可得到b的值，进而求得答案．【详解】解：∵23a−的平方根为3，∴2a−=39，∴a=6，∵ab+−2的算术平方根为4，∴ab+−=216，∵a=6，∴6216+−=b，∴b=12，11ab+=+6128=∴66，1ab+∴6的立方根是2．25．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）一个正数x的两个平方根分别是−+a2与21a−．(1)求a和正数x的值．(2)求xa+的立方根．【答案】(1)a=−1，x=9(2)2【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键．（1）根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有aa−+22−=10，解方程得a=1，即一个正数的两个平方根分别为−1和1，利用平方根的定义即可得到这个正数；（2）根据立方根的定义解答即可．【详解】（1）解：一个正数的两个平方根分别为−+a2和21a−，−++aa22−=10，=−a1，学科网（北京）股份有限公司 2这个正数为(12)+=9．x=9；（2）解：a=−1，x=9，+xa=−=918，3+xa的立方根为82=．26．（2024下·江西九江·八年级校考期末）已知mn−3mn−+23A=nm−+是nm−+3的算术平方根，B=+m2n是mn+2的立方根，求(AB+)的平方根．【答案】3【分析】此题主要考查了立方根以及平方根和算术平方根．首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．【详解】解：由题意得：mn−=2，mn−+=233，解得：m=4，n=2，A=−+=24313则，B=+=4222，+AB=+=123，(AB+)3则的平方根为：．27．（2022下·湖北恩施·七年级统考期中）已知n−424mn3−+Mm=+4是m+4的算术平方根，Nn=−15是n−15的立方根，试求MN−的值．3【答案】49+【分析】本题考查了算术平方根，立方根，代数式求值．熟练掌握算术平方根，立方根，代数式求值是解题的关键．2N=33615−=−9由题意知，n−=42，2mn−4+=33，可求nm==6，12，则M=124+=4，，然后代入求解即可．【详解】解：由题意知，n−=42，2mn−4+=33，解得，nm==6，12，2N=3615−=−=−3939∴M=124+=4，，学科网（北京）股份有限公司 3∴MN−=+49，3∴MN−的值为49+．28．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知x的两个平方根分别是21a−和a−5，且3xy−−=22，求xy+的立方根．3【答案】−11【分析】本题考查了平方根，立方根，解决本题的关键是先根据正数的两个平方根互为相反数，求出a的值，y从而确定x的值，再根据立方根求出的值，即可解答．【详解】解：由题意可知2aa150−+−=，=a2，−=213a，2=x=39，3xy−−=23，∴xy−−=227，=−y20，+xy=−11，+xy33−11=−11．的立方根是29．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）已知一个数的平方根分别为21a+和4−a，24ab++的立方根为2．(1)求a，b的值；(2)求ab+的算术平方根．【答案】(1)a=−5，b=14(2)3【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，平方根的概念，根据一个数的立方根求这个数等等，解题的2关键在于熟知平方根和立方根的定义：对于两个实数a、b，若满足ab=，那么a就叫做b的平方根，若满3足ab=，那么a就叫做b的立方根；学科网（北京）股份有限公司 （1）根据一个数的两个平方根互为相反数得到2aa++−=140，解方程求出a，再根据立方根的定义得到3−++=52b42，解方程求出b即可；（2）根据（1）所求求出ab+的值，再根据算术平方根的定义求出答案即可．【详解】（1）解：∵一个数的平方根分别为21a+和4−a，∴2aa++−=140，∴a=−5；∵24ab++的立方根为2，3∴−++=5242b，∴b=14；（2）解：∵a=−5，b=14，∴ab+=9，2∵39=，∴ab+的算术平方根是3．30．（2022上·陕西渭南·八年级统考期末）已知21a+的一个平方根是3，1−b的立方根为−1．(1)求a与b的值；(2)求ab+2的立方根．【答案】(1)a=4，b=2(2)ab+2的立方根是2【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握平方根，立方根的计算方法是解题的关键．根据题意求出ab、的值即可得到答案．【详解】（1）解：21a+的一个平方根是3，2a+=19，解得a=4；1−b的立方根为−1，b−=11，解得b=2；（2）解：a=4，b=2，ab+2=+=4228，ab+2的立方根是2．学科网（北京）股份有限公司 【经典例题四实数的混合运算】31．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）计算：2024(1)(−−1)25；23(2)(2)−+27.【答案】(1)−4(2)5【分析】本题主要考查实数的混合运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据立方根、算术平方根进行求解．（1）根据有理数的乘方以及算术平方根进行计算，即可求解；（2）根据算术平方根与立方根进行计算即可求解．2024【详解】（1）解：(−−1)25=−15=−423(2)−+27=+23=5（2）解：32．（2023上·浙江宁波·七年级校联考期中）计算：2242(1)−2−；932(2)253−32−+(−)．【答案】(1)−4；(2)43−．【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算．（1）先乘方，再根据有理数的乘除混合运算法则计算即可求解；（2）根据实数混合运算的法则计算即可求解．224294−2−=−4【详解】（1）解：9349=−4；2（2）解：25−(−3)+32−=−+−5323=−43．学科网（北京）股份有限公司 33．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：3322(1)−27−3−(1)−+8；223(2)(−3)−(4)−−−−−812；332(3)−0.125+32−−3−+3−(2)−4【答案】(1)-5(2)22−(3)-2【详解】解：（1）原式=−−−+=−33125．=−−−34(2)−−21=−+−(342)+=−2122.（2）原式1913=−+3−(2−3+32−=−+−)23322.−+−=−（3）原式842234．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）计算：23(1)9(3)−−+−8；3(2)1627|1+−+2|−．【答案】(1)−8(2)2【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算即可；（2）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可．239(3)−−+−8=−−392=−8【详解】（1）解：；3（2）解：16+−27|1+−2|=−+4321−=2．35．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）计算：20243(1)−1+12+27|32|+−；学科网（北京）股份有限公司 −−12110(2)|7|−+−+(π−3.14)−．43【答案】(1)43+(2)−5【分析】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．（1）分别根据乘方，算术平方根，立方根以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可；（2）分别根据绝对值的代数意义，负整数指数幂，零指数幂分别化简即可得出答案．【详解】（1）解：原式=−+12332++−=+343．−−12110−+−7(+−−=−+−=−π3.14)74195（2）43．36．（2023上·河南周口·八年级校考期中）计算．33163(1)−27−+0.125+−13464223(2)(−2+−−8)212−+−()3−2【答案】(1)4(2)21−【分析】本题考查了实数的运算．（1）根据立方根、算术平方根的性质化简，再合并即可求解；（2）根据立方根、算术平方根、乘方和绝对值的性质化简，再合并即可求解．331631113−27−+0.125+31−=−−+30.5+3=−+3=−2【详解】（1）解：46426444；223(−2)+−−8(−2)+−12（2）解：=−−−+42212=−2137．（2023下·新疆阿勒泰·七年级校考期中）求下列各式的值22(1)25−4+(−2)(2)33()2−+1−1+4−400【答案】(1)3学科网（北京）股份有限公司 (2)−18【分析】本题主要考查了数的开方运算．（1）先根据数的开方化简各数，再进行计算即可；（2）先根据数的开方化简各数，再进行计算即可；22【详解】（1）解：25−4+(−2)=−+542=3；332（2）−+1(−1)+4−400=−++−11220=−18．38．（2023上·浙江杭州·七年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）计算：21(1)−−182+−()；23(2)82−3−3−；111(3)12（-+）．2347−【答案】(1)2(2)0(3)5【分析】本题主要考查了实数的混合运算．按照实数的混合运算法则计算即可．（1）先算平方，乘除法，最后算加减法．（2）先开立方，去绝对值，最后算加减法．（3）利用乘法分配律计算即可．21117−−182+−()=−−14+−()=−4=−【详解】（1）解：222238−−23−3（2）=−+223−3=011111112（-+）=12+12−+12（3）234234=−+643=539．（2022下·湖北恩施·七年级统考期中）计算：23(1)9−(−6)−−27；学科网（北京）股份有限公司 23113(2)−1+−(2)−−−8．89【答案】(1)08−(2)3【分析】（1）先分别求算术平方根，立方根，然后进行减法运算即可；（2）先分别求有理数的乘方，算术平方根，立方根，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可．23【详解】（1）解：96−27−−−()=−−−363()=0；23113−1+−28−−−()89（2）解：11=−+−182(−−)(−)832=−+−11(−)38=−3．【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，有理数的乘方，实数的混合运算等知识．熟练掌握算术平方根，立方根，有理数的乘方，实数的混合运算是解题的关键．40．（2023上·河南周口·八年级校联考期中）计算：(1)3()2−27+−9−1；(2)−+−−1632−13()．【答案】(1)−1(2)−3【分析】本题考查的是实数的混合运算．（1）分别计算算术平方根，立方根，再合并即可；（2）分别计算算术平方根，化简绝对值，再合并即可．【详解】（1）解：原式=−+−(3)31=−1；（2）解：=−+4(2−3)−(1−3)=−+−4231−+3=−3．学科网（北京）股份有限公司 【经典例题五新定义的实数计算】241．（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定ab※=ab+ab+a，2例如：25※=25++=25262．(1)求52※(−)的值．(2)若(m−2)※214，求m的取值范围．【答案】(1)15(2)m+22【分析】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．2=−525(25+−2010515)+=(−)+=【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式．2(mm−m+2−2)+2−2214()（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得，整理，得71472m+，解得m+22．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握是解题的关键．42．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）阅读下面文字，然后回答问题．给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为2.420.4−=；2的整数部分为1，小数部分可用21−表示；再如，−2.6的整数部分为−3，小数部分为−2.6−−3=0.4()．由此我们得到一个真命题．如果2=+xy，其中x是整数，且01y，那么x=1，y=−21．(1)如果7=+ab，其中a是整数，且01b，那么a=______，b=_______；(2)如果−7=+cd，其中c是整数，且01d，那么c=______，d=______；(3)已知37+=mn+，其中m是整数，且01n，求||mn−的值；a(4)在上述条件下，求m++abd()的立方根．学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)2，72−(2)−3，37−(3)77−(4)3【分析】（1）估算出273，即可确定a，b的值；（2）估算出273，可得−−37−2，即可确定c，d的值；（3）根据题意确定出m，n的值，代入求值即可；（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可．【详解】（1）解：Q7=+ab，其中a是整数，且01b，又273，=a2，b=−72，故答案为：2，72−；（2）解：−=+7cd，其中c是整数，且01d，又Q−−372−，=−c3，d=−37，故答案为：−3，37−；（3）解：Q37+=+mn，其中m是整数，且01n，=m5，n=−72，mn−=−5(72−)=−77；a=52+2723−+−7（4）解：m++abd()()=2521+=+252=27，am+abd(+)327=3的立方根为：．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分．学科网（北京）股份有限公司 43．（2023春·山东济宁·七年级统考期中）【阅读理解】对于正整数n，定义n为不大于n的最大整数，例如：31=，42=，52=．【问题解答】(1)直接写出7的值为______；(2)对72进行如下操作：第一次第二次第三次72⎯⎯⎯→72=⎯⎯⎯→88=⎯⎯⎯→22=1，即对72进行3次操作后可变为1．类似地：对25进行______次操作后可变为1；(3)先化简，再求值：−+xxx−(2−2+35)()，其中x=10．【答案】(1)2；(2)三(3)−−27x，−13【分析】（1）先确定7的取值范围，再根据定义求解即可；（2）根据题中的步骤，对25依次进行运算，求解即可；（3）根据整式的加减运算进行化简，再求得x的值，代入求解即可．【详解】（1）解：∵479∴27372=根据题中的定义，可得故答案为：2第一次第二次第三次2525⎯⎯⎯→55221=⎯⎯⎯→=⎯⎯⎯→=（2）解：，对25进行三次操作后可变为1故答案为：三−+x(2x−2)−(3x+5)=−+x2x−−23x−=−52x−7（3）解：，∵91016∴3104学科网（北京）股份有限公司 x=10=3∴将x=3代入得，原式=−−=−23713【点睛】此题考查了无理数的估算，新定义问题，整式的化简求值，解题的关键是理解新定义规则，掌握无理数的估算方法．44．（2021春·广东广州·七年级校考阶段练习）定义x等于不超过实数x的最大整数，定义x=−xx，例如=3，=−=−3．(1)填空（直接写出结果）：3=__________，3=__________，33+=__________．(2)计算：25+2+5+2−5+．【答案】(1)1，31−，3(2)35+xxxx=−【分析】（1）定义等于不超过实数x的最大整数，定义，依此即可求解；[]xx[]1x+xxx=−[]（2）根据与求值后，再计算加减法即可求解．31=3=31，−+=+33131−=3，【详解】（1）．故答案为：1，31−，325+2+5+2−5+=+3253+−−212++=+35；（2）故答案为：35+．xxx=−[]【点睛】此题考查新定义，无理数的估算，实数的混合运算，注意的应用．45．（2021春·广东汕头·七年级校考期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，14=2，19=3，49=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．(1)请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，______．(2)请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．(3)已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)不是(2)4，12(3)81【分析】（1）根据“和谐组合”的定义，进行判断即可；（2）根据“和谐组合”的定义求解即可；（3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可．【详解】（1）解：∵312=6，332=46，1232=86，46,86∵，不是整数，∴3，12，32不是“和谐组合”；故答案为：不是；（2）证明：∵218=6，28=4，18812=∴2，18，8这三个数是“和谐组合”∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；（3）分三种情况：①当925a时，25aa39=得：a=0（舍去）25a=②当a925时，925=39a，得：9（舍去）③当925a时，25a3925=．得：a=81．综上所述，a的值为81．【点睛】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则．46．（2023春·广西玉林·七年级统考期中）阅读下面文字，然后回答问题．给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为2.420.4−=；2的整数部分为1，小数部分可用21−表示；再如，−2.6的整数部分为−3，小数部分为−2.6−−(3)=0.4．由此我们得到一个真命题．如果2=+xy，其中x是整数，且01y，那么x=1，y=−21．(1)如果7=+ab，其中a是整数，且01b，那么a=______，b=_______；(2)如果−7=+cd，其中c是整数，且01d，那么c=______，d=______；学科网（北京）股份有限公司 (3)已知37+=mn+，其中m是整数，且01n，求|2mn−|的值；a(4)在上述条件下，求m++abd()的立方根．【答案】(1)2，72−(2)−3，37−(3)12−7(4)3【分析】（1）估算出273，即可确定a，b的值；（2）估算出273，可得−−372−，即可确定c，d的值；（3）根据题意确定出m，n的值，代入求值即可；（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可．【详解】（1）解：Q7=+ab，其中a是整数，且01b，又273，=a2，b=−72，故答案为：2，72−；（2）−=+7cd，其中c是整数，且01d，又Q−−372−，=−c3，d=−37，故答案为：−3，37−；（3）Q37+=mn+，其中m是整数，且01n，=m5，n=−72，2mn−=10−(72−)=12−7；学科网（北京）股份有限公司 am++abd()（4）2=5+2(723−+−7)=2521+=+252=27，a+m+abd()327=3．的立方根为：【点睛】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分．47．（2023秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料，并完成问题解答：2（一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果xa=，那么x叫做a的平方根，22记作xa=，其中a0，例如x=5，那么x=5，即5是5的平方根，也就是二次方程x=5的解是x=5，请你根据以上定义解答下列问题：2(1)解方程：(x−=35)(2)选择题：式子a−2中的a的取值可以是（）A．1B．2C．3D．533（二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果xa=，那么x叫做a的立方根．记作xa=，其中a可以是任意实数，例如：23x=−27，那么x=−27，即x=−3，请你根据以上信息解答下列问题：3(3)解方程：(x−=2216)如果xa4=，那么x叫做a的4次方根，记作4x4=81．那么4xa=，其中a0，例如：如果x=81，即x=3，请你根据以上信息解答下列问题：4(4)填空题：若(x+=1)625，则x的值是________．【答案】(1)x=35(2)D(3)x=8(4)4或−6学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）根据被开方数大于等于零，得出a−20，即a2进行判断即可；（3）根据立方根的定义解方程即可；4(x+=1)625x+=14625，即x+=15，解关于x的方程即可．（4）根据得出2(x−=35)【详解】（1）解：∵，∴x-35=±，∴x=35．（2）解：要使式子a−2有意义，则a−20，∴a2，∵52321，∴a的取值可以是5，故D正确．故选：D．3(x−=2216)（3）解：∵，3∴x−=2216，即x−=26，解得：x=8．4(x+=1)625（4）解：∵，4∴x+=1625，即x+=15，x=4x=−6解得：1，2．故答案为：4或−6．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算．学科网（北京）股份有限公司 148．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）规定(ab,)表示一对数对，给出如下定义：m=，an=ba(0,b0).将(mn,)与(nm,)称为数对(ab,)的一对“对称数对”．11例如：当a=4，b=1时，m==，n==11，4211数对(4,1)的一对“对称数对”为,1与1,．22(1)数对(9,5)的一对“对称数对”是______与______；(2)若数对(16,y)的一对“对称数”相同，则y的值是多少？(3)若数对(x,3)的一个“对称数对”是(3,1)，则x的值是多少？11，55，【答案】(1)3，31y=(2)16(3)x=1【分析】（1）利用对称数对”的规定解答即可；y（2）利用对称数对”的定义列出关于的等式解答即可；（3）利用对称数对”的定义列出关于x的等式解答即可．11m==【详解】（1）93，n=5，11(),55,.数对9,5的一对“对称数对”是3与311,55,故答案为：3；3．(16,y)（2）数对的一对“对称数”相同，1=y16，1=y16．(x,3)(3,1)（3）数对的一个“对称数对”是，学科网（北京）股份有限公司 1=1x，=x1．【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．49．（2023春·山东临沂·七年级统考期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：mTn，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“近整区间”为(mn,)，如122，所以2的“近整区间”为(1,2)．(1)无理数5的“近整区间”是_________；无理数−10的“近整区间”是_________；(2)实数x，y满足关系式：yx=x−+−20232023，求xy+的算术平方根的“近整区间”．(2,3)(−−4,3)【答案】(1)；；(44,45)(2)【分析】（1）根据“近整区间”的定义，确定5和−10介于哪两个整数之间，即可得到答案；（2）根据算术平方根被开方数大于等于0，求得x=2023，y=0，进而得到xy+的算术平方根为2023，即可求出其“近整区间”．22【详解】（1）解：Q24593==，253，无理数5的“近整区间”是(2,3)；22Q3910164==，3104，−−410−3，无理数−10的“近整区间”是(−−4,3)，(2,3)(−−4,3)故答案为：；；学科网（北京）股份有限公司 Qy=x−2023+2023−x（2）解：，−x20230，2023-³x0，=x2023，y=0，+xy的算术平方根为2023，22Q44=1936202345=2025，44202345，+xy的算术平方根的“近整区间”是(44,45)．【点睛】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法，正确理解“近整区间”的定义是解题关键．250．（2023春·湖南长沙·七年级统考期中）给出定义如下：若点(ab，)满足ab−=ba−()，（a0，b0），2则称这个点为“show点”．如：96−=69−()，故点(96，)是“show点”．42(1)点A(168，)，点B(2515，)，点C，中，是“show点”的是______；999(2)若点Dx，是“show点”，求x的值；4923(3)是否存在点Mmm(，)，使点M是“show点”，若存在，求出−+−mm的值；若不存在，说明理由．B(2515，)【答案】(1)15x=(2)49；23(3)−+−mm的值为0或−2．【分析】（1）根据“show点”的定义，计算即可判断；（2）根据“show点”的定义，列出方程，解方程即可求解；（3）根据“show点”的定义，求得m的值，再代入计算即可求解．2【详解】（1）解：点A(168，)，16848−=−=−4，(814814)−=−=−6，A(168，)故点不是“show点”；2点B(2515，)，2515515−=−=−10，(15)−251525=−=−10，学科网（北京）股份有限公司 B(2515，)故点是“show点”；2424222424242C，−=−=−=−=−点99，99399，99999，42C，故点99不是“show点”；B(2515，)故答案为：；9Dx，（2）解：∵点49是“show点”，99239−=xx−()−=−xx∴4949，整理得749，15x=解得49；Mmm(，)（3）解：∵点是“show点”，2mm−=−m=m()0∴，整理得mm=，∴m=1或m=0，233当m=1时，−+−mm=−+−=−−=−11112；233当m=0时，−+−mm=+−=000．23综上，−+−mm的值为0或−2．【点睛】本题考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“show点”的定义是解题的关键．【经典例题六实数相关的规律探究题】51．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题：x18.318.418.518.618.718.818.919x²334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.21361(1)350在和之间．（填表中相邻的两个数）(2)346，3.5721=(3)338.56的平方根是．学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)18.6,18.8(2)18.7，1.89(3)18.422【分析】（1）结合表格中数据可得18.7=349.69，18.8=353.44，即可求解；（2）先根据表中数据得出346在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可；（3）根据平方根的定义即可求解．22【详解】（1）解：∵18.7=349.69，18.8=353.44，349.69350353.44，∴350在18.7和18.8之间，故答案为：18.7,18.8；22（2）解：∵18.6=345.96，18.7=349.69，∴346在18.6和18.7之间，∴34618.6，2∵1.89=3.5721，∴3.57211.89=，故答案为：18.7，1.89；2(18.4=338.56)（3）解：∵,∴338.56的平方根是18.4，故答案为：18.4．【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键．11152．（2021春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）观察下列等式：①−=；②242112113−=；③−=．3934164(1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______．(2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含n的式子表示第n个等式所反映的规律为______．学科网（北京）股份有限公司 112113−=−=【答案】(1)5255，101001011n−=2nn++11(n+1)(2)（n为正整数），见解析【分析】（1）根据前3个等式反映的规律解答即可；11n−=2nn++11(n+1)（2）利用（1）的解答可得规律：，然后利用算术平方根的定义证明即可．111−=【详解】（1）解：第1个等式为：242；112−=第2个等式为393；113−=第3个等式为：4164；1142−==所以猜想第4个等式为：52555；……，119113−=−=2第9个等式为：101010，即1010010；112113−=−=故答案为：5255，1010010；11n−=2nn++11(n+1)（2）第n个等式所反映的规律为：；11n+11nn−=−==2222nn++11(n+1)(n+1)(n+1)(n+1)证明：∵n为正整数，；11n−=2nn++11(n+1)∴（n为正整数）．【点睛】本题考查了算术平方根的运算和规律问题，正确得出规律是解题关键．53．（2023春·云南昆明·七年级云南师范大学实验中学校考期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据：学科网（北京）股份有限公司 ．．．0.03240.3243.2432.4324324032400．．．．．．0.180.5691.85.691856.9180．．．(1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍；(2)已知72.646，根据上述规律直接写出下列各式的值；0.07________；700________；(3)已知10404102=，x=10.2，y=1020，则x=________，y=________；(4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若33330.30.669，31.442，300________，3000________．【答案】(1)100.2646,26.46(2)；104.04,1040400(3)；6.69,14.42(4)【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律；（2）利用（1）中的规律进行求解；（3）利用（1）中的规律进行求解；（4）类比（1）的规律，求解即可．【详解】（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍，故答案为：10；（2）0.070.2646，70026.46，0.2646,26.46故答案为：；（3）10404102=，x=10.2，y=1020，x=104.04，y=1040400，104.04,1040400故答案为：；（4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，3331.442若30.669，，学科网（北京）股份有限公司 333006.69，300014.42，6.69,14.42故答案为：．【点睛】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过已知的数据找出小数点移动的规律是解题的关键．254．（2023春·安徽淮南·七年级校联考阶段练习）（1）计算：93+−π−(−3)2（2）求(x−=1)16中的x的值．（3）2到底有多大？下面是小芯探索2的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是2，且21.4设21.4=+x，画出如下示意图．2由面积公式，可得x+=222因为x值很小，所以x更小，略去x，得方程，解得x（保留到0.001），即2．2【答案】（1）π−3；（2）x=5或x=−3．（3）xx++2.81.96；2.81.962x+=；0.014；1.414【分析】（1）先计算算术平方根，绝对值，再合并即可；（2）利用平方根的含义可得x−=14或x−=−14，再解两个一次方程即可；22（3）由21.4，设21.4=+x，由面积公式，可得xx++2.81.96=2因为x值很小，所以x更小，略2去x，得方程2.8x+=1.962，再解方程可得答案．2【详解】解：（1）93+−π−(−3)=+−−3π33=−π3；2(x−=1)16（2），∴x−=14或x−=−14，解得：x=5或x=−3．学科网（北京）股份有限公司 （3）∵21.4，设21.4=+x，画出如下示意图．2由面积公式，可得xx++2.81.96=222因为x值很小，所以x更小，略去x，得方程2.81.962x+=，解得x0.014（保留到0.001），即21.414．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，无理数的估算，完全平方公式的应用，掌握以上基础运算是解本题的关键．55．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）已知一个三位自然数，若满足百位数等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数等于十位数和个位数的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数22既是“和数”又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，321=+，321是“和数”，32=−1，321是“谐数”，321是“和谐数”．(1)最小的和谐数是___________，最大的和谐数是___________．22222222(2)观察下列各式：212121−=+−()()，545454−=+−()()，757575−=+−()()，96(96)(96)−=+−，2284(84)(84)−=+−LL请你用含字母的式子写出你所观察到的一般规律，并证明任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数．(3)已知mb=c+10+3817（07b，14c，且b，c均为整数），是一个“和数”求m的值．【答案】(1)①110；②954(2)证明见解析；(3)m=880或853或826【分析】（1）根据“和数”和“谐数”的概念即可解答；1x9)yy(19)zx(19)（2）设“谐数”的百位数字为x(，十位数字为,个位数字为即可解答；（3）先判断2+b29，103c+719，再利用“和数”的概念即可解答．学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵这个数是三位数，∴百位上为最小的自然数1，∵“和谐数”满足百位数等于十位数字与个位数字的和，∴十位数字与个位数字为1和0，∵“和谐数”满足百位数等于十位数和个位数的平方差，∴十位数字为1，个位数字为0，∴最小的“和谐数”为110，故答案为110；∵这个数是三位数，∴百位上为最大的自然数9，∵“和谐数”满足百位数等于十位数字与个位数字的和，∴十位数字与个位数字为1和8，2和7，3和6，4和5，∵“和谐数”满足百位数等于十位数和个位数的平方差，∴十位数字为5，个位数字为4，∴最大的“和谐数”为954，故答案为954；19)xyy(19)zx(19)（2）解：设“谐数”的百位数字为x(，十位数字为,个位数字为，22xy=z−yz=+−yz()()∴，xyz++=yzyz+(−++=)(yz+−+)yzyz()(1)∴,yz+yz−∵，是奇偶性相同，yz+yz−+1∴，必然是一奇一偶，(yzyz+)(−+1)∴必然是偶数，∴任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）解：∵07b，∴2+b29，∵14c，∴33c12，∴103c+719，学科网（北京）股份有限公司 ∴m=10b+3c+817=8100+(b+110)+(3c+7)=8100+(b+2)10+(3c+−710)=8100+(b+2)10+(3c−3)∵m为和数，∴8=++bc23−3，即bc+=39，b=6b=3b=0c=1c=2c=3∴或或，∴m=880或853或826．【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的运算，不等式的性质，理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念是解题的关键．56．（2023春·湖北咸宁·七年级统考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：0.00010.01,0.01=====0.1,11,10010,10000100,，(1)归纳：已知数a的小数点的移动与它的算术平方根a的小数点移动间有何规律？(2)①已知21.414,204.47，则0.2=______；②已知3.681.918,191.8a，则a=______；33(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知nm20.23,2023，用含n的代数式表示m．【答案】(1)数a的小数点每移动两位它的算术平方根a的小数点相应移动一位；(2)①0.447；②36800；6(3)n10．【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律；（2）根据规律即可得出答案；（3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题．【详解】（1）∵0.00010.010.010.1111001010000100=，=，=，=，=，，学科网（北京）股份有限公司 ∴规律是：数a的小数点每每向右移两位，它的算术平方根a的小数点相应向右移一位；（2）①∵204.47，∴0.2=0.447；②∵3.681.918，a191.8，∴a=36800．故答案为：①0.447；②36800；3333（3）∵0.0010.1111000101000000100=，=，=，=，，∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；33∵nm20.23，2023，6∴mn=n=100000010．【点睛】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键．57．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）先阅读理解，再回答下列问题：因为1212+=，且122，所以112+的整数部分为1；因为22226+=，且263，所以22+的整数部分为2；因为223312+=，且3124，所以33+的整数部分为3；(1)以此类推，我们会发现nn2+（n为正整数）的整数部分为______，请说明理由．(2)已知20的整数部分为a，132的整数部分为b，求ab+的值．【答案】(1)n，理由见解析(2)152222【分析】（1）比较被开方数与所给数值的大小，可发现：nn+n(n+1)；故nn+的整数部分为n．2（2）先根据nn+的整数部分为n，得到a，b，再代入计算即可求解．【详解】（1）解：整数部分是n．理由：∵n为正整数，学科网（北京）股份有限公司 22∴n+nn，22n+=nnn(+11)(n+)∴，222nn+n(n+1)∴，2即nnn++n1，2∴nn+（n为正整数）的整数部分为n．2（2）解：∵20=+44∴20的整数部分为4∴a=42∵13211=+11∴132的整数部分为11∴b=11∴ab+=15【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是找到相应的规律；并根据规律得出结论．58．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1yz…(1)表格中x=，y=；z=；(2)从表格中探究a与a数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：①已知103.16，则1000≈；②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较a与a的大小．当时，aa；当时，aa=；当时，aa．【答案】(1)0.1；10；100(2)①31.6；②10000m学科网（北京）股份有限公司 (3)01a；a=1或0；a1【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可．y==10010【详解】（1）x==0.010.1，，z==10000100．故答案为：0.1；10，100；（2）①∵103.16，∴100031.8．②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，∴bm=10000．故答案为：31.6；10000m；（3）由表格中数据可知：当01a时，aa；当a=1或0时，aa=；当a1时，aa，故答案为：01a；a=1或0；a1．【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．2259．（2022秋·四川成都·七年级石室中学校考期中）观察算式：①1314+==2；②2419+==3；22③35116+==4；④461255+==．根据你发现的规律解决下列问题：(1)写出第5个算式：；(2)写出第n个算式：；111111(3)计算：11+1111+++++．1324354657981002【答案】(1)57136+==62nn(+2)1(+=n+1)(2)学科网（北京）股份有限公司 99(3)50【分析】（1）根据题意找出规律：等式左边第一个数为一系列正整数，第二个数比第一个数大2，再加上1，等式右边是左边积中两个因数和的一半的平方，从而可得答案；（2）根据（1）中的规律，写出第n个算式即可；（3）利用（1）中的规律进行计算即可．2【详解】（1）解：由题意得：第5个算式为：57136+==6；2nn(2)1(n++=+1)（2）解：由题意得：第n个算式为：；11111111+11+11++++132435465798100（3）解：131241351461571++++++981001=......1324354657981002222222345699=......13243546579810022334455669999=××××××...××13243546579810029999==×110050；【点睛】题考查的是有理数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律解题”是关键．60．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）观察表格回答下列问题：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=，y=．(2)从表格中探究a与a数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：①已知103.16，则1000≈．②已知2.561.6=，若a=160，则a＝．【答案】(1)0.1；10(2)①31.6；②25600学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．22【详解】（1）解：∵0.1==0.0110，100，y==10010∴x==0.010.1，．故答案为：0.1；10．（2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，已知103.16，则1000=31.6，故答案为：31.6；②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，已知2.561.6=，则25600160=，∵a=160，∴a=25600．故答案为：25600．【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司