二次根式 重难点题型专训（8大题型 15道拓展培优）（解析版）

二次根式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一求二次根式的值题型二根据二次根式有意义的条件求参题型三利用二次根式被开方数的非负性求值题型四根据二次根式是整数求字母的值题型五利用二次根式的性质化简题型六数轴与二次根式的化简问题题型七根据含隐含条件的参数范围化简二次根式题型八复合二次根式的化简【知识梳理】知识点一.二次根式的定义形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.知识点二.二次根式有无意义的条件：（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．知识点三.二次根式的性质：（1）a0，a0（双重非负性）．2（2）(a)=a,a0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．222应用：在实数范围内分解因式：4m−=7(2)m−(7)=(2m+7)(2m−7)aa,02（3）aa==−aa,0（4）ab=a·b（a≥0，b≥0）学科网（北京）股份有限公司 aa（5）=（a≥0，b>0）bb知识点四.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【经典例题一求二次根式的值】【例1】（2022下·浙江绍兴·八年级统考期末）当x＝1时，二次根式42−x的值等于（）A．4B．0C．2D．2【答案】C【分析】把x=1代入42−x解题即可【详解】解：把x=1代入42−x得，42−=2故选：C．【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．【变式训练】1．（2020下·内蒙古·八年级校考期中）a是任意实数，下列各式中：①a+2；②42(2)−a；③a+3；④22aa++69；⑤a−3，一定是二次根式的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【详解】∵二次根式a必须满足a0学科网（北京）股份有限公司 ∴只有②③④可以确定被开方数非负一定是二次根式的个数是3个故选C【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．2．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期末）代数式n2+4的最小值为．【答案】2【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．2【详解】解：根据题意可得n0，2∴n+442+n=442，2∴n+4的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．21x−x−23．（2022·河南·模拟预测）求代数式(1)−−x÷的值，其中x＝2．x−12xx−+21【答案】-2+2【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再把x的值代入化简后的式子进行计算即可．221x−x−1x−2−2【详解】解：原式=（x−1x−1）÷（x−1）2（x−1）22xx−=x−1·x−22−−（xx2）（x−1）=x−1·x−2=−−（xx1）2=-xx+2−(2)+2当x＝2时，原式==-2+2．【点睛】本题考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．【经典例题二根据二次根式有意义的条件求参】学科网（北京）股份有限公司 1【例2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数yx=2−+中，自变量x的取值范围为（）．x−3A．x2B．x=3C．x2且x3D．x3【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数、分式有意义的条件是分母不为零成为解题的关键．1yx=2−+【详解】解：∵x−3，x−20x−30∴，解得：x2．故选A．【变式训练】11．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）使函数fx()=有意义，则x的取值范围是（）21x−1111A．xB．−xC．xD．x2222【答案】C【分析】由被开方式是分式，再根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．10【详解】解：由题意得：21x−，1x解得：2，故选：C．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．2．（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知yx=x−−−+332，则xy=．【答案】6【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，确定x，y的值，后求代数式的值即可．y=x−−33−+x2【详解】∵，xx−30,3−0∴，解得x=3，学科网（北京）股份有限公司 ∴y=2，xy=6∴，故答案为：6．3．（2023下·江苏苏州·八年级校考开学考试）（1）已知a、b为实数，且a−+525−=+ab4，求ab−的平方根．2（2）已知实数a满足2021−a+a−2022=a，求a−2021的值．【答案】（1）3；（2）2022【分析】（1）根据a−5和5−a均有意义，得出a=5，则b+=40，求出b的值，即可求解；2（2）根据a−2022有意义，得出a2022，推出aa−a+2021−=2022，则a−=20222021，即可求解．【详解】解：（1）∵a−5和5−a均有意义，∴a=5，∴b+=40，解得：b=−4，ab−=−−549(=)∴，∴ab−的平方根为=93；（2）∵a−2022有意义，∴a2022，20212022−+a−a=−a2021a+2022−∴，20212022−+a−a=a∵，∴a−2021+a−2022=a，a−=202220212∴，则a−=20222021，2aa−a=−2021−2022=2022()∴．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中被开方数为非负数．【经典例题三利用二次根式被开方数的非负性求值】学科网（北京）股份有限公司 【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知