分式方程及应用压轴（解析版）

分式方程及应用压轴考点一：解分式方程考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值考点三：分式方程的特殊解问题考点四：分式方程的无解（增根）问题考点五：分式方程的应用问题【考点一：解分式方程】【典例1】（2023春•万源市校级期末）解方程：（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．【变式1-1】（2023•青秀区校级模拟）解方程：+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2（x+1）+2x＝5x，去括号得：2x+2+2x＝5x，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．1学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移项合并得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-3】（2023秋•石河子校级期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【变式1-4】（2023秋•铁岭县期末）解方程：（1）（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：15x﹣12+x﹣3＝6x+5，移项合并得：10x＝20，2学科网（北京）股份有限公司 解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】【典例2】（2023秋•绥中县期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，∴＝，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解．故选：C．【变式2-1】（2023秋•常德期末）已知关于x的分式方程的解为x＝4，则a的值为（）A．4B．3C．0D．﹣6【答案】D【解答】解：将x＝4代入方程，得：，解得a＝﹣6，故选：D．【变式2-2】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【答案】D3学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：把x＝1代入分式方程得：＝，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【变式2-3】（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，∴＝，即＝1，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解，所以原方程的解为a＝﹣1，故选：C．【变式2-4】（2023秋•绵阳期末）已知x＝2是关于x的分式方程的解，则a＝．【答案】．【解答】解：把x＝2代入关于x的分式方程得：，，4a＝1，，检验：当时，2a≠0，4学科网（北京）股份有限公司 ∴是分式方程的解，故答案为：【考点三：分式方程的特殊解问题】【典例3】（2023秋•南陵县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≠3D．m＞4且m≠3【答案】A【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，解得x＝4﹣m．∵x为正数，∴4﹣m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3．∴m的取值范围是m＜4且m≠3．故选：A．【变式3-1】（2023秋•陵城区期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a＞1且a≠2B．a＜1C．a≥1且a≠2D．a≤1且a≠﹣2【答案】C【解答】解：，方程两边同时乘2（x﹣2）得：2（x﹣a）＝x﹣2，2x﹣2a＝x﹣2，2x﹣x＝2a﹣2，x＝2a﹣2，∵关于x的分式方程的解为非负数，∴2a﹣2≥0，5学科网（北京）股份有限公司 2a≥2，a≥1，∵分式的分母x﹣2≠0，∴x≠2，即2a﹣2≠2，解得：a≠2，∴a≥1且a≠2，故选：C．【变式3-2】（2023秋•重庆期末）若关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．【答案】5．【解答】解：，解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x＞a﹣2，∵原不等式组的解集为x≥3，∴a﹣2＜3，∴a＜5；解分式方程，得y＝，∵y＝1是原分式方程的增根，∴a≠4，∵≥0，∴a≥2；综上，2≤a＜5，且a≠4，∴满足条件的整数a为2或3，2+3＝5，故答案为：5．6学科网（北京）股份有限公司 【考点四：分式方程的无解（增根）问题】【典例4】（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（）A．0B．1C．1或5D．5【答案】B【解答】解：+＝1，方程两边同时乘以x﹣5得：2﹣（a+1）＝x﹣5，去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣a，∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1，故选：B．【变式4-1】（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（）A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5【答案】B【解答】解：，去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），∴（5+k）x＝3+k，∵关于x的分式方程无解，∴分两种情况：当5+k＝0时，k＝﹣5，当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，当x＝0时，0＝3+k，∴k＝﹣3，当x＝1时，5+k＝3+k，∴k不存在，故不符合题意，综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．7学科网（北京）股份有限公司 故选：B．【变式4-2】（2023秋•凉州区期末）若分式方程无解，则k的值为（）A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程无解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2，故选：C．【变式4-3】（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，综上，m的值为﹣2或1．故答案为：﹣2或18学科网（北京）股份有限公司 【考点五：分式方程的应用问题】【典例5】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×15+＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天），则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：该工程的费用为225000元．【变式5-1】（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，9学科网（北京）股份有限公司 根据题意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分钟，经检验x＝300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）∵300×2＝600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．【变式5-2】（2023秋•商丘期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，由题意得＝﹣2.5，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，则2x＝2×100＝200．答：第二次购进200件文具；（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30＝470（元）；第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125＝375（元），两笔生意是盈利：利润为470+375＝845元．【变式5-3】（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．10学科网（北京）股份有限公司 （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，依题意，得：700m+500×≤14500，解得：m≥10．所以m最小值是10．答：至少应安排甲队工作10天．1．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）【答案】B【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故选：B．11学科网（北京）股份有限公司 2．（2023秋•阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是2千米/小时，求设轮船在静水中的速度为x千米/小时，是下列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设船在静水中航行的速度为x千米/时（1分）则+＝故选：B．3．（2023秋•广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3xkm/h．依题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设甲的速度为3x千米/时，则乙的速度为4x千米/时．根据题意，得﹣＝．故选：D．4．（2023秋•秦皇岛期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由分式方程的解是非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3，故选：C．12学科网（北京）股份有限公司 5．（2023秋•冠县期末）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（）A．2B．1C．0D．任何数【答案】B【解答】解：＝﹣3，去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．合并同类项，得2x＝6﹣2k．x的系数化为1，得x＝3﹣k．∵分式方程＝﹣3产生增根，∴3﹣k＝2．∴k＝1．故选：B．6．（2023秋•宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解为非负数，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m≤8且m≠7C．m≥﹣2且m≠7D．m≥﹣2【答案】B【解答】解：∵x⊕（2x﹣m）＝3，∴，解方程得：x＝8﹣m；由于方程有解，则8﹣m≠1，即m≠7；由题意得：8﹣m≥0，解得：m≤8；综合起来，m的取值范围为m≤8且m≠7；故选：B．7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，﹣}＝的解为（）A．﹣1或2B．2C．﹣1D．无解13学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解答】解：①当x＞0时，有＞﹣，∴min{，﹣}＝﹣，即﹣＝，解得x＝﹣1（不合题意舍去）；②当x＜0时，有＜﹣，∴min{，﹣}＝，即＝，解得x＝2（不合题意舍去）；综上所述，方程min{，﹣}＝无解，故选：D．8．（2023秋•崆峒区期末）分式与互为相反数，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【答案】C【解答】解：由题意得，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（）A．B．C．10D．或10【答案】D【解答】解：当5＞x时，∵5※x＝2，14学科网（北京）股份有限公司 ∴＝2，解得x＝．经检验，x＝符合题意，是分式方程的解．当5＜x时，∵5※x＝2，∴＝2．解得x＝10．经检验，x＝10符合题意，是分式方程的解．故选：D．10．（2023秋•开州区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程3﹣的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为．【答案】13．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜﹣a，∵不等式组无解，∴﹣a≤﹣1，即a≥1，3﹣，3（y﹣2）+a＝y，3y﹣6+a＝y，解得y＝3﹣a，∵分式方程的解为正数，∴3﹣a＞0且3﹣a≠2，解得a＜6且a≠2，∴a的取值为1≤a＜6且a≠2，∴所有满足条件的整数a的值的和为1+3+4+5＝13，15学科网（北京）股份有限公司 故答案为：13．11．（2023秋•虹口区校级期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是．【答案】a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．【解答】解：+＝，去分母，得（x﹣1）（x+1）+（3﹣x）（x﹣3）＝3x+a，去括号、合并同类项，得3x＝a+10，等号两边同除以3，得x＝（x≠3，且x≠﹣1），∵x＝3或x＝﹣1是原分式方程的增根，∴a≠﹣1，且a≠﹣13，∵＜0，∴a＜﹣10，∴a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10，故答案为：a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．12．（2022秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是3或1．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，整理，得：（a﹣1）x＝2，当x＝1时，分式方程无解，则a﹣1＝2，解得：a＝3；当整式方程无解时，a＝1，故答案为：3或1．13.（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．（1）；（2）．【答案】见试题解答内容16学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1）原方程变形得：，方程两边同乘以最简公分母（x﹣3）得：1＝2（x﹣3）﹣x，整理的：1＝2x﹣6﹣x，移项得：x＝7，检验：当x＝7时，x﹣3＝7﹣3＝4≠0，所以，x＝7，是原方程的根，（2）方程两边同乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，合并同类项得：x＝1，检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，所以，x＝1是原方程的增根，所以，原分式方程无解．14．（2023秋•南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用这条自动分拣流水线分拣3000件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时．（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？（2）新年将至，某转运中心预计每小时分拣的包裹量达15000件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？【答案】（1）条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．【解答】解：（1）设一名工人每小时能分拣x件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣4x件包裹，由题意得：﹣＝3，解得：x＝750，经检验，x＝750是原方程的解，且符合题意，∴4x＝4×750＝3000，答：这条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）应购买m条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务，17学科网（北京）股份有限公司 由题意得：3000m≥15000，解得：m≥5，答：至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．15．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．18学科网（北京）股份有限公司