2024年福建省南平市中考一模数学试题（解析版）

南平市2023-2024学年初中毕业班教学质量第一次抽测数学试题（考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷）友情提示：①所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效；②试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1.下面几何图形中，一定是中心对称图形是（）A.三角形B.四边形C.正五边形D.圆【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握如果一个图形绕着某一定点旋转后能够与原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：由题意知，三角形、四边形、正五边形均不是中心对称图形，故A、B、C不符合要求；圆是中心对称图形，故D符合要求；故选：D．2.下列事件是必然事件的是（）A.抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B.打开电视频道，正在播放新闻C.射击运动员射击一次，命中十环D.明天太阳从东边升起【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可；本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，准确判断是什么事件是解题的关键．【详解】A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，是随机事件B、打开电视频道，正在播放新闻，是随机事件C、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件D、明天太阳从东边升起，是必然事件故选：D．第20页/共20页 3.下列各点中，在函数图象上的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，将选项中点的坐标代入函数解析式，看左右是否相等，相等即符合题意，理解函数图像上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：A、将代入，得到，所以该点不在此函数图像上，该选项不符合题意；B、将代入，得到，所以该点不在此函数图像上，该选项不符合题意；C、将代入，得到，所以该点在此函数图像上，该选项符合题意；D、将代入，得到，所以该点不在此函数图像上，该选项不符合题意；故选：C．4.如图，是由绕点顺时针旋转锐角得到，下列各角中，是旋转角的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可直接求解．【详解】解：∵以点A为中心，把顺时针旋转，得到，∴旋转角，故选：A．5.如图⊙O的半径为5，弦心距，则弦的长是（）第20页/共20页 A.8B.6C.4D.5【答案】A【解析】【详解】分析：连接OA，在直角三角形OAC中，OC＝3，OA＝5，则可求出AC，再根据垂径定理即可求出AB．解：连接OA，如下图所示：∵在直角三角形OAC中，OA＝5，弦心距，∴AC＝，又∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选A．6.水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离与时间的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）A.小球滑行6秒停止B.小球滑行12秒停止C.小球向前滑行的速度不变D.小球向前滑行的速度越来越大【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，二次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．【详解】解：由函数图象可知，当时，滑行的距离最大，∴小球滑行6秒停止，故A说法正确，B说法错误；由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，故C、D第20页/共20页 说法错误，故选A．7.关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（）A.0B.1或C.D.1【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程即可求得a的值，本题得以解决．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是0，∴，解得，，故选：B．8.某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可．【详解】解：．故选：B．9.如图，线段上的点满足关系式：，且，则的长为（）A.或B.C.D.【答案】C第20页/共20页 【解析】【分析】本题主要考查黄金分割，设，则，，整理得，然后解方程即可．【详解】解：设，则，∵，∴，整理得，，解得，或（不符合题意，舍去）∴，故选：C．10.已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：…0……p1pm…有以下几个结论：①抛物线与轴的交点坐标是；②抛物线的对称轴为直线；③关于x的方程的根为和；④当时，的取值范围是．其中正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、抛物线与轴的交点，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断结论是否成立，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键【详解】解：由表格可知该抛物线的对称轴为，故②正确；根据对称轴可得当时，与时的值相同，均为，所以抛物线与第20页/共20页 轴的交点坐标是，故①正确；∵与轴的交点坐标是，∴，由表格可知该抛物线过，∴，解得，∴抛物线方程为：，令，解得或，∴的根为和，故③正确；∵，中，∴该抛物线开口向下，∴当时，的取值范围是或，故④错误；综上①②③是正确的，∴正确的个数有3个，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置）11.抛物线的顶点坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，该函数关于轴对称，所以在处取得最值，即顶点坐标，理解函数的性质是解题的关键．【详解】解：的对称轴为轴，开口向上，∴当时，取得最小值为，∴顶点坐标为：，故答案为：．12.点关于原点的对称点是，则的值是______．第20页/共20页 【答案】【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数求解作答即可．【详解】解：由题意知，，解得，，故答案为：2．13.如图，在半径为2的圆中，圆心角为的扇形面积_____（结果保留π）．【答案】【解析】【分析】本题考查了扇形面积的计算，先算出圆的面积，再根据圆心角的度数求出结果．【详解】解：．故答案为：．14.如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为________．【答案】【解析】【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．【详解】解：设正方形的边长为2a，则圆的直径为2a，故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=，第20页/共20页 故答案为．【点睛】本题考查了几何概率的知识，求米落入指定区域的概率．着重考查了正方形、圆面积公式和几何概型的计算等知识.15.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．【答案】6【解析】【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，设内切圆半径为r，由面积法r=3（步），即直径为6步，故答案为：6．【点睛】考点：三角形的内切圆与内心．16.如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识．建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最大值．【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，第20页/共20页 ，，点，点，点，为的角平分线，，，，点，设直线的解析式为，将点，代入上式，得：，解得：直线解析式为，设点，为的中点，点，，，当时，的长有最大值，最大值为，故答案为：．三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答）第20页/共20页 17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．【详解】解：，，，，．18.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，是由△ABC绕点顺时针旋转得到的（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）画出；（2）直接写出点，的坐标．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本题考查了画图一性质变换，利用关于原点对称的点的坐标特征画图，写出坐标即可．（1）找到三点顺时针旋转180度所对应的点，顺次连接即可；第20页/共20页 （2）根据网格直接写出即可．【小问1详解】根据题意，画出图形如下：【小问2详解】结合上图，坐标为：，19.在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，3，4，5的小球．它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）列出表示点的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点落在一次函数的图象上的概率．【答案】（1），，，，，，，，，，，，，，，（2）【解析】【分析】本题主要考查用概率公式求概率以及用列表法或画树状图法求概率：（1）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果．（2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出答案即可．【小问1详解】解：列表如下：13451第20页/共20页 345共有16种不同的结果：，，，，，，，，，，，，，，，；【小问2详解】解：∵共有16种情形，其中落在一次函数的图象上有1种，即点，∴落在一次函数的图象上的概率为．20.反比例函数图象经过点，．（1）求的值；（2）若点在反比例函数图象上，其中，求的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解以及增减性，掌握相关结论是解题关键．（1）根据题意可得，据此即可求解；（2）根据反比例函数的增减性即可求解．【小问1详解】解：∵反比例函数图象经过点，∴∴【小问2详解】解：∵点在反比例函数图象上，其中，第20页/共20页 当时，∵，在每一个象限内y随x的增大而减小.∴当时，有或．21.某商家将每件进价为15元的纪念品，按每件19元出售，每日可售出28件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．（1）当每件纪念品涨价多少元时，单日的利润为154元？（2）商家为了单日获得利润最大，每件纪念品应涨价多少元？最大利润是多少元？【答案】（1）当涨价3元或7元时，单日利润为154元（2）当涨价5元时获得最大利润，为162元【解析】【分析】（1）设当每件纪念品涨价x元时，单日的利润为154元，根据利润列出方程，解方程即可得到答案；（2）设当涨价a元时，单日利润为W元，根据题意得到W关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可．此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数和方程是解题的关键．【小问1详解】解：设当每件纪念品涨价x元时，单日的利润为154元，则，解得：，，答：当涨价3元或7元时，单日利润为154元.【小问2详解】设当涨价a元时，单日利润为W元，∵，抛物线开口向下，所以当时，，答:当涨价5元时获得最大利润，为162元.22.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何值，此方程总有实数根；（2）若直角三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两根，求的值．第20页/共20页 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程解法，以及根的判别式，勾股定理：（1）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解；（2）由（1）求出方程的两个根为，，可得该三角形斜边只能为k，再由勾股定理，即可求解．【小问1详解】解：证明：∵，，，∴所以无论为何值，此方程总有实数根；【小问2详解】解：解方程由（1）得所以解得，，因为直角三角形的另两边长恰好是这个方程的两根，所以这个直角三角形的三边长分别是3、3、k，所以该三角形斜边只能为k∴．23.如图，直线与相切于点，交于点，的延长线交于点，，点在上，且不与，重合．第20页/共20页 （1）求的大小；（2）若，的延长线交直线于点，求证：与相切．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据切线性质，得出，进而求出和，再根据圆周角定理得出答案；（2）根据条件可知，从而，易证，得到，即证出，从而与相切．【小问1详解】解：连接，切于点B，，，在中，，，，，；【小问2详解】证明：在中，，，，，，第20页/共20页 ，，，，，，点D在上，与相切．【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握并灵活运用相关知识是解答此题的关键．24.已知点在二次函数的图象上．（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值；（3）设直线（常数且）与抛物线交于点A，，与抛物线（为常数）交于点，．求证：．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握其相关的性质；（1）将点代入二次函数解析式，解得n关于m的函数关系式，（2）根据二次函数的性质可求得的最大值，（3）设、、、，再把分别代入、，然后利用根与系数的关系表示出、，即可解答．第20页/共20页 【小问1详解】解：因为点在二次函数的图象上所以，所以；【小问2详解】解：，，当时，的最大值为：；【小问3详解】证明：因为直线与抛物线交于点A，，与抛物线交于点，故设、、、把代入得：整理得：，把代入得：＝第20页/共20页 所以，即．25.如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．（1）求证：是直角三角形；（2）如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．①当时，求的面积；②求证：点，，三点共线．【答案】（1）见解析（2）①；②见解析【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的特征，三点共线判定方法等；（1）由圆的基本性质得，从而可得，即可求证；（2）①由圆的性质得，从而可求，有直角三角形的特征得，由勾股定理得可求出的长，由即可求解；②由旋转的性质得，，从而可求，由三角形内角和定理得，等量代换得即可求证；掌握相关的性质及三点共线判定方法，能证出是解题的关键．【小问1详解】证明：，，第20页/共20页 ，，是直角三角形；【小问2详解】解：①是直径，，，，，在中，，，；②折线由折线旋转得到，，，，由①得，，，，，，第20页/共20页 点C，D，F三点共线．第20页/共20页