华师一附中2024届高三数学选填专项训练（2）试题+答案

2024届高三数学选填专项训练（二）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，集合，定义，则子集的个数是（    ）A．B．C．D．10【答案】B【详解】因为，，所以，，又，则有2种情况，有5种情况，则由乘法原理可得的元素个数有个，所以子集的个数是.故选：B2.已知，则关于命题“，使得”的叙述正确的是（    ）A．假命题，它的否定形式是“，使得”B．假命题，它的否定形式是“，使得”C．真命题，它的否定形式是“，使得”D．真命题，它的否定形式是“，使得”【答案】B【详解】，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，显然，，因此时，不存在，使得成立，所以命题“，使得”是假命题，其否定为“，使得”.故选：B第13页共13页,3.已知是等比数列，则“，”是“为递增数列”的（    ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为是等比数列，设公比为，则，当，时，，即，若，则或，注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，故，此时，则为递增数列；若，则，注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，故，此时，则为递增数列；综上：当，时，为递增数列，即充分性成立；当为递增数列时，，即，成立，即必要性成立；所以“，”是“为递增数列”的充分必要条件.故选：C.4.若，且为钝角，则（    ）A．有最小值B．有最小值C．有最大值D．有最大值【答案】C【详解】解：因为，则，所以，即，于是有，所以，因为为钝角，所以，于是有第13页共13页,，当且仅当，即时等号成立，所以有最大值，无最小值.故选：C.5.已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意可得，解得或，所以或，所以，当时，，由，则，解得；当时，，此时不成立，故不取；当时，，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：D6.函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因，又当时，，第13页共13页,当，，时，，则，，当，，时，，则，，作出函数的大致图象，对任意，都有，设的最大值为，则，且，所以，解得所以m的最大值为.故选：A.7.已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ）A．3B．5C．7D．9【答案】C【详解】设，令可得：,对于，，故在处切线的斜率值为，设与相切于点，切线斜率，则切线方程为：，第13页共13页,即，解得：；由于，故作出与图象如下图所示，与有四个不同交点，即与有四个不同交点，设三个交点为，由图象可知：，作出函数的图象如图，由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，的零点个数为7个，故选：C8.已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由的解析式，可知在上单调递增，且值域为，在上单调递增，且值域为，函数的图像如图所示，所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应，第13页共13页,在值域上，任意函数值都有一个值与之对应.要使恰有三个不同的零点，则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，由的图像开口向上且对称轴为，易知，此时，且，结合的图像及，得，则，所以，且，令，，则.当时，单调递增；当时，单调递减.所以，故的最大值为.二、多选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】解：对于A中，令，可得，则第13页共13页,，所以不满足函数的定义，所以A不正确；对于B中，令，则，则，满足函数的定义，所以B正确；对于C中，令，则，所以，满足函数的定义，所以C正确；对于D中，由于函数中的每一个值，都有唯一的一个与之对应，所以满足函数的定义，所以D正确.故选：BCD.10.在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离的积等于，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ）A．曲线关于坐标轴对称B．周长的最小值为C．面积的最大值为D．点到原点距离的最小值为【答案】ABD【详解】对于A：设，由得，即，以替换方程不变，替换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，故A正确；对于B，的周长，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立.所以当，即时，取得最大值，所以的最大面积为，故C错误；对于D，由，第13页共13页,即，即，即,当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ABD11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ）A．，B．，C．，，若，则有D．方程的解集为【答案】BCD【详解】对于A：取，，故A错误；对于B：设,，当时，，，则，则，,故当时成立.当时，，则，则，故当时成立.综上B正确.对于C：设，则，，则，因此，故C正确;    对于D：由知，一定为整数且，所以，所以，所以，由得，由解得，只能取，由解得或(舍)，故，第13页共13页,所以或，当时，当时，所以方程的解集为，故选：BCD.12.已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（    ）A．B．的取值范围是C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1D．的取值范围是【答案】ABD【详解】不妨设，，则，，当时，当时由导数的几何意义知，．因为的图象在A，B两点处的切线互相垂直，所以，即．对于A，因为，所以A正确．对于B，因为：，：，则，，所以，所以B正确．对于C，当时，，即直线AM与BN的交点的横坐标恒小于1，所以C错误．对于D，，所以D正确．故选：ABD．12.第13页共13页,三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为.【答案】-4【详解】函数，其中若，由于，即，∴对于正数b，的定义域为:，但的值域，故，不合要求.若，对于正数b，的定义域为.由于此时，故函数的值域.由题意，有，由于，所以.故答案为：﹣414.已知定义在整数集合上的函数，对任意的，，都有且，则.【答案】【详解】中，令得：，所以，故，即，所以，将代替得：，从而得到，即为周期为6的函数，由于，故，中，令得：，因为，所以，第13页共13页,令得：，因为，所以，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，从而，故.故答案为：.15.已知函数，记在R上的最小值为，则的最大值为__________.【答案】1【详解】，，当，即时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，，，当且，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，当，即时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，综上，当时，，所以.16.、分别是曲线和上任意两点，则最小为.【答案】第13页共13页,【分析】设点，，表示出，根据基本不等式得出.然后证明以及，结合零点存在定理得出等号成立时的取值，检验满足基本不等式等号成立的条件，即可得出答案.【详解】因为，当且仅当时，等号成立，所以.设点，分别是两曲线上的动点，则，（*）当且仅当时，等号成立.由，令，则.由，可得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以在处取得极小值，也是最小值，所以.令，显然单调递增.又，所以，当且仅当时等号成立.令，则.由，可得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.第13页共13页,所以在处取得极小值，也是最小值，所以，所以，当且仅当时等号成立.因为当，时，有，，即满足基本不等式（*）成立的条件，所以，所以.故答案为：.2024届高三数学选填题专项训练（二）答题卡姓名分数一、选择题123456789101112二、填空题13.14.15..16.,第13页共13页