高考数学椭圆选填题中常考的8个神奇结论(PDF)

数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论【名师综述】在高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面小数老师给大家带来8条出题率最高的结论，一定要记住哦;☆◆★神奇结论1：椭圆上的点与焦点距离的最大值为ac，最小值为ac；推导：首先，我们需要了解一下椭圆的第二定义：平面上的一点到定点的距离与到相应定直线的距离之比为常数；这里面涉及到几个特殊的概念，①定点：椭圆的焦点；2a②定直线：椭圆的准线，方程为x；c③常数：离心率；由两点间距离公式，可知22|PF|(xc)y（1）1222从椭圆方程xy1解出y2b()a2x2（2）222aba代（2）于（1）并化简，得c|PF|axa(xa)1a所以，由上面的焦半径公式可知，当P点在左端点的时候值最小为ac；当P点在右端点的时候值最大为ac；【典例剖析】例题1.椭圆＝1上存在n个不同的点P1，P2，„，Pn，椭圆的右焦点为F．数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．16B．15C．14D．131数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】【分析】（|PnF|）min≥|a﹣c|＝，（|PnF|）max≤a+c＝3，|PnF|＝|P1F|+（n﹣1）d．再由数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，可求出n的最大值．【解答】解：∵（|PnF|）min≥|a﹣c|＝，（|PnF|）max≤a+c＝3，||PnF|＝|P1F|+（n﹣1）d∵数列{|PnF|}是公差d大于的等差数列，∴d＝＞，解得n＜10+1，则n的最大值为15故选：B．22xy☆◆★神奇结论2：直线l与椭圆1相交于AB,两点，M为AB的中点，则22ab2bkk；ABOM2a推导：我们利用“点差法”进行推导；记Axy(,),(,Bxy)，Mxy(,)，将这两点带入椭圆中可得11220022xy111(1)ab2222xy221(2)ab22（1）（2）可得：(xx)(xx)(yy)(yy)121212120；22ab2(xxx)2(yyy)012012022ab2yyyb120所以，2xxxa1202b所以，kk成立；2ABOMa2【典例剖析】数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】例题2.已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．解法一：基本解题法【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率计算22公式可得＝＝．于是得到，化为a＝2b，再利用c＝322＝，即可解得a，b．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．3数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．∴，2222化为a＝2b，又c＝3＝，解得a＝18，b＝9．∴椭圆E的方程为．故选：D．解法二：结论解题法22xy☆◆★神奇结论3：在椭圆1中，若MN是过中心的一条弦，P是椭圆上异于22ab2bMN,的一点，则有kk；PMPN2a推导：令Mxy(,)，N(xy,)，Pxy(,)；11110022yyyyyy010101所以kk①；PMPN22xxxxxx010101b2b2222222又因为y()ax，y()ax代入①中；002112aa2b整理可得kk；PMPN2a【典例剖析】例题3.椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）4A．B．C．D．数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则＝1„①，＝，＝；则＝＝，将①式代入得＝﹣，∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈．故选：D．解法二：结论解题法22xy☆◆★神奇结论4：已知椭圆方程为1(ab0),两焦点分别为FF,,设焦点三2212ab2角形PFF中FPF,则Sbtan.1212F1PF2222xy已知双曲线方程为221，两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中ab2FPF,则Sbcot12F1PF222222推导：(2c)FFPFPF2PFPFcos1212122(PF1PF2)2PF1PF2(1cos)(PFPF)24c24a24c22b212PFPF122(1cos)2(1cos)1cos521b2SPFPFsinbtanF1PF21221cos2双曲线证明也同样道理.数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】【典例剖析】例题4.已知P是椭圆+＝1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为（）A．3B．2C．D．【分析】先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设F1P＝m，F2P＝n，再根据条件求出∠F1PF2＝60°，然后利用余弦定理可求得mn的值，je利用三角形面积公式求解．【解答】解：由题意可得：a＝5，b＝3，所以c＝4，即F1F2＝2c＝8．设F1P＝m，F2P＝n，所以由椭圆的定义可得：m+n＝10„①．因为，所以由数量积的公式可得：cos＜＞＝，所以．在△F1PF2中∠F1PF2＝60°，22所以由余弦定理可得：64＝m+n﹣2mncos60°„②，由①②可得：mn＝12，所以．故选：A．解法二：结论解题法6数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】22xy☆◆★神奇结论5：若F1，F2为椭圆1（a＞b＞0）的左右焦点，P是椭圆上的动22ab点，则∠F1PF2=，则椭圆离心率e的取值范围为sin≤e＜1.2222mn4c推导：设|PF|=m，|PF|=n，则m+n=2a.于是cos==2mn222222(mn)4c2mn2b2b2b2b=1≥1=1，我们得到了cos≥1，2mnmnmna2a22()2222(ac)221-cos所以，cos≥1=1-2ee≥，然后根据二倍角公式就可以得到上2a2面的结论；sin≤e＜1；2【典例剖析】例题5.已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值，由此可得结论．【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，7所以P0O＜OF2，即b＜c，数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】22222∴a﹣c＜c，可得a＜2c，∴e＞，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：B．解法二：结论解题法22xy☆◆★神奇结论6：点Pxy(,)在椭圆1（a＞b＞0）上，则过点P的切线方程为0022abxxyy001；22ab2222xyybxbx，则0推导：两侧同时求导可得：220y2yy002()xx；abayay022222222xx00yy故ayybxxaybxab，所以，切线方程为1；000022ab【典例剖析】22例题6.已知圆的方程为x+y＝1，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0•x+y0•y＝1，22类比上述性质，可以得到椭圆x+4y＝8上经过点的切线方程为8；．数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】22【分析】已知圆的方程为x+y＝1，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0•x+y0•y＝1，22类比上述性质，可以得到：椭圆mx+ny＝c（m，n，c同号，且m≠n）经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为：．22【解答】解：已知圆的方程为x+y＝1，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0•x+y0•y＝1，类比上述性质，可以得到：22椭圆mx+ny＝c（m，n，c同号，且m≠n）经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为：22故椭圆x+4y＝8上经过点的切线方程为：2x﹣4y＝8，即；，故答案为：．解法二：结论解题法22xy☆◆★神奇结论7：①椭圆1(ab0,0)与直线AxByC0(AB0)相切的22ab22222充要条件是AaBbC；22xy②双曲线1(ab0,0)与直线AxByC0(AB0)相切的充要条件是22ab22222AaBbC；推导：给大家推导一下关于椭圆的结论，双曲线的推导雷同，直线变形可得ACAxCyxy，带入椭圆方程，化简可得BBB22222222222(BbAax)2aACxaCabB0，422222222222由于只有一个交点，故4aAC4(BbaA)(aCabB)0，22222整理可得，AaBbC；【典例剖析】例题7.已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），若直线l上存在点M，使得|MA|+|MB|＝3，则称直线l为“M型直线”，给出下列直线：①x＝2；②y＝x+3；③y＝﹣2x﹣1；④y＝1；9⑤y＝2x+3．其中是“M型直线”的条数为（）数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】A．1B．2C．3D．4【分析】点M的轨迹方程是，把①，②，③，④，⑤分别和联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“M型直线”．【解答】解：由题意可知，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程是，①把x＝2代入，无解，∴x＝2不是“M型直线”；②把y＝x+3代入，无解，∴y＝x+3不是“M型直线”；③把y＝﹣2x﹣1代入，有解，∴y＝﹣2x﹣1是“M型直线”；④把y＝1代入，有解，∴y＝1是“M型直线”；⑤y＝2x+3代入，有解，∴y＝2x+3是“M型直线”．故选：C．解法二：结论解题法10数学思想|高中数学 数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】22xy☆◆★神奇结论8：直线l与椭圆1(ab0,0)相交于AB,，坐标原点为O，O22abab到直线l的距离为d，则有OAOB，d；22ab1111推导：（1）当OP，OQ在坐标轴上时，显然成立.OP2OQ2a2b21（2）当OP，OQ不在坐标轴上时，设直线OP：y=kx，直线OQ：y=x.联系整理可得k222222222222ab2kab(kab)xab，解得x，y，则p222p222kabkab2222221kab1kba1111；同理.所以.222222222222|OP|(k1)ab|OQ|(k1)abOPOQab1122利用等面积法可得：|OP||OQ||OP||OQ|d222222|OP||OQ|OPOQabab所以，d，又，d；22OP22OQab2222|OP||OQ|ab【典例剖析】22xy例题8.过点P(0,2)的直线l交椭圆E:1于MN,两点，且OMON，则直线l的方程42为；2xy20或2xy2011数学思想|高中数学