圆锥曲线定点问题题型分类汇编（学生版）

圆锥曲线定点问题题型分类汇编题型1直线过定点之y=kx+m型题型2直线过定点之x=ty+m型题型3直线过定点之求直线方程型题型4特殊到一般法题型5斜率和问题题型6斜率积问题题型7斜率比值问题题型8多斜率问题题型9与角度有关的定点问题题型10直线过定点之类比法题型11定点与恒成立问题题型12圆过定点问题题型1直线过定点之y=kx+m型定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用Δ>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定点.技巧：若直线方程为y-y0=kx-x0,则直线过定点x0,y0;若直线方程为y=kx+b(b为定值),则直线过定点0,b.1(2021·贵州贵阳·高三校联考开学考试)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1-3,0，且C经过点1P3,．2(1)求C的方程；(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l:y=kx+m与C交于A、B两点(l不经过D点)，且AD⊥BD．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．1 【变式训练】1(2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校考期末)已知动点Mx,y到定点N3,0的距离与M433到定直线：x=的距离之比为，记点M的轨迹为曲线C.32(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C与y轴的正半轴交于点A，不与x轴垂直的直线l交曲线C于E,F两点(E，F异于点A)，直4线AE,AF分别与x轴交于P,Q两点，若P,Q的横坐标的乘积为，则直线l是否过定点？若是，求出该定3点的坐标；若不是，请说明理由.2y2x2(2023上·广西玉林·高三校联考开学考试)已知椭圆E:+=1a>b>0的左焦点为F122ab-2,0，且点6,1在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M,N，点Pn,4n∈R,n≠0，若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点S,T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.2 3(2023上·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习)在直角坐标平面内，已知A-2,0，1B2,0，动点P满足条件：直线PA与直线PB斜率之积等于-，记动点P的轨迹为E．2(1)求E的方程；(2)过直线l：x=4上任意一点Q作直线QA与QB，分别交E于M，N两点，则直线MN是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．2y2x4(2023上·河北张家口·高三统考开学考试)已知椭圆C:+=1a>b>0过点A-2,1，且离22ab2心率e=．2(1)求椭圆C的方程；2(2)过点A作与y=txt<0相切的两条直线，分别交椭圆C于P，Q两点，求证：直线PQ恒过定点．3 题型2直线过定点之x=ty+m型1.直线AB方程为x=ty+m，联立曲线方程，结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况；2.设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.22111(2021·广东深圳·统考二模)已知圆C:x-1+y=，一动圆与直线x=-相切且与圆C外切．42(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T交于A,B两点，M是AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．4 【变式训练】2y2x1(2020·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分22ab别为F1，F2，左顶点为A，且满足F1F2=2AF1，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的任意一点，求PF1⋅PA的取值范围；(3)已知直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且2AH=MH⋅HN，求证：直线l恒过定点．2y2x32(2022·辽宁沈阳·二模)已知椭圆C:+=1a>b>0的焦距为2，且经过点P1,．a2b22(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为kk≠0的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使AF⋅BT=BF⋅AT恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．5 3(2023上·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,30),F2(3,0)，离心率为．2(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C的左顶点，直线l与椭圆C交于A,B两点，若MA⊥MB，求证：直线AB过定点．2y2x4(2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点22ab为A，上顶点为B，右焦点为F1,0，设O为坐标原点，线段OA的中点为D，且满足BD=DF.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点T2,tt∈R，圆T过O且交直线x=2于M,N两点，直线AM,AN分别交C于另一点P,Q(异于点A).证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.6 题型3直线过定点之求直线方程型在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系．2y2x1(2020下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习)已知双曲线C：-=1a>0,b>0的右焦点F，22ab2a1半焦距c=2，点F到直线x=的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，c2CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.【变式训练】1(2020上·安徽·高三校联考阶段练习)在△PAB中，已知A-2,0、B2,0，直线PA与PB的斜率3之积为-，记动点P的轨迹为曲线C.4(1)求曲线C的方程；(2)设Q为曲线C上一点，直线AP与BQ交点的横坐标为4，求证：直线PQ过定点.7 2y2x2(2023·江西景德镇·统考三模)设椭圆C：+=1a>b>0的左、右顶点分别为A、B，且焦距22ab3为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为-．4(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F-1,0作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：x=-2a，过点M作ME垂直于直线m，交m于点E．判断直线EN是否过定点，并说明理由．3(2023上·江苏连云港·高三校联考阶段练习)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-25,0)，离心率为5，点A1，A2为C的左，右顶点．P为直线x=1上的动点，PA1与C的另一个交点为M，PA2与C的另一个交点为N．(1)求C的方程；(2)证明：直线MN过定点．8 4(2020·全国·校联考二模)在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-2上一动点，过点M作抛物线C：x2=y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．(1)证明：MN⊥x轴．(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．5(2023上·江西萍乡·高三统考期末)已知椭圆E的中心在原点，周长为8的△ABC的顶点，A-3,0为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点Pm,2m∈R,m≠0,若直线PM，PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.9 题型4特殊到一般法特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.2y2x1(2023上·山东·高三校联考开学考试)如图，已知点T13,-5和点T2-5,21在双曲线C:2-2=ab21a>0,b>0上，双曲线C的左顶点为A，过点La,0且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P，Q222两点，直线AP，AQ与圆O:x+y=a分别交于M，N两点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；(3)证明：直线MN过定点.10 【变式训练】21(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知点F为抛物线E:y=2px(p>0)的焦点，点P-2,4,PF1=5，过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点，过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点2C．(1)求抛物线E的标准方程；(2)求证：直线BC过定点．12(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l：x=与点F2,0，过直线l上的一动点Q作直线PQ⊥l，2且点P满足PF+2PQ⋅PF-2PQ=0．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点F作直线与C交于A，B两点，设M-1,0，直线AM与直线l相交于点N．试问：直线BN是否经过x轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．11 3(2023·全国·高三专题练习)动点P到定点F1,0的距离比它到直线x=-2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点.(1)求曲线C的标准方程；(2)若点M关于x轴的对称点为A，探究直线AN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.2y2x4(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆W:+=122ab2(a>b>0)的离心率为，椭圆W上的点与点P0,2的距离的最大值为4.2(1)求椭圆W的标准方程；(2)点B在直线x=4上，点B关于x轴的对称点为B1，直线PB,PB1分别交椭圆W于C,D两点(不同于P点).求证：直线CD过定点.12 2y2x5(2023·全国·模拟预测)已知F1，F2分别是双曲线C：2-2=1(a>0，b>0)的左､右焦点，点abP-2,23为双曲线C上的点，且△PF1F2的面积为215.(1)求双曲线C的标准方程.23(2)设原点O到直线l的距离为，直线l交双曲线C于A，B两点，试问：以线段AB为直径的圆是否经3过一个定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由.题型5斜率和问题与定点问题有关的基本结论2(1)若直线l与抛物线y=2px交于点A,B，则OA⊥OB⇔直线l过定点P2p,0；22(2)若直线l与抛物线y=2px交于点A,B，则kOA⋅kOB=m⇔直线l过定点Pp+m+p,0；22(3)设点P2pt0,2pt0是抛物线y=2px上一定点，M,N是该抛物线上的动点，则PM⊥PN⇔直线MN过2定点Q2p+2pt0,-2pt0．2(4)设点Ax0,y0是抛物线y=2px上一定点，M,N是该抛物线上的动点，则kAM⋅kAN=m⇔直线MN过定2p点Px0-m,-y0；2y2x(5)过椭圆+=1a>b>0的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A,B，则PA⊥PB22ab22aa-b⇔直线AB过点Q-,0；a2+b22y2x(6)过椭圆-=1a>0,b>0的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A,B，则PA⊥22ab22aa+bPB⇔直线AB过点Q-,0；a2-b22y2x(7)设点Pm,n是椭圆C：+=1a>b>0上一定点，点A，B是椭圆C上不同于P的两点，若kPA22ab22n2bm+kPB=λλ≠0，则直线AB过定点m-,-n-；λa2λ2y2x(8)设点Pm,n是双曲线C：-=1a>0,b>0一定点，点A，B是双曲线C上不同于P的两点，22ab22n2bm若kPA+kPB=λλ≠0，则直线AB过定点m-,-n+2．λaλ13 2y2x31(2020下·山西运城·高三统考阶段练习)椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F2a2b22c,0，点P在椭圆上运动，且PF2的最大值为2+3．(1)求椭圆E的方程；(2)过A0,1作斜率分别为k1，k2的两条直线分别交椭圆于点M，N，且k1+k2=4，证明：直线MN恒过定点．【变式训练】21(2023·山西吕梁·统考二模)已知抛物线C：y=2px过点A2,4．(1)求抛物线C的方程；(2)P，Q是抛物线C上的两个动点，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，证明：直线PQ恒过定点．14 2(2023上·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；(2)已知A(1,2)及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=1，求证：直线BD经过定点．2y2x3(2023·河北张家口·统考三模)已知点P4,3为双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点，E的左22ab焦点F1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y=kx+t过定点，并求该定点的坐标.15 2y2x4(2023下·湖南岳阳·高三统考期末)已知双曲线C:2-2=1a∈N，四点P11,1，P21,0，P3ab2,3，P42,-3中恰有三点在双曲线C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1.证明：l过定点.题型6斜率积问题221(2020·北京·海淀实验中学校考三模)已知点M为椭圆C：3x+4y=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不1同的两点(均异于点M)，且满足直线MA与直线MB斜率之积为.4(1)求椭圆C的离心率及焦点坐标；(2)试判断直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由.16 【变式训练】21(2020下·山西运城·高三统考阶段练习)抛物线E:y=2px(p>0)，斜率为1的直线l过抛物线的准线与x轴的交点.(1)试判断直线l与抛物线E的位置关系，并加以证明；(2)若p=2，过A1,2分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，分别交抛物线于点M，N两点，且k1⋅k2=8，证明：直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.22(2024上·山东临沂·高三校联考开学考试)已知抛物线E:y=2pxp>0，P4,y0为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．(1)求E的标准方程；(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线PA与PB斜率乘积为-4．(i)证明：直线AB过定点；(ii)求FA⋅FB的最小值．17 2y2x3(2023上·陕西西安·高三校联考开学考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为M2,0，22ab2离心率为.2(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点M的直线l与C交于A,B两点，且直线MA和MB的斜率之积为1，证明：直线l过定点.4(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为O坐标原点，A2,0,B0,1,C0,-1,D2,1，OE=λOA,DF=λDA,0<λ≤1，CE和BF交点为P.(1)求点P的轨迹G；1(2)直线y=x+m(m≠0)和曲线G交与M，N两点，试判断是否存在定点Q使kMQkNQ=？如果存在，4求出Q点坐标，不存在请说明理由.18 题型7斜率比值问题2y2x1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左右焦点分别22ab3为F1、F2，离心率e=，A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，且|A1A2|=4.2(1)求椭圆C的方程；(2)若O为坐标原点，过F2的直线l与椭圆C交于A、B两点，求△OAB面积的最大值；(3)若椭圆上另有一点M，使得直线MA1与A2B斜率k1、k2满足k2=2k1，请分析直线BM是否恒过定点.19 【变式训练】1(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知点A-2,0,B2,0，动点Mx,y满足直线AM与1BM的斜率之积为-.记动点M的轨迹为曲线C.4(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；(2)设P,Q为曲线C上的两动点，直线AP的斜率为kAP，直线BQ的斜率为kBQ，且kAP=7kBQ.①求证：直线PQ恒过一定点；②设△PQB的面积为S，求S的最大值.222(2023·云南·校联考模拟预测)已知圆C：x+5+y=4，定点D5,0，如图所示，圆C上某一点D1恰好与点D关于直线PQ对称，设直线PQ与直线D1C的交点为T.(1)求证：TC-TD为定值，并求出点T的轨迹E方程；22(2)设A-1,0，M为曲线E上一点，N为圆x+y=1上一点(M，N均不在x轴上).直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k1=-4k2.求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标.20 2y2x13(2023·内蒙古赤峰·统考二模)已知椭圆E:+=1a>b>0的离心率为，其左、右顶点分a2b22别为A,B,左右焦点为F1,F2,点P为椭圆上异于A,B的动点，且△PF1F2的面积最大值为3.(1)求椭圆E的方程及kPA⋅kPB的值；(kPA、kPB分别指直线PA、PB的斜率)1(2)设动直线l交椭圆E于M,N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，且k1=k2.3①求证：直线MN过定点；②设△AMN、△BMN的面积分别为S1,S2，求S1-S2的取值范围.2y2x4(2023·贵州黔西·校考一模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率是5，点P(3,-42)22ab在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；22(2)设A-1,0，M为C上一点，N为圆x+y=1上一点(M,N均不在x轴上)．直线AM,AN的斜率分别记为k1,k2，且4k2+k1=0，判断：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21 题型8多斜率问题1(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两定点A-4,0，B4,0，M是平面内一动点，自2M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且2MN=AN⋅NB．(1)求动点M的轨迹Γ；(2)设过P0,1的直线交曲线Γ于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为k1，112k2，k0，且满足+=．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请k1k2k0说明理由．【变式训练】2y2x1(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)，四点P1(-2,22ab1)，P2(0,2)，P3(2,1)，P4(3,1)中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在异于P2的两点M，N使得直线P2M与P2N的斜率之和与直线MN的斜率(不为零)的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由．22 2y22x1x2(2023·湖北武汉·统考三模)已知双曲线C1：2-2=1的一条渐近线为y=-2x，椭圆C2：2+aba2y2=1的长轴长为4，其中a>b>0.过点P2,1的动直线l1交C1于A，B两点，过点Р的动直线l2交C2b于M，N两点.(1)求双曲线C1和椭圆C2的方程；(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.2y22x3(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知离心率为的椭圆C:+=12a2b2(a>b>0)的左焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，上顶点为B，且△A1BF的外接圆半径大小为3．(1)求椭圆C方程；(2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P，Q两点(P，Q位于x轴的两侧)，记直线A1P、A2P、A2Q、A1Q的斜5率分别为k1、k2、k3、k4，若k1+k4=(k2+k3)，则直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过3定点，请说明理由．23 24(2023·四川凉山·二模)在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-．3(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别111记为k1,k2．探索⋅+是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．kk1k25(2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A-2,0，B2,0，Px,y是异于A，3B的动点，kAP，kBP分别是直线AP，BP的斜率，且满足kAP⋅kBP=-.4(1)求动点P的轨迹方程；(2)在线段AB上是否存在定点E，使得过点E的直线交P的轨迹于M，N两点，且对直线x=4上任意一点Q，都有直线QM，QE，QN的斜率成等差数列.若存在，求出定点E，若不存在，请说明理由.24 题型9与角度有关的定点问题221(2023·陕西西安·校考三模)在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C与圆O1:x-2x+y=0内切，且与直线x=-2相切，设动圆圆心C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；(2)已知P4,y0y0>0是曲线E上一点，A,B是曲线E上异于点P的两个动点，设直线PA､PB的倾斜3π角分别为α､β，且α+β=，请问：直线AB是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.4【变式训练】221(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知双曲线x-y=1，过点M1,-1的直线l与该双曲线的左、右两支分别交于点A,B．1(1)当直线l的斜率为时，求AB；2(2)是否存在定点Pt,t-2t≠1，使得∠MPA=∠MPB？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．25 222(2023·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-1+y=16上的任意一点，点F-1,0，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点G3,0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点B2,0．问：x轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．2y2x3(2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的左右焦22ab23点分别为F1,F2，点P在双曲线上，若PF1-PF2=b，且双曲线焦距为4．3(1)求双曲线C的方程；(2)如果Q为双曲线C右支上的动点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得∠QF2M=2∠QMF2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．26 2y2x4(2022上·贵州·高二校联考阶段练习)已知焦点在x轴上的椭圆C：+=1a>b>0的长轴22ab长为4，C的右顶点A到右焦点的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程；2(2)如图，已知点P,0，直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，(E，F两点都在x轴上方)，O为坐标原3点，且∠APE=∠OPF.证明直线l过定点，并求出该定点坐标.2y2x5(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的虚轴长为2，点M0,1到C的渐22ab3近线的距离为．2(1)求双曲线C的标准方程．(2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是∠AMB的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．27 题型10直线过定点之类比法2y2x1(2023上·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C：2+2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1，F2，ab1左顶点为D，离心率为，经过F1的直线交椭圆于A，B两点，△F2AB的周长为8.2(1)求椭圆C的方程；(2)过直线x=4上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，①证明：直线MN过定点；②求S△DMN的最大值.【变式训练】2y2x221(2023·河南·校联考模拟预测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2，圆x+y=4与椭圆22abC恰有两个公共点．(1)求椭圆C的标准方程；2y2xxyyx00(2)已知结论：若点x0,y0为椭圆2+2=1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为2+2=1．若abab椭圆C的短轴长小于4，过点T(8,t)作椭圆C的两条切线，切点分别为A,B，求证：直线AB过定点．28 2(2023上·广东惠州·高三校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点2,4.(1)求C的方程；(2)若C关于x轴对称，焦点为F，过点4,2且与x轴不垂直的直线l交C于M，N两点，直线MF交C于另一点A，直线NF交C于另一点B，求证：直线AB过定点.23(2023·福建·校联考模拟预测)设抛物线C：y=2px(p>0)的焦点为F，点A的坐标为3,-2.已知点P是抛物线C上的动点，PA+PF的最小值为4.(1)求抛物线C的方程：(2)若直线PA与C交于另一点Q，经过点B3,-6和点Q的直线与C交于另一点T，证明：直线PT过定点.29 14(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆M恒过定点F0,，圆心M到直线811y=-的距离为d,d=MF+．48(1)求M点的轨迹C的方程；(2)过直线y=x-1上的动点Q作C的两条切线l1,l2，切点分别为A,B，证明：直线AB恒过定点．2225(2023·贵州·校联考二模)抛物线C1:y=2pxp>0的焦点到准线的距离等于椭圆C2:x+16y=1的短轴长．(1)求抛物线C1的方程；222(2)设D1,t是抛物线C1上位于第一象限的一点，过D作E:x-2+y=r(其中0<r<1)的两条切线，分别交抛物线C1于点M,N,证明：直线MN经过定点．30 题型11定点与恒成立问题2y2x21(2023上·四川眉山·高三仁寿一中校考期末)椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是，点a2b22M2,1是椭圆E上一点，过点P0,1的动直线l与椭圆相交于A,B两点.(1)求椭圆E的方程；(2)求△AOB面积的最大值；QAPA(3)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使=恒成立？存在，求出点QQBPB的坐标；若不存在，请说明理由.【变式训练】21(2024·陕西宝鸡·校考一模)设抛物线C：y=2pxp>0，直线x-2y+1=0与C交于A，B两点，且AB=415.(1)求p；(2)若在x轴上存在定点M，使得MA⋅MB=0，求定点M的坐标.31 2y2x2(2022上·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考期中)设F1，F2分别是椭圆C：2+2=ab1a>b>0的左、右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN3的斜率为.12(1)求椭圆C的离心率；(2)设A0,1是椭圆C的上顶点，直线l：y=kx+mm≠±1与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点S，直线AQ与x轴交于点T.若OS⋅OT=2，求证：直线l经过定点.3(2022上·四川绵阳·高三盐亭中学校考期中)已知拋物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点P(1,2).(1)求抛物线方程;(2)若直线l与抛物线交于A,B两点，且满足OA⋅OB=-4，求证:直线l恒过定点，并求出定点坐标.32 2y2x4(2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)22ab1的离心率是，其左､右焦点分别为F1,F2，过点B0,b且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D.2(1)求证：2F1F2+F2D=0；(2)若点D-3,0，过椭圆Γ右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P,Q两点，点M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M,Q,N三点共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.2y2x35(2022·辽宁沈阳·二模)已知椭圆C:+=1a>b>0的焦距为2，且经过点P1,．a2b22(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为kk≠0的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使AF⋅BT=BF⋅AT恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．33 题型12圆过定点问题圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以AB为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为PA⊥PB，也可以转化为PA⋅PB=02y2x1(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的左右焦点分别为22ab7F1，F2，左顶点的坐标为-2,0，离心率为.2(1)求双曲线C的方程；(2)A1,A2分别是双曲线的左右顶点，T是双曲线C上异于A1，A2的一个动点，直线TA1,TA2分别于直线x=1交于Q1,Q2两点，问以Q1,Q2为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.34 【变式训练】21(2023上·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习)已知抛物线C:y=2pxp>0，过焦点的直π线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l的倾斜角为时，AB=16.6(1)求抛物线C的标准方程和准线方程；(2)记O为坐标原点，直线x=-2分别与直线OA，OB交于点M，N，求证：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标.2y2x22(2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C1:+=1a>b>0的离心率为，且直线y=a2b222x+b是抛物线C2:y=4x的一条切线．(1)求椭圆C1的方程；1(2)过点S0,-3的动直线L交椭圆C1于A,B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．35 23(2023·江西九江·统考一模)已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y=2px(p>0)交于A,B两点，过线段AB的中点M作直线MN⊥y轴，垂足为N，且PM⊥PN.(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=-2交于点D,R，证明：以DR为直径的圆过定点.2y2x4(2021·上海·高三专题练习)如图，椭圆E：2+2=1a>b>0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心ab1率e=，过F1的直线交椭圆于A､B两点，且△ABF2的周长为8.2(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.36 5(2023上·浙江·高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点Dx,y与定1点F2,0的距离和D到定直线x=的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C．2(1)求曲线C的方程；(2)已知定点Pt,0，0<t<1，过点P作垂直于x轴的直线l，过点P作斜率大于0的直线l与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线AG，AH与直线l分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值．2y2x6(2023·广东广州·统考模拟预测)已知双曲线C:-=1，直线l过C的右焦点F且与C交于M,412N两点．11(1)若M,N两点均在双曲线C的右支上，求证：+为定值；MFNF(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．37 2y2x21(2023·福建泉州·统考模拟预测)已知椭圆E:+=1a>b>0的离心率是，上、下顶点分a2b2222别为A，B.圆O:x+y=2与x轴正半轴的交点为P，且PA⋅PB=-1.(1)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.2y2x2(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A，过右焦点F且22ab平行于y轴的弦PQ=AF=3．(1)求△APQ的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR⋅ND=MD⋅RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．38 2y2x3(2023·广东梅州·统考三模)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，22abA，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.2y2x24(2023·全国·模拟预测)已知椭圆C:+=1a>b>0的离心率为，左、右焦点分别为F1，a2b22F2，且F1F2=2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l:x=my+1与椭圆C交于A,B两点，证明：在x轴上存在定点D，使得直线AD，BD关于x轴对称.39 2y2x5(2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为22ab3F，且经过点1,2，过F的直线与椭圆E交于C，D两点，当CD⊥x轴时，CD=1．(1)求椭圆E的标准方程；1(2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使kAP⋅kAQ=成立，证明直线PQ过定点．202y2x6(2023·湖南岳阳·统考二模)已知点P0,-2，点A,B分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左､右22ab3顶点，直线BP交C于点Q,△ABP是等腰直角三角形，且PQ=QB.2(1)过椭圆C的上顶点M引两条互相垂直的直线l1,l2，记C上任一点N到两直线l1,l2的距离分别为d1,d2，22求d1+d2的最大值；(2)过点H4,0且斜率不为零的直线与椭圆C相交于E,F两点试问：是否存在x轴上的定点G，使得∠EGO=∠FGH.若存在，求出定点G的坐标；若不存在，说明理由.40 2y2x7(2023·江西吉安·统考一模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)，焦点到渐近线2x-y=0的距22ab离为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左､右顶点分别为A,B，直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限)，记直线MA斜率k11为k1，直线NB斜率为k2，过原点O做直线l的垂线，垂足为H，当为定值-时，问是否存在定点G，使k23得GH为定值，若存在，求此定点G.若不存在，请说明理由.2y2x8(2023·贵州·校联考模拟预测)已知双曲线E:-=1a>0,b>0的一条渐近线方程为x-22ab3y=0，焦点到渐近线的距离为1.(1)求E的方程；(2)过双曲线E的右焦点F作互相垂直的两条弦(斜率均存在)AB、CD.两条弦的中点分别为P、Q，那么直线PQ是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.41 29(2023·四川成都·三模)已知斜率为3的直线l与抛物线C:y=4x相交于P，Q两点．(1)求线段PQ中点纵坐标的值；(2)已知点T3,0，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点(异于P，Q)．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．y22x510(2023·全国·统考高考真题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是，点A-2,0在Ca2b23上．(1)求C的方程；(2)过点-2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点．42 11(2022·全国·统考高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,-2,3B,-1两点．2(1)求E的方程；(2)设过点P1,-2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH．证明：直线HN过定点．2y2x212(2020·山东·统考高考真题)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A2,1．a2b22(1)求C的方程：(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．43 2x213(2020·全国·统考高考真题)已知A、B分别为椭圆E：+y=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上2a顶点，AG⋅GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.44