二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题（学生版）

二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目录题型01二次函数平移问题题型02二次函数翻折问题题型03二次函数对称问题题型04二次函数旋转问题题型05二次函数折叠问题题型01二次函数平移问题1.二次函数的平移变换22平移方式(n&gt;0)一般式y=ax+bx+c顶点式y=a(x-h)+k平移口诀22向左平移n个单位y=a(x+n)+b(x+n)+cy=a(x-h+n)+k左加22向右平移n个单位y=a(x-n)+b(x-n)+cy=a(x-h-n)+k右减22向上平移n个单位y=ax+bx+c+ny=a(x-h)+k+n上加22向下平移n个单位y=ax+bx+c-ny=a(x-h)+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.21(2023&middot;上海杨浦&middot;统考一模)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax-2ax-3a&ne;0与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．1,(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BC上一点，如果&ang;PAC=45&deg;，求点P的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF&perp;直线AP，垂足为点1F，如果tan&ang;PEF=，求平移后抛物线的表达式．232432(2023&middot;广东湛江&middot;校考一模)如图1，抛物线y=x+x+23与x轴交于点A，B(A在B左63边)，与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN&perp;AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；(2)如图2，在(1)的条件下，过点F作FH&perp;x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A与点C重合，从而得到△AHL(点A，H，L分别对应点A，H，L)，再将△AHL绕点H逆时针旋转&alpha;(0&deg;&lt;&alpha;&lt;180&deg;)，旋转过程中，边AL所在直线交直线DE于Q，交y轴于点R，求当△PQR为等腰三角形时，直接写出PR的长．123(2023&middot;广东潮州&middot;校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A(-2,20),B(4,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．2,(1)求抛物线的函数表达式；PQPQ(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；OQOQ12(3)把抛物线y=-x+bx+c沿射线AC方向平移5个单位得新抛物线y，M是新抛物线上一点，N是2新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．4(2023&middot;湖北襄阳&middot;校联考模拟预测)坐标综合：2(1)平面直角坐标系中，抛物线C1：y1=x+bx+c的对称轴为直线x=3，且经过点6,3，求抛物线C1的解析式，并写出其顶点坐标；22(2)将抛物线C1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C2：y2=x-2mx+m-1，①如图1，设自变量x在1&le;x&le;2的范围内取值时，函数y2的最小值始终等于-1．此时，若y2的最大值比1最小值大m，求m的值；21②如图2，直线l：y=-x+nn&gt;0与x轴、y轴分别交于A、C两点.过点A、点C分别作两坐标轴的平2行线，两平行线在第一象限内交于点B．设抛物线C2与x轴交于E、F两点(点E在左边)．现将图中的△CBA沿直线l折叠，折叠后的BC边与x轴交于点M．当8&le;n&le;12时，若要使点M始终能够落在线段EF(包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物线C1在向抛物线C2平移时，沿x轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？25(2023&middot;浙江湖州&middot;统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x-4x+c的图象与y轴的交点坐标为0,5，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为1,5．3,(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位0<t<3得到对应的矩形abcd．已知边cd，2ab分别与函数y=x-4x+c的图象交于点p，q，连接pq，过点p作pg⊥ab于点g．①当t=2时，求qg的长；②当点g与点q不重合时，是否存在这样的t，使得△pgq的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．126(2023·江苏·统考中考真题)如图，二次函数y=x+bx-4的图像与x轴相交于点a(-2,0)、b，其2顶点是c．(1)b=；5(2)d是第三象限抛物线上的一点，连接od，tan∠aod=；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线2经过点d，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点q，且其顶点p落在原抛物线上，连接pc、qc、pq．已知△pcq是直角三角形，求点p的坐标．7(2023·湖北宜昌·统考模拟预测)如图，过原点的抛物线y1=ax(x-2n)(a≠0,a,n为常数)与x轴交于另一点a，b是线段oa的中点，b-4,0，点m(-3,3)在抛物线y1上．(1)点a的坐标为；4,(2)c为x轴正半轴上一点，且cm=cb．①求线段bc的长；②线段cm与抛物线y1相交于另一点d，求点d的坐标；16(3)将抛物线y1向右平移(4-t)个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线y2，p，q是抛物线y25上两点，t是抛物线y2的顶点．对于每一个确定的t值，求证：矩形tpnq的对角线pq必过一定点r，并求出此时线段tr的长．题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。21(2023·广东潮州·一模)如图，直线y=-2x+3交x轴于点b，交y轴于点c，抛物线y=-x+bx+c经过a，c两点，且a-1，0．(1)求抛物线的解析式．(2)p是抛物线第一象限内的一个动点，过p作ph⊥bc于h，求ph+2hb的最大值．(3)m是抛物线对称轴上的一个动点，连接mb，把线段mb沿着直线bc翻折，m的对应点m恰好落在抛物线上，求m点坐标．2(2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模)定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点-1,-1是函数y=2x+1的图象的“等值点”．2(1)分别判断函数y=x+2，y=x-x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；3(2)设函数y=(x>0)，y=-x+b的图象的&ldquo;等值点&rdquo;分别为点A，B，过点B作BC&perp;x轴，垂足为C．x当△ABC的面积为3时，求b的值；2(3)若函数y=x-2x&ge;m的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个&ldquo;等值点&rdquo;时，请直接写出m的取值范围．23(2023&middot;江苏无锡&middot;无锡市民办辅仁中学校考一模)如图，将二次函数y=x+2x+1的图象沿x轴翻2折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y=ax+bx+c的图象，函数y=22x+2x+1的图象的顶点为A，函数y=ax+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D(点D位于点C左侧)．5,2(1)求函数y=ax+bx+c的解析式；(2)从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；(3)点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN1的面积为△ABC面积的？若存在，求tan&ang;MAN的值，请说明理由．324(2023&middot;山东淄博&middot;统考中考真题)如图，一条抛物线y=ax+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐9标原点，点A3,-3，点B在第一象限内，对称轴是直线x=，且△OAB的面积为184(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点B的坐标；(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5(2023&middot;辽宁鞍山&middot;校考一模)抛物线与坐标轴交于A-1,0，B4,0，C0,2(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x轴上的一点，过点D作EF∥AC，交抛物线于E、F，当EF=3AC时，求出点D的坐标；6,(3)点D是x轴上的一点，过点D作DE∥AC，交线段BC于E，将△DEB沿DE翻折，得到△DEB，若△DEB与△ABC重合部分的面积为S，点D的横坐标为m，直接写出S与m的函数关系式并写出取值范围．题型03二次函数对称问题二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀2绕顶点旋转180&deg;y=-a(x-h)+ka变号，h、k均不变2y=a(x-h)+k绕原点旋转180&deg;y=-a(x+h)2-ka、h、k均变号2沿x轴翻折y=-a(x-h)-ka、k变号，h不变2沿y轴翻折y=a(x+h)+ka、h不变，h变号21(2023&middot;湖南岳阳&middot;统考二模)在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y=2x-(m+1)x+m绕原点旋转180&deg;后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x&lt;1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是()A.m&ge;5B.m&le;5C.m&ge;-5D.m&le;-522(2023&middot;广东河源&middot;统考一模)抛物线y=2x-4x-5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180&deg;，得到的新图象的解析式为．23(2023&middot;吉林松原&middot;校联考二模)如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于点A1,0，B5,0，顶点为P．(1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；(2)如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部分记作图形M，在图形M中，回答：①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为；3②当&le;x&le;4时，求y的取值范围；2315③当m&le;x&le;m+2，且m&gt;时，若最高点与最低点的纵坐标的差为，直接写出m的值．247,4(2023&middot;四川德阳&middot;统考中考真题)已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,-4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180&deg;，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点DFH，过点F作FG&perp;CH于点G，若=25．求点F的坐标．HG25(2023&middot;山东日照&middot;统考中考真题)在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=-ax+5ax+2a&gt;0交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；1(2)当a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P为直线AD上方抛物线3上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；1(3)坐标平面内有两点E,a+1,F5,a+1，以线段EF为边向上作正方形EFGH．a①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；5②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的2值．26(2023&middot;河南新乡&middot;统考二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax-2ax+a-1经过原点．8,(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．(2)将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180&deg;得到W，W与W组成一个新的函数图像，记作G．①点M，N为图像G上两点(点M在点N的左侧)，且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为图像G上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围；②若点(m,y1)，(m+1,y2)在图像G上，且y1</t<3得到对应的矩形abcd．已知边cd，2ab分别与函数y=x-4x+c的图象交于点p，q，连接pq，过点p作pg⊥ab于点g．①当t=2时，求qg的长；②当点g与点q不重合时，是否存在这样的t，使得△pgq的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．126(2023·江苏·统考中考真题)如图，二次函数y=x+bx-4的图像与x轴相交于点a(-2,0)、b，其2顶点是c．(1)b=；5(2)d是第三象限抛物线上的一点，连接od，tan∠aod=；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线2经过点d，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点q，且其顶点p落在原抛物线上，连接pc、qc、pq．已知△pcq是直角三角形，求点p的坐标．7(2023·湖北宜昌·统考模拟预测)如图，过原点的抛物线y1=ax(x-2n)(a≠0,a,n为常数)与x轴交于另一点a，b是线段oa的中点，b-4,0，点m(-3,3)在抛物线y1上．(1)点a的坐标为；4,(2)c为x轴正半轴上一点，且cm=cb．①求线段bc的长；②线段cm与抛物线y1相交于另一点d，求点d的坐标；16(3)将抛物线y1向右平移(4-t)个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线y2，p，q是抛物线y25上两点，t是抛物线y2的顶点．对于每一个确定的t值，求证：矩形tpnq的对角线pq必过一定点r，并求出此时线段tr的长．题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。21(2023·广东潮州·一模)如图，直线y=-2x+3交x轴于点b，交y轴于点c，抛物线y=-x+bx+c经过a，c两点，且a-1，0．(1)求抛物线的解析式．(2)p是抛物线第一象限内的一个动点，过p作ph⊥bc于h，求ph+2hb的最大值．(3)m是抛物线对称轴上的一个动点，连接mb，把线段mb沿着直线bc翻折，m的对应点m恰好落在抛物线上，求m点坐标．2(2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模)定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点-1,-1是函数y=2x+1的图象的“等值点”．2(1)分别判断函数y=x+2，y=x-x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；3(2)设函数y=(x>