专题14 集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）（解析版）

专题14集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）一、单选题1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得,然后利用共轭复数的概念判定.【详解】解：,故选：C.2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（）A．无症状感染者B．发病者C．未感染者D．轻症感染者【答案】A【分析】由即可判断S的含义.【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，故选：A.3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（  ） A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，故选：B.4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（    ）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.故选：C5．（2020·陕西榆林·统考一模）在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（    ）A．B．4C．D．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：，直接求解即可.【详解】 ，.故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式在复数集中有个复数根（重根按重数计）那么在复平面内使除了1和这两个根外，还有一个复数根为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用方程根的意义，把代入方程，经化简变形即可得解.【详解】因是方程的根，即，所以是方程的根.故选：B7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式代入求解即可.【详解】解：根据欧拉公式， 得，即它在复平面内对应的点为，故位于第二象限.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数，且(其中i是虚数单位，则复数（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据条件，设，再列式求，即可得到复数.【详解】设，，①，得，且②，由①②解得：，，所以.故选：C9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程，它的两个虚数根分别为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据方程根的定义进行验证．【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD，A选项，， 因此选项A正确，则选项B错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．故选：A．10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.【详解】设，因，则，即，而，则，解得，所以.故选：C11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为A．B．C．D．【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合、、的表达式，检验是否为、、的元素，即可选出正确选项．【详解】因为，则，选项A错误；，则，选项B错误；，则，选项C错误；，故；，故；，故，则，选项D正确.故选：D．12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去， 就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（    ）A．3B．4C．7D．8【答案】D【分析】根据自恋数的定义可得集合，再根据交集的定义求出，从而可得答案.【详解】解：依题意，，，故，故的子集个数为8．故选：D．13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为A．B．C．D．【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案.【详解】第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即；第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即；第三次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即，所以答案为.故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）A．大于B．小于C．大于等于D．小于等于【答案】A【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.由杠杆的平衡原理：，．解得，，则.下面比较与10的大小：（作差比较法）因为，因为，所以，即.所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A15．（2022·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立【答案】D 【分析】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论．【详解】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）B．C．（a＞0，b＞0）D．（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由图形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出.【详解】解：由图形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习） 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由复数几何意义可得的轨迹为圆，从而将问题转化为点到点的距离，则所求最大值为圆心到的距离加上半径.【详解】，对应的点的轨迹为圆；的几何意义为点到点的距离，.故选：C.18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式，（其中是虚数单位，是自然对数的底数，），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.【详解】对于A，，所以，故A不正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，，，所以，故C不正确；对于D，，故D不正确.故选：B. 19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（    ）A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.故选：C20．（2021春·安徽·高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组．A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】原方程可化为，所以即，再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对，因为所以 当或时，等号是不能成立的，所以即，（1）当时，即（2）当时，即或（3）当时，即综上所述，共有四组解故选：D21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ）．A．B．10C．D．【答案】C【分析】先由勾股定理得，再利用基本不等式易得，由此得到，问题得解.【详解】不妨设该直角三角形的斜边为，直角边为，则，因为，所以，即，当且仅当且，即时，等号成立，因为，所以，所以该直角三角形周长，即这个直角三角形周长的最大值为.故选：C.22．（2017·湖北·校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误命题的个数是对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；圆的一个太极函数为；圆的太极函数均是中心对称图形；奇函数都是太极函数； 偶函数不可能是太极函数.A．2B．3C．4D．5【答案】B【详解】由定义可知过圆的任一直线都是圆的太极函数，故正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故错误；∵，∴的图象关于点成中心对称，又∵圆关于点成中心对称，故可以为圆的一个太极函数，故正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，例如：故错误；奇函数的图象关于原点对称，其图象可以将任意以原点为圆心的圆面积及周长进行平分，故奇函数可以为太极函数，故正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故错误；则错误的命题有3个，故选B.二、多选题23．（2021春·广东梅州·高二统考期末）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数对应的点位于第一象限B．为纯虚数C．复数的模长等于D．的共轭复数为【答案】AC【分析】根据欧拉公式计算出各复数，再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共轭复数的概念即可判断各选项的真假．【详解】对A，，因为，所以，即复数对应的点位于第一象限，A正确；对B，，为实数，B错误；对C，，则复数的模长为：，C正确；对D，，共轭复数为，D错误．故选：AC．24．（2022春·广东梅州·高一统考期末）欧拉公式（本题中为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（    ）A．B．复数在复平面内对应的点位于第二象限C．复数的共轭复数为D．复数在复平面内对应的点的轨迹是圆【答案】ABD【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断B；由欧拉公式和共轭复数的概念可判断C；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D.【详解】对于A，，A正确；对于B，，， 复数在复平面内对应的点位于第二象限，B正确；对于C，，共轭复数为，C错误；对于D，，在复平面内对应的点为，又，在复平面内对应的点的轨迹是圆.故选：ABD.25．（2022·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（    ）A．关于数的乘法构成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群D．关于数的加法构成群【答案】CD【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.【详解】对于A：若，对所有的a、，有，满足乘法结合律，即①成立，满足②的为1，但当时，不存在，使得，即③不成立，即选项A错误；对于B：因为，且，但，所以选项B错误；对于C：若，对所有的a、，有，满足加法结合律，即①成立，满足②的为0，，，使，即③成立；即选项C正确； 对于D：若，所有的、，有，成立，即①成立；当时，，满足的，即②成立；，，使，即③成立；即选项D正确.故选：CD.26．（2020秋·江苏盐城·高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（   ）①由图1和图2面积相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．①B．②C．③D．④【答案】ABCD【解析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中 的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得，所以，故①正确；对于②：因为，所以，所以，设图3中内接正方形边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以，因为，所以，整理可得，故②正确；对于③：因为为斜边的中点，所以，因为，所以，整理得，故③正确；对于④：因为，所以，整理得：，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得的表达式，根据图形及题意，得到的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.27．（2022秋·黑龙江佳木斯·高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且.设，，，垂足为，则该图形可以完成的无字证明为（    ）A．B．C．D．【答案】AC【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：根据图形，利用射影定理得：，由于：，所以：．由于，所以所以由于，整理得：．故选：．【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．28．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（    ）A．B．C．D．【答案】BC【分析】设身高为，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高.【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点,假设身高为，即， 人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，,.，且，，,，人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比均是，,,,且，，，,,由题意可得，，，,故BC正确.故选：BC29．（2021秋·全国·高一期末）早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ）A．若，则B．若，，则最小值为C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是【答案】CD【分析】通过反例可知A错误；根据基本不等式“”的应用可求得BC正误；令，，将所求式子化为，利用基本不等式可知D正确.【详解】对于A，若，，则，A错误；对于B，，，，，（当且仅当，即时取等号），即的最小值为，B错误；对于C，，，，又，（当且仅当，即时取等号），C正确；对于D，令，，则，（当且仅当时取等号），即的最小值是，D正确.故选：CD.30．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（    ）A．若且，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】BCD【分析】利用不等式性质结合可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C，根据幂函数的性质可判断D.【详解】A中，时，则，错误； B中，因为，，所以成立，正确；C中，因为，，所以，，所以，即，正确；D中，由，可得，又，所以，正确.故选：BCD.三、填空题31．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数（i为虚数单位），则__________．【答案】【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.【详解】；故答案为：.32．（2022·全国·高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】“好汉”“到长城”，“到长城”“好汉”，所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分33．（2022·高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.【答案】        【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可. 【详解】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为.此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为.故答案为：，34．（2022秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是指以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，使得．该图形完成的无字证明．图中线段__________的长度表示，的调和平均数，线段______________的长度表示，的平方平均数．【答案】    DE    DG【分析】根据△ACD∽△DCB得到，进而由得到，由得到，进而由勾股定理求出.【详解】因为，，所以，因为为直径，所以，因为，则∠ACD=∠BCD=90°，又∠DAC+∠ADC=90°，∠ADC+∠BDC=90°，所以∠DAC=∠BDC，所以△ACD∽△DCB，所以，所以， 因为为的中点，故O为圆心，所以，因为过点作的垂线，垂足为，可证得，所以，即，所以，因为，所以，结合，可得：所以，所以，故，由勾股定理得：故答案为：DE，DG35．（2022秋·浙江温州·高三温州中学校联考期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得____________两银子”.【答案】    36    24【分析】设共有人，则每人分得两银子，由条件可得，解出即可.【详解】设共有人，则每人分得两银子，因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二， 所以，即，解得或（舍去）所以一共有36人，每人分得24两银子故答案为：36；2436．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根据这个公式可知______.【答案】2【分析】根据题中所给公式进行求解即可.【详解】根据棣莫佛公式，由，因为，所以，故答案为：37．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，，则是的更为精确的近似值．已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为________．【答案】【解析】根据题中所给定义及数据，可得第一次使用“调日法”可得近似分数，与比较，进行第二次运算，即可得答案.【详解】因为，所以第一次使用“调日法”可得近似分数为，所以，所以， 所以第二次使用“调日法”可得近似分数为.故答案为：38．（2021·江苏·高一专题练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是________.①M没有最大元素，N有一个最小元素；②M没有最大元素，N也没有最小元素；③M有一个最大元素，N有一个最小元素；④M有一个最大元素，N没有最小元素；【答案】③【解析】根据新定义，并正确列举满足条件的集合，判断选项.【详解】①若，，则集合没有最大值，中有最小元素0，故①正确；②若，，则中没有最大元素，也没有最小元素，故②正确；③假设③正确，则中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故③不正确；④若，，集合有最大值，没有最小值，故④正确；故答案为：③.【点睛】本题是创新型题型，以新定义为背景，考查有理数集的交集和并集，属于中档题型，本题的关键是理解题中的新定义，并合理举例.四、解答题39．（2022秋·江苏盐城·高一盐城中学校考阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元：（3）整体代入：（4）整体求和等.例如，，求证：.证明：原式 .波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？【答案】时有最小值，最小值为2【分析】根据题意利用基本不等式求最值即可.【详解】因为，，所以，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.