专题05 向量专题（数学文化）（解析版）

专题05向量专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（    ）A．24B．6C．D．【答案】A【分析】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐标，再由数量积的坐标表示计算．【详解】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，，即，，由分形知，所以，所以，所以．故选：A． 2．（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】解：在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且．在A中，，故A正确；在B中，，故B错误；在C中，，故C错误； 在D中，，，若，则，不合题意，故D错误．故选：A．3．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.【详解】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.4．（2021秋·山东威海·高三统考期中）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A．B．C．D．【答案】C【分析】表示出向量后，根据平面向量旋转公式可求得，由此可求得点坐标.【详解】，，，点绕点沿顺时针方向旋转等价于点绕点沿逆时针方向旋转，，.故选：C.5．（2022·高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解.【详解】根据题意可得，由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图由对称性可得,由对称性可得点共线，点共线.所以， 所以故选：D6．（2022春·黑龙江黑河·高一嫩江市高级中学校联考阶段练习）下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（    ）．A．B．C．D．【答案】B【分析】如图所示，取、为一组基底的基向量，其中且、的夹角为60°，将和 化为基向量，利用平面向量的数量积的运算律可得结果.【详解】如图所示，建立以、为一组基底的基向量，其中且、的夹角为60°，∴，，∴.故选：B．7．（2022·全国·高三专题练习）伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形中，是线段上的点，，，则（    ）.A．3B．6C．9D．12【答案】B【解析】以、为一组基底，表示出，再根据向量的数量积的定义及运算律计算可得；【详解】解：在正三角形中，是线段上的点，，，所以所以故选：B 8．（2021春·福建福州·高一校考阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（    ）A．B．C．D．1【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可.【详解】由题意建立如图所示直角坐标系因为，，则，，，，，设，因为 ，所以，解得.由，得，所以解得所以，故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.9．（2022春·北京·高一北京市第二十五中学校考期中）据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有满足“勾3股4弦5”，其中，，点是延长线上的一点，则=（    ）A．3B．4C．9D．不能确定【答案】C【解析】根据满足“勾3股4弦5”可得，再利用平面向量的线性运算以及两个垂直向量的数量积为0，可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，考查了平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积为0，属于基础题.10．（2022·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形 的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解．【详解】解：，显然，，所以，，，，故选：D．11．（2022秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ） A．B．C．D．【答案】D【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解．【详解】解：如图，为圆心，连接，则，因为点在线段上且，则圆心到直线CD的距离，所以，所以，则，即的取值范围是,．故选：D．12．（2023·全国·高三专题练习）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（    ） A．28mB．20mC．31mD．22m【答案】D【分析】由，得，则可得，可求得，，分别为的中点，则由已知可得为的中点，再结合已知的数据可求得结果【详解】因为，所以，因为，所以∽，所以，所以，因为，，所以，设，分别为的中点，因为，所以，所以为的中点，因为，，所以，所以，所以，所以故选：D 13．（2022·全国·高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知可得出，利用平面向量的线性运算得出，再结合平面的基本定理可得结果.【详解】由题意得，所以，即，故选：B．14．（2022春·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界．数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点，，两动点，，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为．设函数，，其中，，令，作随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”．则以下4幅图中，点的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（    ） A．B．C．D．【答案】B【分析】考虑特殊值，用排除法，取，确定的的位置，排除错误选项得结论．【详解】先考虑与共线的蝴蝶身方向，令，，要满足，故排除A，C；再考虑与垂直的方向，令，要满足，故排除D，故选：B．15．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（    ） A．B．C．D．【答案】D【分析】取AB的中点O，连接MO，通过转化得，则转化为求的最大值，由图得当点M与点F或点E重合时，取得最大值，计算最值即可.【详解】如图，取AB的中点O，连接MO，连接，分别过点，点作的垂线，垂足分别为，所以，当点M与点F或点E重合时，取得最大值，易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，，则，，取得最大值为，所以的最大值为，故选：D.二、多选题16．（2022·全国·高三专题练习）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响．如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（    ） A．与能构成一组基底B．C．D．【答案】BCD【分析】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，可判断选项A；从而可得，可判断选项B；连结AC交OB于点M，可判断选项C；先判断出，结合向量的加法和数量积的运算性质可判断选项D.【详解】连接，，由正八边形的性质可知，，，所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；又，所以，所以，B项正确；由上过程可知，连结交于点，在直角三角形中，为的中点，则，又，所以，C项正确；又正八边形的每一个内角为：，延长，，相交于点，则，所以，故，所以，D项正确.故选：BCD. 17．（2022春·广东揭阳·高一校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（    ）A．为定值B．的取值范围是C．当时，为定值D．的最大值为12【答案】AC【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误.【详解】如图，设直线与圆于，.则, 故A正确.取的中点为，连接，则，而，故的取值范围是，故B错误.当时，，故C正确.因为，故，故D错误.故选：AC18．（2021春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）（多选）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设.则下述四个结论，正确结论是（    ）A．以直线为终边的角的集合可以表示为B．在以点为圆心、为半径的圆中，弦所对的弧长为C．D． 【答案】BD【分析】根据终边相同的角的定义可判断A；利用扇形的弧长公式可判断B；利用平面向量数量积的定义可判断C；利用平面向量的坐标运算可判断D.【详解】对于A，以直线为终边的角的集合可以表示为，故A错误；对于B，，以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为，故B正确；对于C，由平面向量数量积的定义可得，故C错误；对于D，易知点，，，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，解题的关键是熟悉终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.19．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的有（    ）A．B．C．D．向量在向量上的投影向量为【答案】ABD【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得 出答案.【详解】解：图2中的正八边形，其中，对于A，故A正确；对于B，故B正确；对于C：因为，，，，则，，所以，故C错误；对于D：因为，所以向量在向量上的投影向量即为在向量上的投影向量，故D正确．故选：ABD．20．（2020春·广东东莞·高一校考阶段练习）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点､､分别是的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A；由可得，利用向量的线性运算，再结合集合判断选项B；利用故选项C不正确，利用外心的性质可判断选项D，即可得正确选项.【详解】因为是的重心，是的外心，是的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以，对于选项A：因为是的重心，为的中点，所以，又因为，所以，即，故选项A正确；对于选项B：因为是的重心，为的中点，所以，，因为，所以，，即，故选项B正确；对于选项C：，故选项C不正确；对于选项D：设点是的外心，所以点到三个顶点距离相等，即，故选项D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件得，利用向量的线性运算结合可得出向量间的关系.21．（2021·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（    ）A．B．C．D． 【答案】ABCD【分析】变形后表示为，再由奔驰定理得出向量的关系，利用平面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明是的重心，由平面几何知识判断B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出的面积，利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D．【详解】因为，所以，即，所以，又由奔驰定理得，因为不共线，所以，所以，A正确；延长分别与对边交于点，如图，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四边形中，，所以，B正确；由得，所以，由选项B得，，，所以，C正确；由上讨论知，， ，所以，又由选项C：，得，由奔驰定理：得，D正确．故选：ABCD．【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查学生的创新能力，理解新知识、应用新知识的能力．解题关键一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量关系，二是利用数量积的运算得出是三角形的垂心，由此利用平面几何知识得出角的关系，再利用三角函数知识进行推导得出相应结论．三、填空题22．（2020秋·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）早在两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》中，就提出了宛田(扇形面积)的计算方法:“以径乘周，四而一.”(直径与弧长乘积的四分之一).已知扇形的弧长为面积为设，则实数等于__________．【答案】【分析】先利用扇形的面积公式及弧长公式求出半径和圆心角，再利用向量数量的运算求出和，进而可得实数的值. 【详解】解：如图由扇形面积公式可得，得，所以扇形圆心角，则为等边三角形，则，又，所以，即.故答案为：.【点睛】本题考查本题考查扇形的面积公式及弧长公式的应用，考查向量模的运算，是基础题.23．（2022秋·四川内江·高三四川省隆昌市第一中学校考开学考试）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形的边长为，是正八边形所在平面内的一点，则的最小值为___________.【答案】【分析】设为的中点，可得出，即可求得的最小值.【详解】设为的中点， .当且仅当点为线段的中点时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.24．（2022秋·全国·高二校联考开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点M为的中点，点P是内（含边界）一点，且，则的最大值为__________.【答案】2【分析】由题设，易得，过A作的平行线交于点Q，即可判断P与Q重合时的值最大，进而求最大值.【详解】由得：，又M为的中点，所以，所以，过A作的平行线交于点Q，当P与Q重合时，的值最大.因为M为的中点，且， 所以D为的中点，此时，所以的最大值为2.故答案为：225．（2022·全国·高三专题练习）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象．如图（1）是八卦模型图，将共简化成图（2）的正八边形，若，则______________．【答案】##【分析】在中由余弦定理求出，进而可得，再由数量积的定义求解即可【详解】在中，设，，则，所以，又，所以，所以，，所以故答案为： 26．（2022春·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______．①   ②③     ④【答案】①③④【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.【详解】对于①，重心为G，有，故，故①正确；对于②，外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，易知D、E分别是AB、AC的中点，有，∴，故②错误；对于③，由欧拉线定理得，即，又有，故，即， 故③正确；对于④，由得，故，所以，故④正确.故答案为：①③④.27．（2022·全国·高三专题练习）笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当_______时，.【答案】【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．【详解】由已知，，，，解得：．故答案为：．28．（2021·湖南·校联考二模）根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______. 【答案】【解析】若，解得，得到，不符合题意；若，解得，求得，进而求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由已知可得显然，若，则，解得，此时，与矛盾，不符合题意；若，则，解得，此时，符合.所以，，，，，所以，所以.【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.四、解答题29．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知，点分别在弧，弧上，且. (1)若时，求的值.(2)若时，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用向量的数量积即可求得结果.(2)建立直角坐标系，用向量坐标表示求出即可.（1）解：（1）线段长为半径画圆弧，可得,；由向量的数量积可得（2）以点为原心，所在直线为轴建立直角坐标系则所以.