专题04 三角函数（新定义）（解析版）

专题04三角函数（新定义）一、单选题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角的弧度数，继而求得答案.【详解】设角所在的扇形的半径为r，则，所以，所以，故选：D．2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　）A．1B．4C．8D．9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得，即.因为，所以，则， 当且仅当时等号成立,故，故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示错误的是（    ）A．12-50B．2-50C．13-50D．32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；【详解】解：因为，即，即，所以，所以，或，解得或对于A：密位制对应的角为，符合题意；对于B：密位制对应的角为，符合题意；对于C：密位制对应的角为，不符合题意；对于D：密位制对应的角为，符合题意；故选：C4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（    ）A．0.50B．0.52C．0.54D．0.56【答案】C【分析】将化为，根据新定义，取代入公式 中，直接计算取近似值即可．【详解】由题意可得，，故，故选：．5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数，，当取到最大值时对应的x用密位制表示为（    ）A．15—00B．35—00C．40—00D．45—00【答案】C【分析】利用导数研究在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定取到最大时x用密位制.【详解】由题设，，在时，在时，所以在上递增，在上递减，即，故取到最大值时对应的x用密位制表示为40—00.故选：C6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（    ）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果． 【详解】解：当甲：错误时，乙：正确，此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），或，∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁．故选：D．7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设，定义运算，则函数的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由定义先得出，然后分，两种情况分别求出的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得当时，即则，即此时当时，有最小值为当时，即则，即 此时，所以的最小值为故选：B8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得，可得，因为，则，因为，当且仅当时，等号成立，故.故选：D.9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（    ）A．B．C．D．与有关的值【答案】C【分析】先确定集合相对于的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果. 【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为把，，，代入上式整理得，.故选：C.10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】如图作三角形，先求出，再求出的值.【详解】如图，等腰三角形，,，取中点连接. ，由题意可得，所以，所以，所以.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据，利用切化弦和同角三角函数关系转化成的二次方程，可求出的值，结合对称轴可求出，最后利用周期公式进行求解即可．【详解】，因为，所以， 即，，所以，解得或（舍去），而，所以，即，而的图象的一条对称轴为，所以，即，，解得，，所以正数取最小值为，此时函数的最小正周期为．故选：．12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解.【详解】由题意可知，集合相对于的“余弦方差”代入公式可得 因为所以原式，故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是A．B．C．D．【答案】A【分析】由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，所以的周期为，则，所以， 由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得．【详解】由题意，的最小值是，又，由，得，，，时，，所以．故选：A．【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（    ）A．B．3C．D．【答案】D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值．【详解】因为在区间，上是“凸函数”， 所以得即：的最大值是故选：D.【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．二、多选题16．（2022·全国·高一专题练习）定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为（    ）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：依题意 ，因为，所以，所以，所以；故选：ABC17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（    ）A．与的最小正周期均为B．与的图象均关于直线对称C．的最大值是的最小值D．与的图象关于原点中心对称【答案】BD【分析】先求出，，结合函数与的图象即可求解【详解】设则，函数与的大致图象如下所示： 对A，由图知，与的最小正周期均为2π；故A错误；对B，由图知，为函数与的对称轴，故B正确.对C，，由图知∶函数的值域为，函数的值域为，故C错误；对D，由图知，与的图象关于原点中心对称，故D正确；故选：BD.18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（    ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】由题可得，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可.【详解】若与广义互余，则，即．又由，可得．对于A，若与广义互余，则，由可得与可能广义互余，故A正确；对于B，若与广义互余，则，由可得  ，故B错误；对于C，综上可得，，所以，由此可得C正确，D错误．故选：AC．19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更 加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（    ）A．B．C．若，则D．函数的最大值为【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确；化简已知等式得到，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出求得结果，知C正确；利用诱导公式化简整理得到，由此可知最大值为，知D错误.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，，C正确；对于D，，当时，，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（    ）A．函数在上是减函数 B．函数的最小正周期为C．D．【答案】AC【分析】由余弦函数的单调性可判断A选项；验证得，可判断B选项；由定义的诱导公式可判断C选项；取，代入验证可判断D选项.【详解】因为，而在上是增函数，所以函数在上是减函数，故A正确；函数，所以，所以B错误；，故C正确；取，，，所以，故D错误,故选：AC.【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.三、填空题21．（2023·高一课时练习）我们规定把叫做对的余弦方差，那么对任意实数B，B对的余弦方差是______．【答案】##【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案.【详解】依题意，B对的余弦方差是： .故答案为：22．（2022·全国·高一专题练习）已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数.若，以下四个函数中：①；      ②；③；     ④.所有是在上生成的函数的序号为________.【答案】①②③【分析】根据两角差的余弦公式、二倍角公式，结合题中定义逐一判断即可.【详解】.①：，因此有，所以本函数是在上生成的函数；②：，因此有，本函数是在上生成的函数；③：，因此有，本函数是在上生成的函数；④：，显然不存在实数，使得成立， 因此本函数不是在上生成的函数，故答案为：①②③23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如的式子叫做行列式，其运算法则为，则行列式的值是___________.【答案】【分析】根据新定义计算即可．【详解】由题意．故答案为．24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有__________．（选填序号）【答案】①②【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，，，四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，所以“同形”函数有①②.故答案为：①②.25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①；②；③；④【答案】①②③【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断． 【详解】当时，函数，的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象经过七个格点，，不符合题意．故答案为：①②③．26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为；           ②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；    ④该函数为周期函数，且最小正周期为；⑤该函数的递增区间为.其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）【答案】①④⑤.【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．详解：①中，由三角函数的定义可知，所以，所以是正确的；②中，，所以，所以函数关于原点对称是错误的；③中，当时，，所以图象关于对称是错误的；④中，，所以函数为周期函数，且最小正周期为，所以是正确的；⑤中，因为，令，得，即函数的单调递增区间为，所以是正确的，综上所述，正确命题的序号为①④⑤．点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象 与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________【答案】【详解】试题分析：：∵，∴0≤sinx≤1∴由题意可得，函数的最大值考点：三角函数的最值四、解答题28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)已知，，，若，，求的值【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据公式直接计算即可. （2）根据公式得到，，计算得到答案.【详解】（1），，故余弦距离等于；（2）；故，，则.29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，．顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)的值为（    ）A．            B．            C．        D．(2)对于，的正对值的取值范围是______．(3)已知，其中为锐角，试求的值．【答案】(1)B (2)(3)【分析】（1）在等腰中，取，，利用正对的定义可得出的值；（2）在等腰中，，取的中点，连接，则，推导出，结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围；（3）利用同角三角函数的基本关系求出，利用二倍角公式可求得，由此可得出的值.【详解】（1）解：在等腰中，，，则为等边三角形，所以，，故选：B.（2）解：在等腰中，，取的中点，连接，则，则，因为，则，故.故答案为：.（3）解：，则，所以，，所以，，因此，.30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数，平面内一点坐标，我们称为函数的“相伴特征点”，为的“相伴函数”．（1）已知，求函数的“相伴特征点”； （2）记的“相伴函数”为，将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，作出在上的图象．【答案】（1）；（2）作图见解析.【分析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出，由此可得出函数的“相伴特征点”的坐标；（2）由题中定义可得出，利用三角函数图象变换得出，然后通过列表、描点、连线，可得出函数在区间上的图象.【详解】（1），故函数的“相伴特征点”为；（2）由题意可得，将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象，再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得到函数的图象，再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，当时，，列表如下： 故函数在上的图象如下图所示.【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.五、双空题31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间，表示函数在区间上的最大值，则______，若，则的值为______．【答案】    1；    或【分析】由题可得，故1；对t分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t即可.【详解】当时，， ∴当时，，∴1；当，即时，，，这与矛盾，当且，即时，，或，由可得，或，所以或，当，即时，，，这与矛盾；综上所述，的值为或.故答案为：1；或.32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在非零常数，对任意，有成立．（1）给出下列两个函数：，，其中属于集合的函数是__________．（2）若函数，则实数的取值集合为__________．【答案】        【分析】（1）根据集合的性质判断．（2）根据集合的性质求解，由恒成立成立，只有，【详解】（1）若，则存在非零点常数，使得，则，对恒成立，这是不可能的，；若，则存在非零点常数，使得，则，对恒成立，，；（2）函数，则存在非零点常数，使得，即，时，， 时，由知，，，，因此要使成立，只有，若，则，，若，则，即，，，综上实数的取值范围是．故答案为：.【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决．