北京市东城区2022-2023学年高一上学期期末统一检测数学试题

东城区2022-2023学年度第一学期期末统一检测高一数学本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为，所以.故选：A2.不等式的解集是（）A.或B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】直接解出不等式即可.【详解】，解得或，故解集为或，故选：B.3.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项在单调递增，故A错误，对D选项在单调性递增，故D错误，根据指数函数图像与性质可知在单调递减，故C正确，根据对数函数图像与性质可知在单调性递增.故选：C.4.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，故其否定为.故选：A.5.已知，则的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为，所以.当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故选：D6.函数的图象关于（）A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线对称 【答案】C【解析】【分析】求出，可知，可得函数为奇函数，进而得到答案.【详解】函数的定义域为R，，所以有，所以为奇函数，图象关于原点对称.故选：C.7.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.【详解】推不出（举例，），而,“”是“”的必要不充分条件，故选：B8.已知函数，对a，b满足且，则下面结论一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数的运算性质可知移项化简即可得.【详解】因为函数，对a，b满足且，所以，则所以，即，解得 故选：D9.记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对数运算性质计算即可.【详解】因为，所以由得：，即，又，所以.故选：A.10.已知实数互不相同，对满足，则对（）A.2022B.C.2023D.【答案】D【解析】【分析】根据代数基本定理进行求解即可..【详解】国为满足， 所以可以看成方程的个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数都有以下恒等式，，令，于有，，，，，，所以，故选：D【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.第二部分（非选择题共70分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数的定义域是__________.【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由得：，的定义域为.故答案为：. 12.__________.【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.详解】.故答案为：613.若，，则______．【答案】【解析】【分析】由，可知，再结合，及，可求出答案.【详解】因为，所以，所以，．故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14.如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则__________；若，则角的终边与单位圆交于点__________.（从中选择，写出所有满足要求的点） 【答案】①.②.【解析】【分析】求出终边经过则对应的角和的关系.【详解】，所以终边经过则角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则，所以，即或即或经过点故答案为：；15.已知函数,①当时，在上的最小值为__________；②若有2个零点，则实数a取值范围是__________.【答案】①.；②.或．【解析】【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；②结合函数和的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．【详解】①，时，是增函数，，时，是增函数，因此，所以时，的最小值是；②作出函数和的图象，它们与轴共有三个交点，，，由图象知有2个零点，则或． 故答案为：；或．三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）求的值；（2）当时，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求的值域.【小问1详解】因为，所以，【小问2详解】由(1)，又，所以，所以，故当时，的值域为.17.已知关于x的不等式的解集为A.（1）当时，求集合A； （2）若集合，求a的值；（3）若，直接写出a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由题意得是方程的根，代入后可得值；（3）代入后不等式不成立可得．【小问1详解】时，不等式为，即，，∴；【小问2详解】原不等式化为，由题意，解得，时原不等式化为，或，满足题意．所以；【小问3详解】，则，解得．18.函数的定义域为，若对任意的，均有.（1）若，证明：；（2）若对，证明：在上为增函数；（3）若，直接写出一个满足已知条件的的解析式.【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析（3），（答案不唯一）【解析】 【分析】（1）赋值法得到；（2）赋值法，令，且，从而得到，证明出函数的单调性；（3）从任意的，均有，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明【小问1详解】令，则，因为，所以；【小问2详解】令，且，则，所以，故，因为对，所以，故，即，在上为增函数；【小问3详解】构造，，满足，且满足对任意的，，理由如下：，因为，故，，故对任意的，.19.已知函数.（1）若为偶函数，求a的值；（2）从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a的值构成集合A，若，求A. 条件①：是增函数；条件②：对于恒成立；条件③：，使得.【答案】（1）；（2）选①②，不存在；选①③，；选②③，．【解析】【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）选①②，时，由复合函数单调性得是增函数，时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在时，由有解，说明不满足②不存在；选①③，同选①②，由单调性得，然后则函数的最大值不大于4得的范围，综合后得结论；选②③，先确定恒成立时的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．【小问1详解】是偶函数，则，恒成立，∴，即；【小问2详解】若选①②，（），若，则是增函数，由得，因此不恒成立，不合题意，若，设，则，恒成立，设，则，，当时，，，，是减函数，时，，，，是增函数，又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在满足题意；若选①③， 若，则是增函数，若，设，则，恒成立，设，则，，当时，，，，是减函数，时，，，，是增函数，又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在满足题意；要满足①，则，所以时，，由得，综上，；所以．若选②③，若，则由，不恒成立，只有时，恒成立，设，则，又时，，，恒成立，设，则，，当时，，，，是减函数，时，，，，是增函数，要满足③，若即时，，所以； 若即时，，所以；若，即时，，所以；综上，所以．20.对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.（1）若，求；（2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；（3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.【答案】（1）（2）的最大值为，（3）n的最大值为11【解析】【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可.【小问1详解】由集合知，，所以 【小问2详解】因为，，由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组满足题意，【小问3详解】要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，因为是集合两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如,则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如，同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，是集合中有个元素的非空真子集，且，例如，所以，解得或（舍去），所以n的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.