广东省茂名市七校联盟2023-2024学年高一上学期联考数学试题

2023－2024学年度茂名市七校联盟高一联考数学试题本试卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U=R，集合A=−≤<{xx∣21}，集合B{2,1,0,1}=−−，则(CA)B=（）UA．{2,1}−B．{1}−C．{1}D．{2,1,0}−−22．命题“∃>xxx0,+−<10”的否定是（）22A．∃>x0，xx+−≥10B．∃≤x0，xx+−≥1022C．∀≤x0，xx+−≥10D．∀>x0，xx+−≥103．日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被−0.008t清除．现已知3H的质量M(kg)随时间t（年）的指数衰减规律是：MMa=⋅（其中M为3H的初0011始质量）．已知经过125年3H的质量衰减为最初的，则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间216为（）A．250B．375C．500D．1000x124．已知条件p:2<，条件qx:−−>560x，则p是q的（）2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件ln||x5．函数fx()=的部分图象大致为（）x学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．1136．已知a=2log2，b=log6，c=，则（）322A．abc<<B．bca<<C．cba<<D．cab<<aab,≤2117．定义min{,}ab=，若fx()=minx,，当fa()≤时，正实数a的取值范围为（）bab,>x411A．0,[4,+∞)B．(−∞,0)0,[4,+∞)2211C．0,[2,+∞)D．(−∞,0)0,[2,+∞)4433228．已知正实数a，b，满足(a−+−≥−−1)(b1)2ab，则ab+的最小值为（）1A．2B．1C．D．42二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列命题中，正确的是（）A．如果ab>，cd<，那么acbd−>−；11B．如果ab>>0，那么>；22abC．若−<<15a，23<<b，则−<−<32ab；eeD．如果ab>>0，cd<<0，e<0，那么>．acbd−−x110．函数yaa=(0>且a≠1)当−≤≤22x时，值域为,2，则a的值可能是（）212A．B．C．2D．22211．若(,)ab(aa>≠0,1)为函数yx=log图像上的一点，则下列选项正确的是（）2b1A．4−≥−a．41B．函数y=logxb+的零点为a．138学科网（北京）股份有限公司 2aC．若01<<a，fx()=−+bx2bxa，则fb()>f(2)．2D．当x∈(1,2)时，不等式(xx−<1)log恒成立，则b的取值范围是(0,1]．a212．已知函数fx()=x−ax，则下列判断正确的是（）A．若fx(+2)为偶函数，则a=4．B．若xm∈[0,]，fx()的值域为[0,]m，则01<≤m．C．若关于x的方程|()|fxx=+1有4个不同的实数根，则a<−1或a>3．322D．∀∈aR，关于x的方程ffx(())=ax−ax不可能有3个不同的实数根。第II卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。113．函数fx()=−+32x的定义域为______．x+2x114．函数fx()是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0,+∞)时，fx()2=，那么flog=______．4915．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过500元部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为______．元．2xx+≤1,016．已知fx()=，方程|()|fxa=有四个不同的根x，x，x，x，且满足1234lg,xx>0xxxx<<<，则xxxx+++的取值范围为______．12341234四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。217．（本小题满分10分）已知集合Axx=≤<{3∣6}，Bxx={∣−+<12x320}．（1）分别求AB，CAB()；R（2）已知Cxaxa={∣<<−21}，若CB⊆，求实数a的取值范围．2a18．（本小题满分12分）设a>0，函数fx()1=−为奇函数．x2+a（1）求a的值；学科网（北京）股份有限公司 （2）请判断函数yfx=()的单调性，并用定义证明．19．（本小题满分12分）已知定义在区间(1,1)−的函数fx()图像关于y轴对称，且当x∈[0,1)时，fx()=−+ln(x1)．（1）求函数fx()的解析式；mn（2）若函数gx()=+>fxkk()(0)有两个不同的零点m、n，证明不等式ee+>2．20．（本小题满分12分）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：建立平台第x年1234会员个数y（千人）14202943*（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台xx(∈N)年后平台会员人数yt（千人），并求出你选择模型的解析式：①y=+>bt(0)，②yd=⋅+>>logxsd(0,r1)，③rxxyma=⋅+>>nm(0,a1)（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过1002千人?参考数据：ln2≈0.6931，ln31.0986≈，ln51.6094≈．221．（本小题满分12分）已知函数fxx()=−1，gxx()=−−+−(m1)xm31，（1）若不等式gx()0≥在区间(3,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对任意的x∈[0,1]，存在x∈[2,4]，使得gx()=fx()，求实数m的取值范围．12122hx()22．（本小题满分12分）已知函数hx()=++xbxc是偶函数，且h(2)=3，fx()=．x（1）当x∈[1,2]时，求函数fx()的值域；211（2）设Fxx()=+−2ax−，x∈[1,2]，求函数Fx()的最小值ga()；2xxa3（3）设t<0，对于（2）中的ga()，是否存在实数t，使得关于a的方程2++2aatg()=0在a∈1,2时有且只有一个解?若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．学科网（北京）股份有限公司 2023－2024学年度茂名市七校联盟高一联考数学试题答案一、选择题题号123456789101112答案CDCABDAAADBCABDABD二、填空题39113．(−∞−,2)−2,14．－315．161016．1,21033338．解：(ab−+−≥−−⇔−+−≥−+−1)(1)2ab(ab1)(1)(1ab)(1)33⇔−+−≥−+−(aabb1)(1)(1)(1)3设fxxx()=+，则fx()为奇函数，在R上单调递增，所以fa(−≥−1)f(1b)，故a−≥−11,bab+≥2，2222()2ab+22由基本不等式可得ab+≥≥=2．当且仅当ab=时等号成立．所以ab+的最小值为2．229．答案AD[解]选项A：cd<，∴−>−cd．ab>，∴acbd−>−．A正确。11111选项B：ab>>0，∴ab>0，>0，∴ab⋅>⋅>0，∴>>0，abababba221111∴>，即<，B错误。22baab选项C：若−<<15a，23<<b，则−<−<−32b，则−<−<43ab．C错误。选项D：cd<<0，∴−>−>cd0，又ab>>0，∴acbd−>−>0，11ee∴<<0，又e<0，∴>．D正确。故选：AD．acbd−−acbd−−10．答案BC．−2a=2x2当01<<a时，函数ya=单调递减，∴1解得a=2a=22−21a=x当a>1时，函数ya=单调递增，∴2，解得a=2．故选BC．a2=211．[答案]ABD学科网（北京）股份有限公司 b[解]若(,)ab(aa>≠0,1)为函数yx=log图像上一点，所以logab=，a=2，222bb22b2111A．422−=aaa()−=()−=−=−aaa−≥−，故A正确。24411111B．log12ab+=log2−3ab+=−logab+=0．∴a是函数y=log1xb+的零点故B正确。3333388aC．若01<<a，则b<0，fx()关于直线x=1对称且在(1,+∞)単调递减，122<<，2−>b2,∴afb()=−<f(2b)f(2)．故C错误。D．当01<<a时，显然不成立，当a>1时，要使在区间(1,2)上，22fx()=(x−1)的图像在fx()=logx图像的下方，只需ff(2)≤(2)，即(21)−≤log2，12a12ab∴log21≥，解得12<≤a，∴122<≤，∴01<≤b．故选：ABD．a12[答案]ABDaa[解]若fx(+2)为偶函数，则fx()关于直线x=2对称，∴=2，∴a=4．故A正确。a>0时>0，22∃∈xm[0,]，使fx()<0，不符合题意；002a≤0时，fx()在[0,]m单调递增，∴f(0)=0，fmm()=，即m−=amm，解得m=0（舍去）或ma=+≤∴<≤110m1．故B正确。对C，a=0时显然不符合颔意2a>0时，函数yfx=|()|与直线yx=+1有4个交点，由图可知，只需方程−+=+xaxx1有两个不同2解，∴∆=−(1a)−>40，解得a>3或a<−1（舍去）当a<0时，由图可知，a>−1且2−+=+xaxx1有两个不同解，显然a不存在。综上，当a>3时，方程|()|fxx=+1有4个不同实数根。故C错误。3223222对D，方程ffx(())=ax−ax可化为xx(−+32axaxaxa−+=)0学科网（北京）股份有限公司 3222∴x=0或x−+32axaxaxa−+=0322232令gx()=−+x3ax2axaxa−+，gxax()+=−+(aax)为奇函数，∴gx()的图像关于(,0)a对称，ga()0=，∴gx()0=的实数解为1个或3个，3当a=0时，gxx()=只有唯一实数根x=0，则原方程只有一个实数根；2当a≠0时，ga(0)=≠0，gx()0=有异于0的1个或3个实数根，此时，原方程有2个实数根或4个实数根，故D正确。故选ABD．15【答案】1610【解】设顾客选购物品的总金额为x元，获得的折扣优惠金额为y元，则当x∈(0,1000]时，y=0，当x∈(1000,1500]时，yx=−×=(1000)5%0.05x−50，令y=40，得0.05x−=5040，解得x=18001500>，所以应舍去；当x∈(1500,+∞)时，y=×+−5000.05(x1500)0.1250.1×=+−=−xx1500.1125，令y=40，所以0.1x−=12540，解得x=1650，符合题意，所以他实际所付金额为1650401610−=元．故答案为：1610。9116【答案】1,1012x+−≤≤1,xx022xx+≤1,01【解】因为，fx()=，所以有fx()=−2xx−1,<−，画出函数图像如下图所示：lg,xx>02lg,xx>1−lg,0xx<<1要想方程|()|fxa=有四个不同的根，必有01<≤a，1此时有xx+=−1，且ff=|(10)|1=，1210学科网（北京）股份有限公司 1所以≤<<≤xx110，则有lgxx=lg⇒−lgxx=lg343434101⇒+=lgx3lgx40⇒lg(xx34)=0⇒=xx341，即x4=，x3111所以xxxx+++=−++1x，令gxx()=+≤<x1，12343x3x1011101对勾函数gx()在,1上单调递减，所以g(1)<≤gxg()，即2<≤gx()，则1010101101191912<+≤x，所以xxxx+++=−++∈1x1,．故答案为：1,．312343x310x3101017解，（1）由题意，集合Axx=≤<{3∣6}，Bxx={4∣<<8}所以AB={x4∣<<x6}，ABxx=≤<{3∣8}，CAB(){=xx∣<3或x≥8}R（2）Cxaxa={∣<<−21}，Bxx={4∣<<8}，CB⊆，当C=∅时，则aa≥−21，∴≤a1aa<−21当C≠∅时，则a≥4（3个全对给2分，不全对给1分）218a−≤99∴4≤≤a，∴a的取值范围为(−∞,1]4,．2218．解：（1）（法一）若函数fx()为奇函数，则fx()−=−fx()．xx22aa−212aa−⋅fx()1=−=，fx()1−=−=，xx−xx22++aa2+aa12+⋅xx122−⋅aa−所以=−，解得a=±1．又a>0，所以a=1．．xx122+⋅aa+（法二）若函数fx()为奇函数，xR∈，则f(0)=0．2a即10−=，解得a=1，符合a>0．经检验，当a=1时，02+axx221−212−fx()1=−=，fx()1−=−=，满足fxfx()−=()．所以a=1xx−xx2121++2112++2（2）由（1）知，fx()1=−，函数yfx=()在R上为增函数．x21+学科网（北京）股份有限公司 证明如下：设∀x，xR∈且xx<，12122222(xx12−2)则fxfx()−()=−11−−=．12xxxx2112++21(212112++)()因为xx<，所以22xx12<，即220xx12−<，且210x1+>，210x2+>，12所以fxfx()−<()0，即fx()<fx()，所以函数yfx=()在R上为增函数．121219．[解]（1）由题意，设−<<10x，则01<−<x，∴fx(−=+)ln(x1)fx()的图像关于y轴对称，∴−=fxfx()()．∴fxfx()=−=()ln(x+−<<1)(1x0)ln(−+xx1),0≤<1∴fx()的解析式为fx()=ln(xx+−<<1),10（2）解法1：由题意得函数gx()=fxk()+为偶函数，gk(0)=>0，且在(1,0)−单调递增，在(0,1)单调递减，gm()=gn()0=mnmnmn+0且mnmn≠∴+=,0．∴ee+≥2ee⋅=222e=e=mnmn当且仅当ee=，即mn=时取等号．又因为mn≠，所以ee+>2．解法2：显然gk(0)=>0．−k当x>0时，gx()=−++=ln(x1)k0，解得xe=−1−k当x<0时，令gx()=ln(x++=1)k0，解得xe=−+1−k−k∴函数gx()的两个零点为1−e和−+1emn111−e−−−ktk−+e−e111−e−teee+=+e=e+≥22e⋅=．−−kk11−−eeee1−e−k1mn当且仅当e=，即k=0时取“＝”，k>0，∴ee+>2．−k1−ee20．【解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个増函数，故不可能是①，又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢x∴选择③yman=⋅+（a>0且a≠1)学科网（北京）股份有限公司 m=814=man+x233*代入表格中的前三个点可得：20=ma+n，解得：a=∴y=82⋅+，x∈N．32229=ma+nn=2xxx3*33（2）由（1）可知：fx()8=⋅+2，x∈N则8⋅+>21002．∴>125222ln1253ln531.6094×∴x>==log125≈≈11．33ln3ln2−1.09860.6931−2ln2所以，预计平台建立12年后会员数超过1002千人。21．解：（1）因为gx()0≥在区间(3,+∞)上恒成立，2即∀∈x(3,+∞)，xmxm−−+−≥(1)310恒成立．22xx+−1⇔−++−≥⇔≤(3xmx)x10mx−322xx+−1(x−+−+3)7(x3)1111又x>3，则x−>30，则==−+(x3)+7xx−−33x−311≥2(x−⋅3)=2117.+x−311当且仅当x−=3即x=+311时等号成立，故实数m的取值范围为：m≤+2117．x−3（2）当x∈[2,4]时，fx()=−∈x1[1,3]．222222mm−−1(1)gxx()=−−+−=−(1m)31xmx−+−31m．24m−1①当≤0，即m≤1时，gx()在[0,1]上单调递增．12311m−≥2故对任意x∈[0,1]，gx()∈−[3m1,2m+⊆1][1,3]，∴213m+≤，解得≤≤m1．113m≤1m−1②当≥1，即m≥3时，gx()在[0,1]上单调递减．12211m+≥故对任意x∈[0,1]，gx()∈+[2m1,3m−⊆1][1,3]，∴313m−≤，不等式组无解．11m≥3学科网（北京）股份有限公司 m−11③当0<≤，即12<≤m时，gx()在[0,1]上先减后增，122213m+≤2m−1(m−1)gx(1)min=g，gx(1)max=g(1)，∴−+−≥311m，不等式组无解．2412<≤m11m−④当<<1，即23<<m时，gx()在[0,1]上先减后增，122313m−≤2m−1(m−1)gx(1)min=g，gx(1)max=g(0)，∴−+−≥311m，不等式组无解．2423<<m2综上，实数m的取值范围为：,1．3222．解（1）因为函数hx()=++xbxc是偶函数，故b=0．22x−111而hc(2)=+=43，可得c=−1，则hx()=x−1，故fx()==−x，易知fxx()=−在xxx33x∈[1,2]上单调递增，所以fx()=f(1)=0，fx()=f(2)=，故fx()的值域为0,．minmax22221111（2）Fxx()=+−−=2axx−−−2ax+2，x∈[,2]，2xxxx1323令mx=−∈,x[1,2]，故m∈0,，则Gm()=−+∈m2am2,m0,，对称轴为ma=．x2223①当a≤0时，Gm()=−+m2am2在m∈0,上单调递增，故Gm()=G(0)=2；min2323②当a∈0,时，Gm()=−+m2am2在ma∈[0,)上单调递减，在a,上单调递增，222故Gm()=Ga()2=−a；min323317③当a≥时，Gm()=−+m2am2在m∈0,上单减，故Gm()=G=−3a；min2224学科网（北京）股份有限公司 2,a≤023故函数Fx()的最小值ga()=−2a,0<<a．2173−≥3,aa4232（3）由（2）知当a∈1,时，ga()2=−a．2a422a则2++2atg()a=++−=22a2tta0，即ta−−=222at，令2x3ϕϕ()x=−−tx22,()2,xtx=∈x1,1223问题等价于两个函数ϕ()x与ϕ()x的图象在x∈1,上有且只有一个交点，122213由t<0，函数ϕ()x=−−tx22xt的图象开口向下，对称轴为x=<0，ϕ()x在x∈1,上单调递减，11t23ϕ()x在x∈1,上单调递增，22ϕϕ12(1)>(1)−−>22tt<−4由图可知33∴t⇒⇒<−t4故t∈−∞−(,4)．ϕϕ12<−<322t<+8212224学科网（北京）股份有限公司