人教版九年级数学上册（第二十一章 一元二次方程）21.2 解一元二次方程（学习、上课课件）

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程第1课时配方法 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2直接开平方法配方法 知1－讲感悟新知知识点直接开平方法11.定义利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法. 感悟新知知1－讲特别警示直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：1.不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；2.只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是x2=p中p≥0. 感悟新知2.方程x2=p的解(根)的情况(1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1=－，x2=；(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；(3)当p<0时，方程没有实数根.知1－讲两根互为相反数 感悟新知3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤(1)移项；(2)开平方；(3)解两个一元一次方程.知1－讲 知1－练感悟新知用直接开平方法解下列方程：(1)9x2－81=0；(2)2(x－3)2－50=0.例1解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解. 知1－练感悟新知解：(1)移项，得9x2=81.系数化为1，得x2=9.开平方，得x=±3.∴x1=3，x2=－3.(2)移项，得2(x－3)2=50.系数化为1，得(x－3)2=25.开平方，得x－3=±5.∴x1=8，x2=－2.将方程变成左边是完全平方的形式，且系数为1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根). 知1－练感悟新知1-1.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为()A.x2－1=0B.x2=0C.x2+4=0D.－x2+3=0C 知1－练感悟新知1-2.若关于x的代数式2x2+2与2x2－10互为相反数，则x的值为()A.－2B.±2C.D. ±D 感悟新知知2－讲知识点配方法21.定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 感悟新知知2－讲2.用配方法解一元二次方程的一般步骤(1)移项，将常数项移到等号的右边；(2)二次项系数化为1；(3)配方；(4)开方. 知2－讲感悟新知知识链接配方的依据是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方. 感悟新知知2－练用配方法解一元二次方程：(1)x2+4x+3=0；(2)x2+x－=0；(3)2x2－4x－1=0；(4)(1+x)2+2(1+x)－3=0.例2 知2－练感悟新知解题秘方：先将方程配方化为(x+n)2=p(p≥0)的形式，再用直接开平方法求解.解：(1)移项，得x2+4x=－3.配方，得x2+4x+22=－3+22，即(x+2)2=1.∴x1=－1，x2=－3.把方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x+n)2=p的形式. 知2－练感悟新知(2)移项，得x2+x=.配方，得x2+x+()2=+()2，即(x+)2=1.∴x1=，x2=－. 知2－练感悟新知(3)移项，得2x2－4x=1.二次项系数化为1，得x2－2x=.配方，得x2－2x+12=+12，即(x－1)2=.∴x1=1+，x2=1－.两边同时除以二次项的系数.12=()2 知2－练感悟新知(4)移项，得(1+x)2+2(1+x)=3.配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12，即(1+x+1)2=4.∴x1=0，x2=－4.巧将1+x看作整体进行配方，可达到简化的效果. 知2－练感悟新知2-1.［中考·泰安］一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为()A.(x－3)2=15B.(x－3)2=3C.(x+3)2=15D.(x+3)2=3A 知2－练感悟新知2-2.一名同学将方程x2－4x－3=0化成了(x+m)2=n的形式，则m，n的值应为()A.m=－2，n=7B.m=2，n=7C.m=－2，n=1D.m=2，n=－7A 知2－练感悟新知2-3.若关于x的方程4x2－(m－2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m等于()A.－2B.－2或6C.－2或－6D. 2或－6B 配方法转化配方法解一元二次方程直接开平方法降次 21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程组第2课时公式法 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2一元二次方程根的判别式公式法 知1－讲感悟新知知识点一元二次方程根的判别式11.定义一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2－4ac. 感悟新知知1－讲特别提醒确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 感悟新知2.一元二次方程根的情况与根的判别式的关系(1)Δ>0⇔方程有两个不等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根.知1－讲 知1－练感悟新知不解方程，判断下列一元二次方程解的情况：(1)x2+2=2x；(2)x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0.例1 知1－练感悟新知解：(1)原方程可化为x2－2x+2=0，∴a=1，b=－2，c=2.∴Δ=b2－4ac=(－2)2－4×1×2=0.∴原方程有两个相等的实数根.解题秘方：紧扣根的判别式利用根的判别式的正负性判别根的情况.先化为一般形式. 知1－练感悟新知(2)∵a=1，b=－2(k+1)，c=－k2+2k－1，∴Δ=b2－4ac=[－2(k+1)]2－4×1×(－k2+2k－1)=8+8k2.∵8k2≥0，∴8+8k2>0，即Δ>0.∴原方程有两个不相等的实数根. 知1－练感悟新知1-1.［中考·河南］一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A 知1－练感悟新知1-2.［中考·通辽］关于x的一元二次方程x2－(k－3)x－k+1=0的根的情况，下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定A 感悟新知知2－讲知识点公式法21.求根公式的定义 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 感悟新知知2－讲2.公式法(1)定义：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 知2－讲感悟新知特别提醒●公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.●只有当方程ax2+bx+c=0中a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式. 感悟新知知2－讲(2)用求根公式解一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化成一般形式；②确定公式中a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，判断根的情况；④把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解. 感悟新知知2－练用公式法解下列方程：(1)2x2－7x+4=0；(2)3x2－2x=－1；(3)x2－2x+3=0.例2 知2－练感悟新知解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步骤求解. 知2－练感悟新知解：(1)a=2，b=－7，c=4.Δ=(－7)2－4×2×4=17>0.方程有两个不等的实数根x=，即x1=，x2=.求Δ的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“-”号. 知2－练感悟新知(2)方程化为3x2－2x+1=0.a=3，b=－2，c=1.Δ=(－2)2－4×3×1=0.方程有两个相等的实数根x1=x2=－=.若Δ=0，则有两个相等的实数根，即x1=x2=－. 知2－练感悟新知(3)a=1，b=－2，c=3.Δ=(－2)2－4×1×3=－8<0.方程无实数根. 知2－练感悟新知2-1.方程2x2－6x+3=0较小的根为p，方程2x2－2x－1=0较大的根为q，则p+q等于()A.3B.2C. 1   D. 2B 知2－练感悟新知2-2.用公式法解下列方程：(1)y2－2y－2=0；(2)3x2－2x=4；(3)x2+6=2(x+1)；(4)5x2－2x+1=0. 知2－练感悟新知 知2－练感悟新知 知2－练感悟新知(3)方程化为x2－2x＋4＝0.a＝1，b＝－2，c＝4.Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×4＝－12<0.方程无实数根． 公式法关键根的判别式有两个相等的实数根用公式法解一元二次方程有两个不等的实数根无实数根 21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程组第3课时因式分解法 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2因式分解法一元二次方程的解法 知1－讲感悟新知知识点因式分解法11.定义先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 感悟新知知1－讲知识储备常用的因式分解的方法：1.提公因式法；2.公式法；3.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 感悟新知2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)整理方程，使其右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；(3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.知1－讲 知1－练感悟新知用因式分解法解下列方程：(1)(x－5)(x－6)=x－5；(2)(2x+1)2=(3－x)2；(3)3x2－18x=－27.例1 知1－练感悟新知解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方法.解：(1)移项，得(x－5)(x－6)－(x－5)=0.因式分解，得(x－5)(x－7)=0.∴x－5=0或x－7=0.∴x1=5，x2=7.方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根. 知1－练感悟新知(2)原方程可化为(2x+1)2－(3－x)2=0.因式分解，得(2x+1+3－x)(2x+1－3+x)=0，即(x+4)(3x－2)=0，∴x+4=0或3x－2=0.∴x1=-4，x2=.(3)原方程可化为3(x2－6x+9)=0.即(x－3)2=0，∴x1=x2=3. 知1－练感悟新知1-1.方程(x－2)(x+1)=x－2的解是()A.x=0B.x=2C.x=2或x=－1D.x=2或x=0D 知1－练感悟新知1-2.如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2－5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为()A.6B.9C. 6或9D.以上都不正确B 感悟新知知2－讲知识点一元二次方程的解法21.解一元二次方程的方法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 感悟新知知2－讲2.解一元二次方程的基本思路将二次方程化为一次方程，即降次. 知2－讲感悟新知活用巧记可巧用口诀记为：观察方程选解法，先看能否开平方，再看是否能分解，左分降次右化零，求根公式最后用，系数符号要看清. 感悟新知知2－讲3.合理选择一元二次方程的解法(1)若方程具有(mx+n)2=p(p≥0)的形式，可用直接开平方法求解；(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次式的乘积时，可用因式分解法求解；(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在b2－4ac≥0的条件下代入公式求解. 感悟新知知2－练用适当的方法解下列方程：(1)4x2－64=0；(2)2x2－7x－6=0；(3)(3x+2)2－8(3x+2)+15=0.例2 知2－练感悟新知解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程.解：(1)移项，得4x2=64.系数化为1，得x2=16.∴x1=4，x2=－4. 知2－练感悟新知(3)因式分解，得［(3x+2)－3］［(3x+2)－5］=0，即(3x－1)(3x－3)=0.∴3x－1=0或3x－3=0.∴x1=，x2=1.(2)∵a=2，b=－7，c=－6，∴Δ=b2－4ac=97>0.∴x1=，x2=. 知2－练感悟新知2-1.解下列方程：①(x－2)2=5；②x2－2x+1=0；③x2+x－3=0.较适当的方法为()A.①直接开平方法，②因式分解法，③公式法B.①因式分解法，②公式法，③配方法C.①公式法，②配方法，③因式分解法D.①直接开平方法，②公式法，③因式分解法A 知2－练感悟新知2-2.用适当的方法解下列方程：(1)9(x－1)2=5；(2)(x－3)2+x2=9；(3)x2－x－1=0. 知2－练感悟新知(2)(x－3)2＋x2＝9，(x－3)2＝9－x2，(x－3)2＝(3＋x)(3－x)，(x－3)(x－3＋x＋3)＝0，2x(x－3)＝0.∴x1＝3，x2＝0. 知2－练感悟新知 因式分解法公式法配方法提公因式法公式法因式分解法选择合适的方法解一元二次方程最直接的方法硬规定的方法最灵活的方法 21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程组*第4课时一元二次方程的根与系数的关系 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2一元二次方程的根与系数的关系二次项系数为1的一元二次方程的性质 知1－讲感悟新知知识点一元二次方程的根与系数的关系11.一元二次方程的根与系数的关系方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1，x2.这两个根与系数的关系是x1+x2=－，x1x2=(下面简称“根与系数的关系”). 感悟新知知1－讲特别提醒一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a≠0，b2－4ac≥0. 感悟新知2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形(1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2；(3)+=.知1－讲 知1－练感悟新知设x1，x2是方程4x2－7=2x2+8x的两个实数根，求x1+x2和x1x2的值.例1 知1－练感悟新知解：将方程整理，得2x2－8x－7=0.∴a=2，b=－8，c=－7.∴x1+x2=－=－=4，x1x2===－.解题秘方：根据根与系数的关系求值. 知1－练感悟新知1-1.［中考·绵阳］关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是－2和1，则nm的值为()A.－8B.8C. 16D.－16C 知1－练感悟新知1-2.已知m，n是一元二次方程x2+x－2023=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于()A.2021B.2022C.2023D.2024B 感悟新知知1－练已知一元二次方程x2－6x+q=0有一个根为2，求方程的另一个根和q的值.例2 知1－练感悟新知解题秘方：利用两根之和与积求解.解：设这个方程的另一个根为m，则m+2=6，2m=q，∴m=4，q=8.即方程的另一个根为4，q的值为8.也可以把x=2代入方程，求得q=8，再解x2－6x+8=0，求得另一个根为4. 知1－练感悟新知2-1.［中考·新疆］已知关于x的方程x2+x－a=0的一个根为2，则另一个根是()A.－3B.－2C. 3   D. 6A 感悟新知知2－讲知识点二次项系数为1的一元二次方程的性质21.以x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1+x2)x+x1x2=0. 感悟新知知2－讲2.如果方程x2+mx+n=0的两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=－m，x1x2=n. 知2－讲感悟新知特别解读应用性质1能求一元二次方程，应用性质2能转化记忆一元二次方程根与系数的关系. 知2－练感悟新知[中考·来宾]已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A.x2－7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x－12=0D.x2－7x－12=0例3 知2－练感悟新知答案：A解题秘方：直接用以x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1+x2)x+x1x2=0求解.解：由题可知所求方程是x2－(x1+x2)x+x1x2=0，∴所求的一元二次方程是x2－7x+12=0. 知2－练感悟新知3-1.［中考·淄博］若x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A.x2－3x+2=0B.x2+3x－2=0C.x2+3x+2=0D.x2－3x－2=0A 一元二次方程的根与系数的关系意义判定两根的符号已知一根求另一根及字母的值构建以两已知数为根的一元二次方程求涉根代数式的值一元二次方程的根与系数的关系使用条件两根之和两根之积应用