备考2024届高考数学一轮复习强化训练第九章统计与成对数据的统计分析第2讲用样本估计总体

第2讲用样本估计总体1.[命题点1/2023重庆名校联考]从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比m大，一个比m小的概率为514，已知m为上述数据的第x百分位数，则x的取值可能为（　C　）A.50B.60C.70D.80解析　因为514＝1028＝C21C51C82，所以m＝4或m＝7.当m＝4时，数据的第x百分位数是第3个数据，则2＜x％×8＜3，解得25＜x＜37.5，所有选项都不符合；当m＝7时，数据的第x百分位数是第6个数据，则5＜x％×8＜6，解得62.5＜x＜75，故C选项符合题意.2.[命题点2/多选/2023济南市统考]有一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x.现加入一个新数据xn＋1，且xn＋1＜x，组成新的样本数据x1，x2，…，xn，xn＋1，与原样本数据相比，新的样本数据可能（　BD　）A.平均数不变B.众数不变C.极差变小D.第20百分位数变大解析　x＝1n（x1＋x2＋…＋xn），新的样本数据的平均数x新＝1n+1x1+x2+…+xn+xn+1=1n+1（nx＋xn＋1）＜1n+1（nx＋x）＝x，故A错误.新增的数据xn＋1可能等于原样本数据的众数，故B正确.当xn＋1比原样本数据中最小的数据还小时，会改变极差，且极差变大；当xn＋1不比最小的数据小时，就不会改变极差，故C错误.20％n≠20％（n＋1），因此，第20百分位数可能会变大，故D正确.故选BD.3.[命题点2，4/2023潍坊市高三统考]若一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为10，另一组样本数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（　A　）A.17，54B.17，48C.15，54D.15，48解析　设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则x＝10，所以样本数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均数为2x1+4+2x2+4+…+2xn+4n＝2（x1＋x2＋…＋xn）+4nn＝2×n×x+4nn＝2x＋4＝24，所以将两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数为10n+24n2n＝17.又样本数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的方差为1n{[2x1＋4－（2x＋4）]2＋[2x2＋4－（2x＋4）]2＋…＋[2xn＋4－（2x＋4）]2}＝4n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]＝8，所以1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]＝2，即样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，所以将两组样本数据合并为一组样本数据后的方差为12×2+17-102+12×8+17-242=54，故选A. 4.[命题点3/2021全国卷乙]某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和s22.（1）求x，y，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y－x≥2s12＋s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.解析　（1）由表格中的数据易得：x＝－0.2+0.3+0+0.2－0.1－0.2+0+0.1+0.2－0.310＋10.0＝10.0，y＝0.1+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+0.4+0.510＋10.0＝10.3，s12＝110×[（9.7－10.0）2＋2×（9.8－10.0）2＋（9.9－10.0）2＋2×（10.0－10.0）2＋（10.1－10.0）2＋2×（10.2－10.0）2＋（10.3－10.0）2]＝0.036，s22＝110×[（10.0－10.3）2＋3×（10.1－10.3）2＋（10.3－10.3）2＋2×（10.4－10.3）2＋2×（10.5－10.3）2＋（10.6－10.3）2]＝0.04.（2）由（1）中数据可得y－x＝10.3－10.0＝0.3，而2s12＋s2210＝25（s12＋s22）＝0.0304，显然有y－x＞2s12＋s2210成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.5.[命题点4/2023广州市调研]为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（　B　）A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75解析　由题知，样本数据中，初中生人数m＝800，每天睡眠时间的平均数x＝9，方差s12＝1；高中生人数n＝1200，每天睡眠时间的平均数y＝8，方差s22＝0.5.估计该地区中学生每天睡眠时间的平均数w＝mx＋nym＋n＝800×9+1200×8800+1200＝8.4，方差s2＝m[s12＋（x－w）2]＋n[s22＋（y－w）2]m＋n＝800×[1+（9－8.4）2]+1200×[0.5+（8－8.4）2]800+1200＝0.94，故选B.