备考2024届高考数学一轮复习分层练习第九章统计与成对数据的统计分析第2讲用样本估计总体

第2讲用样本估计总体1.[2024福州市一检]某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81.以下关于这组数据判断正确的有（　C　）A.极差为11B.中位数为82C.平均数为79D.方差为124解析　对A，B，将这组数据按从小到大的顺序排列为73，75，76，80，81，82，86，则这组数据的极差为86－73＝13，这组数据的中位数为80，A错误，B错误；对C，（80＋76＋73＋82＋86＋75＋81）÷7＝79，C正确；对D，[（80－79）2＋（76－79）2＋（73－79）2＋（82－79）2＋（86－79）2＋（75－79）2＋（81－79）2]÷7≈17.7，D错误.故选C.2.[2024湖北部分学校联考]为了弘扬体育精神，某学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数为（　C　）A.8B.9C.8.5D.9.5解析　由题意可得10+8+a+8+7+9+6+88＝8，解得a＝8，将这组数据按从小到大的顺序排列，即6，7，8，8，8，8，9，10.因为8×75％＝6，为整数，所以这组数据的第75百分位数为8+92＝8.5，（求得整数6时，第6个数据并不是第75百分位数，第6个数据和第7个数据的算术平均数才是第75百分位数）故选C.3.[全国卷Ⅱ]演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（　A　）A.中位数B.平均数C.方差D.极差解析　记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i（按从小到大的顺序排列），易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.4.[2024河南名校联考]在某次考试中，某班学生的最高分为100分，最低分为50分，且最高分只有1个，现将全班每个学生的分数按照yi＝axi＋b（a＞0）进行调整，其中xi是第i个学生的原始分数，yi是第i个学生调整后的分数，若调整后，全班的最高分为100分，最低分为60分，则（　B　）A.调整后分数的平均数和原始分数的平均数相同B.调整后分数的中位数高于原始分数的中位数 C.调整后分数的标准差和原始分数的标准差相同D.调整后分数的众数个数多于原始分数的众数个数解析　对于A，B：根据题意知100＝100a＋b，60＝50a＋b，所以a＝0.8，b＝20，于是yi=0.8xi+20，则yi－xi＝0.8xi＋20－xi＝20－0.2xi＝0.2（100－xi）≥0，即除了最高分外，调整后的分数都高于原始分数，因此调整后分数的平均数、中位数分别高于原始分数的平均数、中位数，A错误，B正确.对于C：根据yi＝0.8xi＋20，可得调整后分数的标准差等于原始分数的标准差的0.8倍，显然调整后分数的标准差变小了，故C错误.对于D：如果原始分数相同，则调整后的分数也相同，故调整后分数的众数个数和原始分数的众数个数相同，故D错误.5.[多选/2024云南昆明模拟]甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温（单位：℃）数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（　ABC　）A.甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等B.甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等C.甲旅游景区的日均气温波动比乙旅游景区的日均气温波动大D.乙旅游景区日均气温的极差为1℃解析　对于A，B项，甲旅游景区的日均气温分别为5℃，3℃，6℃，3℃，7℃，5℃，6℃；乙旅游景区的日均气温分别为5℃，4℃，6℃，5℃，5℃，4℃，6℃.甲旅游景区日均气温的中位数为5℃，平均数为5+3+6+3+7+5+67＝5（℃）；乙旅游景区日均气温的中位数为5℃，平均数为5+4+6+5+5+4+67＝5（℃）.故A，B正确.对于C项，根据折线图知甲旅游景区的日均气温波动比乙旅游景区的日均气温波动大，故C正确.对于D项，乙旅游景区日均气温的极差为6－4＝2（℃），故D错误.故选ABC.6.[多选/2023合肥市二检]如图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，则（　ACD　）A.a的值为0.004 B.估计这100家销售商新能源汽车销售量的平均数为135C.估计这100家销售商新能源汽车销售量的80％分位数为212.5D.若按分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则从销售量在[200，300]内的销售商中抽取5家解析　对于A，由频率分布直方图可得，50×0.002＋50×0.003＋50a＋50×0.006＋50a＋50×0.001＝1，得a＝0.004，故A正确；对于B，（25×0.002＋75×0.003＋125×0.004＋175×0.006＋225×0.004＋275×0.001）×50＝150，故B错误；对于C，设80％分位数为x，易得x∈[200，250），则50×0.002+50×0.003+50×0.004+50×0.006+x－200×0.004＝0.8，解得x＝212.5，故C正确；对于D，销售量在[200，300]内的频率为50×0.004＋50×0.001＝0.25，20×0.25＝5，所以从销售量在[200，300]内的销售商中抽取5家，故D正确.故选ACD.7.[多选/2024马鞍山市段考]某学校共有学生2000人，其中高一学生800人，高二、高三学生各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间（单位：时），按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生、高三学生每天读书时间的平均数分别为x1＝2.7，x2＝3.1，x3＝3.3，每天读书时间的方差分别为s12＝1，s22＝2，s32＝3，则下列说法正确的是（　ACD　）A.从高一学生中抽取了40人B.抽取的高二学生每天的总读书时间是1860小时C.被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时D.估计该校全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966解析　对于A，根据分层随机抽样，分别从高一学生、高二学生、高三学生中抽取40人、30人、30人，故A正确；对于B，抽取的高二学生每天的总读书时间是x2×30＝93（时），故B错误；对于C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为40100×2.7+30100×3.1+30100×3.3=3（时），故C正确；对于D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为40100×[1＋（2.7－3）2]＋30100×[2＋（3.1－3）2]＋30100×[3＋（3.3－3）2]＝1.966，所以估计该校全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966，故D正确.故选ACD.8.[2024新疆喀什模拟]样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为　2　.解析　由样本a，0，1，2，3的平均值为1，可得a+0+1+2+35＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为15×[（－1－1）2＋（0－1）2＋（1－1）2＋（2－1）2＋（3－1）2]＝2.9.[2024陕西商洛联考]某品牌汽车2019—2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为　54　万辆. 解析　设2020年的销量为a万辆，2021年的销量为b万辆，5＜a＜b＜22，由题意可知，中位数为a＋b2，平均数为5+a＋b+224，由a＋b2＝5+a＋b+224，得a＋b＝27，所以这四年的总销量为5＋a＋b＋22＝54（万辆）.10.[2024长沙市雅礼中学月考]某工厂生产内径为28.50mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸（单位：mm）如下：28.51×13　28.52×6　28.50×4　28.48×1128.49×p　28.54×1　28.53×7　28.47×q这里用x×n表示有n个尺寸为xmm的零件，p，q均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个，则这个零件的内径尺寸小于28.49mm的概率为415.（1）求p，q的值.（2）已知这60个零件内径尺寸的平均数为xmm，标准差为smm，且s＝0.02，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有80％的零件内径尺寸在[x－s，x＋s]内，则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由.解析　（1）依题意可得13+6+4+11+p+1+7+q=60，11+q60＝415，解得p=13，q=5.（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为160×[0.01×13＋0.02×6＋0×4＋（－0.02）×11＋（－0.01）×13＋0.04×1＋0.03×7＋（－0.03）×5]＝0，所以x＝0＋28.50＝28.50，所以x－s＝28.48，x＋s＝28.52.所以这60个零件中内径尺寸在[x－s，x＋s]内的个数为60－1－7－5＝47，因为4760＜4860＝0.8，所以这次抽检的零件不合格.11.[2023广西联考]某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从2023年1月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.（1）求实数m的值； （2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）（3）现在要从购车补贴金额的心理预期值在区间[3，5）的样本中用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到的2人购车补贴金额的心理预期值都在区间[3，4）的概率.解析　（1）由题意知，1×（0.10＋0.30＋0.30＋m＋0.10＋0.05）＝1，解得m＝0.15.（2）平均数的估计值x＝1.5×0.10＋2.5×0.30＋3.5×0.30＋4.5×0.15＋5.5×0.10＋6.5×0.05＝3.5（万元）.因为0.10＋0.30＜0.50＜0.10＋0.30＋0.30，所以中位数在区间（3，4）内.设中位数为3＋t，则0.10＋0.30＋0.30t＝0.50，得t＝13≈0.33，所以中位数的估计值为3.33万元.（3）从购车补贴金额的心理预期值在区间[3，5）的样本中用分层随机抽样的方法抽取6人，则抽取的购车补贴金额的心理预期值在区间[3，4）的有4人，购车补贴金额的心理预期值在区间[4，5）的有2人.从这6人中随机抽取2人，共有C62＝15种情况.其中抽到的2人购车补贴金额的心理预期值都在区间[3，4）的有C42＝6种情况.所以抽到的2人购车补贴金额的心理预期值都在区间[3，4）的概率P＝615＝25.12.[多选/2024湖北联考]已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x.若x1＝x2，则（　ABD　）A.剩下的18个样本数据的中位数与原样本数据的中位数一样B.x＝x1C.剩下18个数据的22％分位数大于原样本数据的22％分位数D.10s2＝9s12＋s22解析　设20个样本数据从小到大排列为x1，x2，x3，…，x20，则剩下的18个样本数据为x2，x3，…，x19.对于A，原样本数据的中位数为x10＋x112，剩下的18个样本数据的中位数为x10＋x112，A正确；对于B，依题意，x1＝118（x2＋x3＋…＋x19），x2＝12（x1＋x20），x＝120（x1＋x2＋…＋x20），由x1＝x2，得x1＝118（x2＋x3＋…＋x19）＝12（x1＋x20），即x2＋x3＋…＋x19＝ 18x1，x1＋x20＝2x1，于是x1＋x2＋x3＋…＋x19＋x20＝20x1，因此120（x1＋x2＋x3＋…＋x19＋x20）＝x1，即x＝x1，B正确；对于C，因为18×22％＝3.96，则剩下的18个数据的22％分位数为x5，又20×22％＝4.4，则原样本数据的22％分位数为x5，C错误；对于D，由选项B分析知x＝x1＝x2，则s12＝118（x22＋x32＋…＋x192）－x2，s22＝12（x12＋x202）－x2，s2＝120（x12＋x22＋…＋x202）－x2，于是x22＋x32＋…＋x192＝18s12＋18x2，x12＋x202＝2s22＋2x2，因此s2＝120（18s12＋18x2＋2s22＋2x2）－x2＝910s12＋110s22，即10s2＝9s12＋s22，D正确.故选ABD.13.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差分别为　39.2　和　20.64　.（平均数精确到0.1）解析　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为x高＝3×58+5×40+2×383+5+2＝45（岁），年龄的方差为s高2＝110×[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋2×（38－45）2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为x＝5050+10×38＋1050+10×45≈39.2（岁），该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝5050+10×[2＋（38－39.2）2]＋1050+10×[73＋（45－39.2）2]＝20.64.14.某“双一流A类”大学就业部从该校2023年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表.（1）求这100人月薪收入的平均数x和方差s2.（2）该校在某地区就业的2023届本科毕业生共50人，决定于2024年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设Ω＝[x－s－0.018，x＋s＋0.018），月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元；方案二：每人按月薪收入平均数的3％收取. 用该校就业部统计的这100人月薪收入的频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用.参考数据：174≈13.2.解析　（1）这100人月薪收入的平均数x＝0.02×1.7＋0.10×1.8＋0.24×1.9＋0.31×2＋0.2×2.1＋0.09×2.2＋0.04×2.3＝2（万元），方差s2＝0.02×（1.7－2）2＋0.10×（1.8－2）2＋0.24×（1.9－2）2＋0.31×（2－2）2＋0.2×（2.1－2）2＋0.09×（2.2－2）2＋0.04×（2.3－2）2＝0.0174.（2）方案一：s＝0.0174＝174100≈0.132（万元），Ω＝[1.85，2.15].月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（0.02＋0.10）×50×400÷10000＝0.24（万元）；月薪落在区间Ω内收取费用约为（0.24＋0.31＋0.20）×50×600÷10000＝2.25（万元）；月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（0.09＋0.04）×50×800÷10000＝0.52（万元）.因此这50人共收取费用约为0.24＋2.25＋0.52＝3.01（万元）.方案二：这50人共收取费用约为50×0.03×2＝3（万元）.故方案一能收到更多的费用.15.[设问创新/2024重庆统考]四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（　A　）A.平均数为2，方差为3.1B.中位数为3，方差为1.6C.中位数为3，众数为2D.平均数为3，中位数为2解析　对于A，若平均数为2，出现点数6，可得方差s2＞15×（6－2）2＝3.2＞3.1，故平均数为2，方差为3.1时，一定不会出现点数6，故A正确.对于B，当掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时，满足中位数为3，方差为s2＝15×[（3－4）2＋（3－4）2＋（3－4）2＋（5－4）2＋（6－4）2]＝1.6，此时出现点数6，故B错误.对于C，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误.对于D，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故D错误.故选A.