第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sinθ－cosθ＝33，则tan2θ＝（ D ）A.223B.255C.－223D.－255解析 由sinθ－cosθ＝33，得1－2sinθcosθ＝13，∴sinθcosθ＝13，∴（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθ·cosθ＝53.∵θ是第一象限角，∴sinθ＋cosθ＝153.解法一 易得sinθ＝3（5+1）6，cosθ＝3（5－1）6，∴tanθ＝5+15－1，∴tan2θ＝2×5+15－1÷[1－（5+15－1）2]＝－255，故选D.解法二 易得sinθcosθ＝13，∴sin2θ＝23，∵sinθ－cosθ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π2＜2θ＜π，∴cos2θ＝－53，∴tan2θ＝－255，故选D.2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（ C ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cosα3－sinα，则sin（2α＋π2）＝（ D ）A.23B.13C.89D.79解析 因为tanα＝cosα3－sinα，所以sinαcosα＝cosα3－sinα，即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13，
所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，故选D.
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