备考2024届高考数学一轮复习分层练习第一章集合常用逻辑用语与不等式第5讲二次函数与一元二次方程不等式

第5讲二次函数与一元二次方程、不等式1.[2024安徽宿州模拟]不等式2x+11－x≥0的解集为（　B　）A.{x｜－12≤x≤1}B.{x｜－12≤x＜1}C.{x｜x≤－12或x≥1}D.{x｜x≤－12或x＞1}解析　由题意2x+11－x≥0，即（2x+1)(x－1）≤0，1－x≠0，解得－12≤x＜1，即不等式2x+11－x≥0的解集为{x｜－12≤x＜1}，故选B.2.[2024江苏无锡模拟]下列不等式中，解集为R的是（　A　）A.x2－1x2+2＜1B.－x2＋4x－3＜0C.x2＋6x＞9D.x2－42x＋6≥0解析　对于A，x2－1＜x2＋2，且x2＋2＞0，所以x2－1x2+2＜1恒成立，A满足题意；对于B，x＝2时，－x2＋4x－3＝－22＋4×2－3＝1＞0，B不符合题意；对于C，x＝0时，x2＋6x＝0＜9，C不符合题意；对于D，Δ＝（－42）2－4×1×6＝8＞0，因此不等式的解集不是R，D不符合题意.故选A.3.不等式ax2－（a＋2）x＋2≥0（a＜0）的解集为（　A　）A.{x｜2a≤x≤1}B.{x｜1≤x≤2a}C.{x｜x≤2a或x≥1}D.{x｜x≤1或x≥2a}解析　原不等式可以转化为（x－1）（ax－2）≥0，当a＜0时，可知（x－2a）（x－1）≤0，对应的方程的两根为1，2a，且2a＜1，所以原不等式的解集为{x｜2a≤x≤1}.故选A.4.[2024云南文山模拟]若不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（　D　）A.{k｜－3＜k＜0}B.{k｜－3≤k＜0}C.{k｜－3≤k≤0}D.{k｜－3＜k≤0} 解析　当k＝0时，－38＜0对一切实数x都成立，满足要求；当k≠0时，由题意得2k<0，Δ＝k2－4×2k×（－38）<0，解得－3＜k＜0.综上，k的取值范围是{k｜－3＜k≤0}.故选D.5.[2024山西太原模拟]不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－bx＋c的图象可能为（　A　）ABCD解析　因为ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以方程ax2－bx＋c＝0的两根分别为－2和1，且a＜0，则函数y＝ax2－bx＋c的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为（1，0）和（－2，0），故A选项的图象符合.故选A.6.[2024陕西咸阳模拟]已知当x＞0时，不等式x2－mx＋16＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　A　）A.（－∞，8）B.（－∞，8]C.[8，＋∞）D.（6，＋∞）解析　根据题意当x＞0时，不等式x2－mx＋16＞0恒成立，则m＜x2+16x＝x＋16x恒成立，只需m＜（x＋16x）min即可.易知当x＞0时，由基本不等式可得x＋16x≥2x·16x＝8，当且仅当x＝4时取等号，所以（x＋16x）min＝8，即m＜8，所以实数m的取值范围是（－∞，8）.故选A.7.[2024天津模拟]若不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}，则不等式bx2＋ax＋c＜0的解集为（　C　）A.{x｜－3＜x＜2}B.{x｜x＜－2或x＞3}C.{x｜x＜－3或x＞2} D.{x｜－2＜x＜3}解析　由不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}，可知方程ax2－bx＋c＝0的两根为－2，3，且a＜0，则ba=1，ca＝－6，可得b＝a，c＝－6a，对于不等式bx2＋ax＋c＜0，即ax2＋ax－6a＜0，且a＜0，可得x2＋x－6＞0，解得x＞2或x＜－3，所以不等式bx2＋ax＋c＜0的解集为{x｜x＜－3或x＞2}.故选C.8.已知关于x的一元二次方程x2＋（a2＋1）x＋a－2＝0的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（　C　）A.（－3，1）B.（－2，0）C.（－1，0）D.（0，2）解析　记f（x）＝x2＋（a2＋1）x＋a－2，则其图象开口向上，要使原方程的根一个大于1，一个小于1，则只需要f（1）＝1＋a2＋1＋a－2＜0，解得－1＜a＜0，故选C.9.[浙江高考]若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（　B　）A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关解析　解法一　由f（x）＝x2＋ax＋b的图象可知，a决定对称轴位置，b决定上下平移的距离，则易知M－m的值与上下平移距离无关，与左右平移距离有关，故选B.解法二　由题意得f（x）＝（x＋a2）2－a24＋b，分情况讨论：①当0≤－a2≤1时，f（x）min＝m＝f（－a2）＝－a24＋b，f（x）max＝M＝max{f（0），f（1）}＝max{b，1＋a＋b}，∴M－m＝max{a24，1＋a＋a24}与a有关，与b无关；②当－a2＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴M－m＝f（1）－f（0）＝1＋a与a有关，与b无关；③当－a2＞1时，f（x）在[0，1]上单调递减，∴M－m＝f（0）－f（1）＝－1－a与a有关，与b无关.综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B.10.[多选/2024四川泸州模拟]某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（　ABC　）A.15B.16C.18D.20解析　因为这批台灯的售价为x元（x≥15），且这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，所以x[30－2（x－15）]＞400，化简得－2x2＋60x－400＞0，解得10＜x＜20，所以15≤x＜20.故选ABC.11.[多选]设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），对任意实数t都有f（4＋t）＝f（－t）成立，则在函数值f（－1），f（1），f（2），f（5）中，最小的可能是（　ACD　）A.f（－1）B.f（1）C.f（2）D.f（5）解析　由已知得f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴方程是x＝2.当a＞0时，函数值f（－1），f（1），f（2），f（5）中，最小的是f（2）；当a＜0时，函数值f（－1），f（1），f（2），f（5）中，最小的是f（－1）和f（5）.故选ACD.12.已知关于x的不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x｜－2＜x＜7}，则函数y＝x2＋bx＋a的所有零点之和等于　－514　.解析　由题设，易知－2，7是ax2＋bx＋1＝0的两个根，则a<0，－ba=5，1a＝－14，所以a＝－114，b＝514，所以y＝x2＋bx＋a的所有零点之和为－b＝－514.13.[2024湖北武汉模拟]在关于x的方程x2－ax＋4＝0，x2＋（a－1）x＋16＝0和x2＋2ax＋3a＋10＝0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是（　C　）A.{a｜－4≤a≤4}B.{a｜a≥9或a≤－7}C.{a｜a≤－2或a≥4}D.{a｜－2＜a＜4}解析　若方程x2－ax＋4＝0，x2＋（a－1）x＋16＝0和x2＋2ax＋3a＋10＝0都没有实数根，则Δ1＝a2－16<0，Δ2＝（a－1）2－64<0，Δ3=4a2－4（3a＋10）<0，解得－2＜a＜4.因为方程x2－ax＋4＝0，x2＋（a－1）x＋16＝0和x2＋2ax＋3a＋10＝0中，至少有一个方程有实数根，所以a≤－2或a≥4.故选C.14.[2023江苏省常州一中阶段质量调研]已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋2a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的取值集合是　{3，4}　. 解析　令f（x）＝x2－6x＋2a，易知此函数图象开口向上，对称轴为直线x＝－－62×1＝3，因为一元二次不等式x2－6x＋2a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以这三个整数分别是2，3，4，则有f（2）≤0，f（1）>0，即4－6×2+2a≤0，1－6×1+2a>0，解得52＜a≤4，由a∈Z，得a＝3或4，故a的取值集合是{3，4}.15.[2024贵州名校联考]若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是　（－∞，12]　.解析　当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负实根.当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元二次方程，关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，设其根为x1，x2，当Δ＝4－8m＝0，即m＝12时，方程为12x2＋2x＋2＝0，解得x1＝x2＝－2，满足题意；当Δ＝4－8m＞0，即m＜12，且m≠0时，若只有一个负实根，则x1x2＝2m＜0，解得m＜0，若有两个负实根，则x1＋x2＝－2m<0，x1x2＝2m>0，解得0＜m＜12.综上所述，实数m的取值范围是（－∞，12].